高中数学专题讲义函数

专题二 函数一函数的概念与性质（一）函数的概念1.映射的定义：设A,B是两个非空集合，若存在某对应法则，使得对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，则称这种对应为集合A到集合B的一个映射,记作：.A中的元素称为原像，B中的对应元素称为的像，记作：.注1：映射是一种特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应。因此，要判断一个对应是否是映射，应采取的方法是：首先检验集合A中的每一个元素在集合B中是否都有像；然后看集合A中的每一个元素在集合B中的像是否唯一。另外，还要注意：映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的。注2：对映射定义的正确理解，我们必须搞清楚这样一个事实：若为A到B的一个映射，则A中的每一个元素在B中都有像，且唯一；而B中的每一个元素在A中未必都有原像，即使有，也未必唯一。例.若能构成映射，则下列说法正确的有 （ ）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B.A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2.函数的概念：（1）用集合的观点来定义函数：设A,B是两个非空数集，若存在某对应法则，使得对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的数与之对应，则称这种对应为集合A到集合B的一个函数,记作：，或.这里叫做自变量，叫做函数。自变量的取值范围（即数集A）叫做这个函数的定义域，与的值相对应的的值叫做函数值。所有的函数值构成的集合叫做这个函数的值域，显然值域.（2）用映射的观点来定义函数：设A,B是两个非空数集，是A到B的一个映射，则称映射为A到B的一个函数。这里，我们称原像的集合A为这个函数的定义域，像的集合C为这个函数的值域，显然值域.注1：函数是一种特殊的映射，其“特殊性”在于，集合A与集合B只能是非空数集。也就是说，函数实质上是非空数集A到非空数集B的一个映射。因此，函数一定是映射，而映射不一定是函数，只有两个非空数集之间的映射才是函数。注2：定义域=原像集合A，值域集合B.注3：函数的以上两种定义虽表述不同，但其实质都是相同的。3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.注：在函数的这三个要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此我们也可以说函数只有两要素：定义域、对应法则。4.两个函数表示同一函数的条件：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都相同时，它们才表示同一函数。例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. .例2. 下列各组函数是同一函数的是 （ ）与；与；与；与.A、 B、 C、 D、5.区间的概念和记号：设，且，我们规定：（1）满足不等式的实数构成的集合为闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数构成的集合为开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数构成的集合为半开半闭区间，分别表示为（左闭右开区间），（左开右闭区间）；这里，实数叫做相应区间的端点。6.确定映射的个数：定理：设集合，集合分别含有个元素，则可建立从A 到B的映射个数是；从B到A的映射个数是.例.设集合，则可建立从A到B的映射个数是；从B到A的映射个数是；从A到B的函数有个.7.高考创新题型：例.规定数表的平方运算规则如下：。试计算（二）函数的解析式与定义域1.函数的表示方法：表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，我们称这个等式为函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的关系；（3）图像法：就是用函数关系来表示两个变量的关系。