高考第一轮复习数学：11.2互斥事件有一个发生的概率教案含习题及答案

11.2 互斥事件有一个发生的概率知识梳理1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A=U，A=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.4.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1P（）.对于n个互斥事件A1，A2，An，其加法公式为P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.点击双基1.两个事件互斥是这两个事件对立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据定义判断.答案：B2.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在4.8，4.85）g范围内的概率是A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68解析：设一个羽毛球的质量为 g，则P（4.8）+P（4.84.85）+P（4.85）=1.P（4.84.85）=10.30.32=0.38.答案：B3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为A.60% B.30% C.10% D.50%解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，p=50%.答案：D4.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为_.解析：（1）先摸出白球，P白=C，再摸出黑球，P白黑=CC；（2）先摸出黑球，P黑=C，再摸出白球，P黑白=CC，故P=+=.答案：5.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为_.解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，故P=.答案： 典例剖析【例1】 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.解：设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C，则“至少有两封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥.P（A）=，P（B）=，P（C）=，所求概率P（A）+P（B）+P（C）=.答：至少有两封信配对的概率是.思考讨论若求（1）至少有1封信配对.答案：.（2）没有一封信配对.答案：1.【例2】 （2004年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且n2，那么，袋中的红球共有几个?（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.解：（1）取3个球的种数为C=1140.设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为黄色”为事件C.P（B）=，P（C）=.A、B、C为互斥事件，P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），即=P（A）+P（A）=0取3个球全为红球的个数2.又n2，故n=2.（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D.则为“3个球中没有红球”.P（D）=1P（）=1=或P（D）=.【例3】 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有CCC种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有CCC种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有ACCC种，所求概率P（A）=.答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是.（2）事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，所求概率为1=.答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是.闯关训练夯实基础1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球答案：C2.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为A.B. C. D.解析：P=+=+=.答案：B3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是_.解析：P=1=.答案： 4.从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是_.解析：任取5个球有C种结果，编号之和为奇数的结果数为CC+CC+C=126，故所求概率为=.答案：5.52张桥牌中有4张A，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A，求丙手中至少有一张A的概率.解：丙手中没有A的概率是，由对立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一张A的概率是1=0.5949.6.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有C种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A1，恰有2个白球为事件A2，3个白球为事件A3，4个白球为事件A4，恰有i个黑球为事件Bi.则（1）摸出2个或3个白球的概率P1=P（A2+A3）=P（A2）+P（A3）=+=+=.（2）至少摸出1个白球的概率P2=1P（B4）=10=1.（3）至少摸出1个黑球的概率P3=1P（A4）=1=.培养能力7.某单位36人的血型类型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人.求：（1）两人同为A型血的概率；（2）两人具有不相同血型的概率.解：（1）P=.（2）考虑对立事件：两人同血型为事件A，那么P（A）=.所以不同血型的概率为P=1P（A）=.8.8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是_.解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组.2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率为P=+=.解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率P=1=1=.答案：探究创新9.有点难度哟！有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求证：PnPn1=（Pn1Pn2），其中nN，2n99；（3）求P99及P100的值.（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，P1=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：前两次掷硬币都出现正面，其概率为；第一次掷硬币出现反面，其概率为.P2=+=.（2）证明：棋子跳到第n（2n99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第n2站，又掷出反面，其概率为Pn2；棋子先到第n1站，又掷出正面，其概率为Pn1.Pn=Pn2+Pn1.PnPn1=（Pn1Pn2）.（3）解：由（2）知，当1n99时，数列PnPn1是首项为P1P0=，公比为的等比数列.P11=，P2P1=（）2，P3P2=（）3，PnPn1=（）n.以上各式相加，得Pn1=（）+（）2+（）n，Pn=1+（）+（）2+（）n=1（）n+1（n=0，1，2，99）.P99=1（）100，P100=P98=1（）99=1+（）99.思悟小结求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.教师下载中心教学点睛1.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.2.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.拓展题例【例题】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车；（2）停车的次数不少于2次；（3）恰好停车2次.解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.P（）=，P（A）=1P（）=1=.（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件，则P（B）=1P（）=1=1=.（3）记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C（C+C+C+C）=3（282）=3254，于是P（C）=.