2函数解析式的求法：（1）配凑法适用类型：已知复合函数的解析式时，可优先考虑配凑法或换元法，具体视题型而定。例.已知函数，求（2）换元法适用类型：已知复合函数的解析式时，可优先考虑配凑法或换元法，具体视题型而定。当采用换元法时，要特别注意“元”的取值范围。例.已知函数，求（3）待定系数法适用类型：已知函数解析式的类型时，可优先考虑待定系数法。例.已知函数是一次函数，且满足，求（4）解方程组消参法适用类型：已知抽象函数满足某一特定的等量关系时，可优先考虑解方程组消参法。例. 已知函数满足，求3.由解析式表示的函数的定义域的求法：求由解析式表示的函数的定义域时，常见的有以下几种情况：（1）若函数是整式，则该函数的定义域是实数集R；例如，直线 的定义域为；曲线的定义域为（2）若函数是分式，则该函数的定义域是使分母不为零的实数集合；例如函数的定义域为（3）若函数是二次（偶次）根式，则该函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数集合；例如函数的定义域为（4）若函数是对数式，则该函数的定义域是使对数式子大于零且使底数式子大于零而不等于1的实数集合；例如函数的定义域为（5）若函数是指数式，则零指数幂的底数不等于零；例如函数的定义域为（6）若函数是由几个部分的数学式子构成，则该函数的定义域是使每个式子都有意义的实数集合；例如函数的定义域为（7）含参问题的定义域要分类讨论.4.复合函数定值的求法及分段函数定值的求法(1)复合函数的定义：设，通过变量我们可以得到关于的函数，称此函数为函数与函数的复合函数，记作，这里称为该复合函数的外函数，称为该复合函数的内函数。在复合函数的定义中，也常称为中间变量，它的取值范围是函数值域的子集。注：已知函数的定义域或求函数的定义域都是对自变量而言的，而绝非其他形式；另外，对同一对应法则而言，自变量允许的取值范围是一样的。求复合函数的定义域就要紧紧抓住这两点。例1.已知函数的定义域为，则的定义域为例2.已知函数的定义域为，则的定义域为（2）分段函数的定义：若在某一函数定义域内的不同子集上，该函数有不同的对应关系，则称此函数为分段函数。分段函数是一类比较特殊的函数，它只是一个函数，而不是几个函数。 注：在求分段函数在某一定点处的函数值时，一定要首先判断属于该函数定义域的哪个子集，然后再代入到相应的关系式中去求解；分段函数的值域应该是其定义域内不同子集上各关系式取值范围的并集。例1.已知函数，则例2. 已知函数 ，则5.高考创新题型：例1.设集合M=，N=，若不恒为0的函数，则符合条件的一个函数的解析式是例2.设函数的定义域为,且满足若，（1）求的值；（2）若，求的值.（三）函数的值域与最值1函数的值域：函数的值域就是函数的所有函数值所构成的集合.函数的值域是由其定义域和对应法则共同决定的.2.函数的最大值、最小值：简单的说，函数的最大值、最小值就是函数在其定义域内函数值最大、最小的取值.其严格定义是：设函数定义在区间上，若存在某实数，使得：（）对任意的，恒有（或）；（）存在，使得，则称是函数的最大值（或最小值）.注：函数的最大值、最小值统称为函数的最值.3.求函数值域（最值）的方法：由于函数的值域是由其定义域和对应法则共同决定的，因此有关求解函数值域（最值）的问题依函数解析式的特点可分为以下三类：求常见函数的值域；求由常见函数复合而成的函数的值域；求由常见函数作某些运算而得的函数的值域.注：求函数值域的方法很多，但无论采用什么样的方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域，这一点是必须注意的.求函数值域的方法主要有：直接法；配方法；分离常数法；换元法；三角函数有界法；基本不等式法（又称均值不等式法）；单调性法；数形结合法；导数法；判别式法.4.求函数值域（最值）的各种方法介绍：（1）直接法：即利用常见函数的值域去求：一次函数的定义域为，值域为；二次函数的定义域为，当时，值域为，当时，值域为；反比例函数的定义域为，值域为.配方法：针对二次函数而言.二次函数在给定区间上的最值问题有两类：一类是求解二次函数在给定区间上的最值问题；另一类是求解二次函数在区间定（或动），对称轴动（或定）的最值问题.解决二次函数在给定区间上的最值问题，切勿忘记数形结合，并注意“两看”：一看抛物线的开口方向；而看抛物线的对称轴与给定区间的相对位置.分离常数法：针对分式函数而言.例如，要求函数的值域，可将函数分离常数，得，由于，因此，因而该函数的值域为换元法：通过换元可把一个形式较为复杂的函数变为简单且易于求解值域的函数.这种类型的函数具有的特征是：函数解析式中含有根式或三角函数公式模型.注：若采用换元法求函数的值域或最值，则必须注意：换元后要转变变量的取值范围，因为函数的定义域是求解函数值域的基础.三角函数有界法：若直接求函数的值域很困难，则可以利用已学过的函数的有界性来确定所求函数的值域.其中最常见的就是三角函数的有界性.例如，函数基本不等式：采用基本不等式求函数的最值，其题型特征是：当函数的解析式是两项的和式时，这两项的乘积必须为定值；当函数的解析式是两项的乘积式时，这两项的和必须为定值，不过有时还需用到拆项、添项、两边平方等技巧.注：采用均值不等式求解函数的值域或最值时，必须保证：“一正，二定，三相等”.特别是等号成立的条件容易忽视.单调性法：利用一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，反比例函数，幂函数等函数的单调性求函数的最值.数形结合法：其题型特征是：函数的解析式具有明显的某种几何意义.例如，两点间的距离、直线斜率等.导数法：即利用导数这一工具去求函数的值域.判别式法：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用.但这类题型有时也可采用其它方法进行求解，不必拘泥于判别式法，甚至有时可先将其解析式分解为部分分式，然后再采用均值不等式求解其最值.注：采用判别式法求解函数的值域必须注意以下两点：一是函数的自变量属于任意实数（有时可除去某个点）；二是必须讨论变形后二次项的系数.求函数的定义域、值域时，要按要求写成集合形式或区间形式.5.求函数的最值时应注意的问题：（1）求函数最值的方法实质上与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异而已；（2）无论采用哪种方法求函数的最值，一定要考虑“”能否成立.6.函数的值域与函数的最值的区别与联系：（1）函数的值域与函数的最值，从各自的概念上看是不同的.函数值域的边界值并非是函数的最值；写函数值域时要注意其边界值（最值）能否取到.若能取到，则用闭区间；若取不到，则用开区间.（2）函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围，因此有时可结合函数图像分析其值域.同时还要注意函数图像的端点值能否取到，其函数图像上是实心点还是空心点，作图要准确.（四）函数的单调性1.函数单调性的定义：设函数定义在区间上，若对任意的，（1）当时，恒有，则称为区间上的增函数；（2）当时，恒有，则称为区间上的减函数.2.函数的单调区间：若函数在某一区间内是增函数（或减函数），则称该函数在这一区间具有单调性或称该函数为这一区间内的单调函数，而称这一区间为该函数的单调区间。3确定函数单调性的一般方法：（1）定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：在给定区间上任取两个数，并不妨设；作差；对差式进行适当的变形（一般地，变形后的结果要分解为若干个因式的乘积，且每个因式的正负可清楚的判断出）；判断的正负；根据的正负确定所讨论函数的单调增减性，即下结论.注：上述步骤可简要的概括为：取值作差变形定号下结论例1.判断并证明函数的单调性.例2.讨论函数在上的单调性.（2）导数法定理1：设函数在区间内可导，若对任意的，恒有，则为区间内的增函数；若对任意的，恒有，则为区间内的减函数.定理2：设函数在区间内可导，若在区间内为增函数（或减函数），则.例1讨论函数的单调区间.例2.已知，若，试确定的单调区间.例3若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A B. C. D. 4.复合函数在公共定义域内单调性的判断：设函数，若在开区间内具有单调性，且当时，同时在开区间内也具有单调性，则复合函数在开区间内具有单调性的一般规律是： 注：简单地说，复合函数单调性的特点是：同增异减.5.求函数的单调区间的常用方法：（1）在解答题中常用：定义法、导数法；（2）在选择题、填空题中常用：数形结合法、特殊值法、复合函数单调性法等.注：在讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，应注意以下几点： 先确定出函数的定义域，再去求函数的单调区间。单调区间事实上是定义域的子集； 在函数的多个单调区间之间不能添加符号“”及“或”，而应该用“，”隔开； 函数的单调区间应该用区间表示，而不能用集合或不等式表示.例1.函数的单调递增区间是.例2.函数的单调递增区间是；单调递减区间是.例3.函数的单调递增区间是；单调递减区间是.6.一些有用的结论：（1）奇函数在对称区间上的单调性相同；（2）偶函数在对称区间上的单调性相反；（3）在两个函数的公共定义域内，成立以下事实：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数.7.函数单调性的应用：例1.设在上是的减函数，则的取值范围是（）A B. C. D. 例2.设偶函数在区间上是单调函数，且，则方程在区间内根的个数是（）A3 B. 2 C. 1 D. 0例3.已知定义域为的奇函数也是减函数，且，则的取值范围是（）A B. C. D. （五）函数的奇偶性1奇偶函数的定义：设函数的定义域关于原点对称，若对任意的，恒有，则称为上的奇函数；若对任意的，恒有，则称为上的偶函数.注1：具有奇偶性的函数，其定义域的特征是：定义域必然关于原点对称。因而，当我们在判定某一函数的奇偶性时，务必要先判定该函数的定义域是否关于原点对称。若某一函数的定义域关于原点不对称，则它必然不具有奇偶性；若某一函数的定义域关于原点对称，则它可能具有奇偶性，确切结论可通过奇偶函数的定义得到。注2：函数的奇偶性有时也可以通过以下的等价形式定义：；.例1. 下列函数为奇函数的是（）A B. C. D. 例2.判断下列各函数的奇偶性：； ；. 2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称；（3）奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；（4）若奇函数的定义域包含0，则必有.因而是函数为奇函数的既不充分也不必要条件；（5）为偶函数.（6）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可以表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；（7）复合函数奇偶性的特点是：“内偶则偶，内奇同外”；（8）既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个（例如函数，其定义域是关于原点对称的任意一个数集）（9）设函数的定义域分别为,则在它们的公共定义域内奇奇=奇； 偶偶=偶； 奇奇=偶； 偶偶=偶； 奇偶=奇.3判断函数奇偶性的常用方法：（1）定义法；（2）利用奇偶函数定义的等价形式：；（3）图象法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称.（4）设函数的定义域分别为,则在它们的公共定义域内奇+奇=奇； 偶+偶=偶； 奇奇=偶； 偶偶=偶； 奇偶=奇.4.函数奇偶性的应用：例1若函数为偶函数，则的值是（）A B. C. D. 例2设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（）A B. C. D. 例3设函数是定义在上的奇函数，若当时，则满足的的取值范围是.例4已知函数满足：对一切，都有.（1）证明：是奇函数；（2）若，求.例5已知函数是偶函数，当时，有，且当时，的值域是，则的值是（）A B. C. D. 5.高考创新题：例.已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内任意的，都有，且当时，.（1）证明：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式.（六）函数的周期性1周期函数的定义：设函数定义在区间上，若存在某非零常数，使得对任意的，恒有，则称为区间上的周期函数，称为该函数的一个周期.注：周期函数的定义域一定是无限集.2周期函数的性质：若是周期函数的一个周期，则也是该周期函数的一个周期；周期函数定义中的等式常常也写作；若周期函数的周期中存在一个最小的正数，则称它为该周期函数的最小正周期。若未特别说明，则一般情况下题目里所说的周期是指该函数的最小正周期； 若周期函数的周期为，则函数也是周期函数，且其周期为.3有关周期函数的一些结论：由周期函数的定义：“若函数满足，则是周期为的周期函数”我们可以得到如下结论：若函数满足，则是周期为的周期函数；若函数满足，则是周期为的周期函数；若函数满足，则是周期为的周期函数；若函数满足，则是周期为的周期函数.4.函数周期性的应用：例1若偶函数满足，且在闭区间上是减函数，则在上的单调性是.例2定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，则下列关于的论断正确的是.是周期函数；在上是增函数；的图像关于直线对称；.例3已知函数是定义在上的奇函数，且满足，又，则的取值范围是（）A B. C. D. 例4.已知函数在上是奇函数，且，又知当时，则（）A-2 B. 2 C. -98 D. 98例5.已知函数是定义在上的周期函数，且周期，函数是奇函数.又知在上是二次函数，且在处函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式.5.高考创新题：例.设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意的，都有，且.（1）求；（2）证明：是周期函数；（3）记，求.（六）函数的图像函数图像的作图方法常见的有以下两种：（）描点法；（）图像变换法.1用描点法作函数图像：用描点法作函数图像的一般步骤是：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、最值），甚至有时还需讨论函数的变化趋势；描点，连线，画出函数的图像.2用图像变换法作函数图像：用图像变换法作函数图像必须掌握以下知识:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的图像及性质；要有足够的识图能力：主要可从所给函数的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面入手；要准确掌握四种图像变换：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.3函数的对称性：（1）若函数满足，则该函数图像的对称轴为直线；对称中心为点.（2）形如的函数，其图像是双曲线，其两条渐近线分别是直线（由分母对应的式子为零确定）和直线（由分子、分母中的系数确定），其对称中心是点例.函数的图像（）A关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线对称 D.关于直线对称二基本初等函数（一）一次函数与二次函数1.一次函数：(1)一次函数的定义：形如的函数称为一次函数.(2)一次函数的性质：定义域：整个实数集；值域：整个实数集；图像类型：图像是一条直线；单调性：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数；奇偶性：当时，一次函数是奇函数；当时，一次函数是非奇非偶函数.注：由于一次函数是单调函数，因此其在闭区间上的最大、最小值一定在区间端点取得.若一次函数在闭区间上恒正（或恒负），则在区间端点处的函数值满足（或）；若一次函数在闭区间上与轴有交点，则在区间端点处的函数值满足.例1.已知函数是一次函数，且，求该一次函数的解析式.例2.若一次函数有一个零点是2，则函数的零点是.2.二次函数：（1）二次函数的定义：形如的函数称为一元二次函数，简称二次函数.（2）二次函数的三种表示形式：一般式：；顶点式：；零点式：.例1.已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为4，且过点，求该二次函数的解析式.例2.已知二次函数满足，其图像顶点为A，图像与轴交于点B和点C，且ABC的面积为18，求该二次函数的解析式.例3.设二次函数，若存在实数，使，则.（3）二次函数的性质定义域：整个实数集；值域：当时，值域为；当时，值域为；图像类型：图像是一条抛物线，其对称轴方程为，顶点坐标为（，）；开口方向：当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下；单调性：当时，二次函数在上是增函数，在上是减函数；当时，二次函数在上是增函数，在上是减函数；奇偶性：当时，二次函数是偶函数；当时，二次函数是非奇非偶函数；例1.函数在上是单调函数的充要条件是（）A B. C. D.例2.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A B. C. D.例3.若函数满足：对任意的实数，都有，则以下关系成立的是（）A B. C. D.3.一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系：（1）一元二次函数的图像与轴交点的横坐标是一元二次方程的根；（2）一元二次函数的图像在轴上方部分（或下方部分）所对应的点的横坐标的集合是一元二次不等式解集；（3）一元二次方程的解是一元二次不等式解集的端点.4.一元二次函数在闭区间上的最值问题（这里仅以的情形予以讨论）：（1）若，则该函数的最大值为；最小值为；（2）若，则该函数的最大值为；最小值为；（3）若，则该函数的最大值为；最小值为；（4）若，则该函数的最大值为；最小值为.注：解决此类问题，应利用数形结合（其实质是一元二次函数的单调性），抓住“三点一轴”（这里，三点指的是区间的两个端点和区间的中点；一轴指的是二次函数的对称轴）予以考察（具体而言，就是：对于的情形，当仅求函数的最小值时，应抓住区间的两个端点和函数的对称轴；当仅求函数的最大值时，应抓住区间的中点和函数的对称轴）。5.讨论一元二次函数的区间最值问题应注意以下几点：(1)注意函数的对称轴与给定区间的相对位置；(2)注意函数图像（即抛物线）的开口方向.具体而言，有关一元二次函数在给定区间上的最值问题一般可分为以下三种情况予以讨论：当函数的对称轴在给定区间的左侧时，函数在给定区间上具有单调性，其最大值与最小值在给定区间的两个端点处取得；当函数的对称轴在给定区间的内部时，函数在给定区间上不具有单调性，其一个最值在抛物线的顶点处取得，另一个最值在给定区间的一个端点处取得；当函数的对称轴在给定区间的右侧时，函数在给定区间上具有单调性，其最大值与最小值在给定区间的两个端点处取得.例1.求函数的值域.例2.已知函数的最大值为2，求的值.例3.若当时，函数在处取得最大值，求的取值范围.5.一元二次方程根的分布问题：讨论一元二次函数所对应的一元二次方程根的分布情况，一般需从以下三个方面考虑：（1）一元二次方程根的判别式；（2）一元二次方程所对应的一元二次函数在所给区间端点处函数值的符号；（3）一元二次方程所对应的一元二次函数的图像（即抛物线）的对称轴与所给区间的相对位置.例.已知函数与轴的非负半轴至少有一个交点，求的取值范围.6.高考创新题型：例.已知，则的最大值为.（二）指数与对数1.指数：（1）根式：根式的定义：若，则称为的次方根（这里，），记作：，式子称为根式，这里的称为根指数，称为被开方数.根式的性质：a.当为奇数时，；当为偶数时，；例如，.b.负数没有偶次方根；c.零的任何次方根都是零，即.（2）幂的有关概念：正整数指数幂：；零指数幂：；负整数指数幂：；正分数指数幂：；负分数指数幂：；零的正分数指数幂为零；零的负分数指数幂无意义.例如，无意义.（3）有理数指数幂的性质：；例1. 当时，下列式子中正确的是（）A. B. C. D. .例2. 若，则下列结果正确的是（）A. B. C. D. 例3. 若，则的值为（）A. 9 B. 7 C. 6 D. 11例4. 若，则化简的结果是（）A. B. C. D. .例5. 若，则实数的取值范围是.例6. 已知，则.例7若，则.例8.已知，化简.例9.计算：.例10.化简：（1）；（2）.例11.设，求.例12.若，且满足，求.2.对数：（1）对数的定义：若，则称幂指数为以为底的对数，记作：，这里，称为底数，称为真数.（2）指数式与对数式之间的互化：（3）对数运算法则：若，则以下运算法则成立：；.（4）对数恒等式及对数换底公式：若，则以下等式成立：(此为对数恒等式)；（此即对数换底公式）；，；.（5）常用对数与自然对数：以10为底的对数，称为常用对数. 常记作；以无理数为底的对数，称为自然对数. 常记作，其中.例1.设定义在上的函数满足，则的值为（）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2例2.已知，则（）A. B. C. D. 例3.若，则（）A. B. 9 C. 18 D. 27例4.设均为正实数，且，则有（）A. B. C. D. 例5. .例6.若，则.例7.若，则的大小关系是.例8.设均为不等于1的正数，且，求的值.例9.已知，求的值.例10.求方程的解.例11. 解方程例12.证明：.3.几类运算：（1）有理数指数幂的运算：一般地，在进行有理数指数幂的运算时，需化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还需兼顾运算的顺序.例1.化简： （式中字母都是正数）例2. 计算：例3.计算：例4.化简：（式中字母都是正数）（2）根式的化简求值运算：一般地，在进行根式的化简求值运算时，首先将根式化为分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质进行求解，最后对化简求值的结果，用分数指数幂的形式保留.例1.化简：例2.化简：例3. 计算：例4.计算：例5.化简：（3）对数运算:例1. 计算：例2. 计算：例3. 计算：例4.计算下列各式：（1）（2）（3）（4）对数恒等式、对数换底公式的应用：例1.计算下列各式：（1）（2）例2.已知，且， ，求的值.例3.设，且.(1)证明：；（2）比较的大小.4.高考创新题型：例.设，则它们的大小关系是（）A. B. C. D. 5.高考真题解析：例1.（08北京）若，则（）A. B. C. D. 例2.（08辽宁）已知， ，则（）A. B. C. D. 例3（08重庆）若，则.例4.（08重庆）已知已知，则.（三）指数函数与对数函数1.指数函数：（1）指数函数的定义：形如的函数称为指数函数.这里，是底数，是自变量.（2）指数函数的结构特征：底数：大于0且不等于1的常数；指数：自变量；系数：1.注：指数函数的三个结构特征是判断某一函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可.例1.指出下列函数哪些是指数函数：；.例2若数是指数函数，则有（）A. B. C. D. （3）指数函数的性质：定义域：整个实数集；值域：；函数图像：恒过定点；当底数时，底数越大，在轴右侧越靠近轴，在轴左侧越靠近轴；当底数时，底数越大，在轴左侧越偏离轴，在轴右侧越靠近轴；单调性：当时，指数函数在上是增函数；当时，指数函数在上是减函数；函数值的分布：当时，若，则；若，则；若，则；当时，若，则；若，则；若，则；运算规律：对任意的，指数函数满足运算：，.（4）形如的函数具有如下性质：定义域与函数的定义域相同；为求得函数的值域，首先应确定函数的值域，然后以的值域作为函数的定义域，从而可求得函数的值域.例1.求下列函数的定义域和值域:（1）； （2）.例2.若函数的图像经过一个定点，则该定点的坐标是.例3.设函数上的最大值与最小值之和为3，则（ ）AB2C4D例4.设，.例5.比较以下各组数的大小：（1）； （2）.例6.方程的解是.例7.若方程有正根，则的取值范围是.例8.若关于的方程有实根，则的取值范围是.2对数函数：（1）对数函数的定义：形如的函数称为对数函数.这里，是底数，是自变量.（2）对数函数的结构特征：底数：大于0且不等于1的常数；真数：自变量；系数：1.注：对数函数的三个结构特征是判断某一函数是否为对数函数的三个标准，缺一不可.（3）对数函数的性质：定义域：；值域：整个实数集；函数图像：恒过定点；单调性：当时，对数函数在上是增函数；当时，对数函数在上是减函数；函数值的分布：当时，若，则；若，则；若，则；当时，若，则；若，则；若，则；运算规律：对任意的，对数函数满足运算：，.（4）形如的函数具有如下性质：定义域是函数的定义域与不等式的解集的交集M；为求得函数的值域，首先应确定函数的值域，然后以的值域作为函数的定义域，从而可求得函数的值域.例.求函数的定义域和值域.注：由于指数函数和对数函数的函数值都受到它们的底数大小变化的影响，因此解题时常需对它们的底数按和进行分类讨论.例1.函数的定义域为（）AB C D例2.设，函数在上的最大值与最小值之差为，则（ ）AB2C4D例3.设函数是奇函数，则使的的取值范围是（）AB C D例4.方程的根是.例5.比较以下各组数的大小：（1）； （2）.3.反函数：(1)反函数的定义：设函数的值域是，根据该函数中的关系，可用表示，得到，若对任意的，通过，在中都有唯一确定的值与之对应，则表示以为自变量的函数，我们称这样的函数为函数的反函数，记作，习惯上记作.(2)反函数存在的条件：只有由定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数，即只有满足的函数才有反函数。例如，函数有反函数，且其反函数为；而函数无反函数.（3）互为反函数的两个函数，它们的定义域、值域之间的关系：若函数与函数互为反函数，则反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域.例.函数的反函数的定义域为（）A. B. C. D. （4）互为反函数的两个函数，它们的单调性、函数图像之间的关系：互为反函数的两个函数，它们的单调性相同，即若函数与函数互为反函数，则函数在其定义域X上是增（减）函数等价于其反函数在其值域Y上是增（减）函数；互为反函数的两个函数，它们的函数图像关于直线对称.（5）互为反函数的两个函数之间的关系：若函数与函数互为反函数，则.此即若函数与函数互为反函数，则点在函数的图像上等价于点在函数的图像上.例1.已知函数的图像经过点，其反函数的图像经过点（5,1），则的解析式是.例2.设函数的图像经过点（2,1），其反函数的图像经过点（2,8），则.例3.已知函数，是的反函数，若，则的值为（）A-2 B.1 C.4 D.10（6）单调函数与反函数的关系：单调函数必有反函数，但反函数存在时不一定是单调的.由此可知：所有的偶函数不存在反函数.（7）奇函数与反函数的关系：若奇函数有反函数，则它的反函数也为奇函数.（8）求反函数的一般步骤：由反解出；互换中的位置，便可得到其反函数；求出的值域，此即其反函数的定义域（这里需注意字母位置的调换）.例.函数的反函数为 （）（A） (B) （C） (D)学科4.指数函数与对数函数的关系：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的函数图像关于直线对称.（四）反比例函数与幂函数1反比例函数：（1）反比例函数的定义：形如的函数称为反比例函数.注：形如的函数称为正比例函数.例.已知函数，则当取何值时，（i）是正比例函数；（ii）是反比例函数；（iii）在第一象限内它的图像是上升的曲线.（2）反比例函数的性质：定义域：；值域：；图象类型：图像是一条双曲线，其渐近线是两个坐标轴，对称中心是坐标原点；单调性：当时，反比例函数在区间上是减函数；当时，反比例函数在区间上是增函数；奇偶性：奇函数.2.幂函数：（1）幂函数的定义：形如的函数称为幂函数.这里，是自变量，是指数.例1.给出下列函数：，.其中是幂函数的有（）A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个例2. 已知幂函数的图象过点，则.（2）幂函数的结构特征：以幂的底为自变量；指数为常数；系数是1.（3）幂函数的性质：定义域：幂函数的定义域随着常数取值的不同而不同；函数图象：恒过定点（1,1）；幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，并且其图像最多只能同时出现在两个象限；单调性：幂函数在第一象限的单调性：当时，幂函数在第一象限是增函数；当时，幂函数在第一象限是减函数且以两个坐标轴为渐近线；奇偶性：幂函数的奇偶性随着常数取值的不同而不同，也就是说，幂函数中既有奇函数，又有偶函数，还存在着非奇非偶函数；运算规律：在幂函数的定义区间内，幂函数具有如下运算规律：，.例1.在下列幂函数中，定义域为的是（）A. B. C. D. 例2.已知函数为偶函数，且.求的值，并确定函数的解析式.（4）幂函数图像的作法：在作幂函数的图像时，要密切联系幂函数的定义域、单调性、奇偶性等，首先作出幂函数在第一象限的图像，然后根据幂函数的性质即可作出其在定义域内完整的图像.（5）幂函数图像的分布规律：在直线的右侧，随着幂指数的由小到大，幂函数的函数图像由下到上分布.例.在幂函数，中，为奇函数的是；为偶函数的是.定义域为的是；定义域为的是.在第一象限为增函数的是；在第一象限为增函数的是.（6）幂函数图像的基本形状：对于幂函数，我们首先应分析其定义域、单调性、奇偶性，由此可确定其函数图像的大致位置，即所在象限；其次确定幂函数图像的类型，即三种情况下曲线的基本形状；此外还需注意三种曲线的形状.具体讨论如下：对于幂函数：当时，幂函数的图像为抛物线型；特别地，当时，幂函数的图像为竖直抛物线型，而当时，幂函数的图像为横卧抛物线型；当时，幂函数的图像为双曲线型；当时，幂函数的图像为直线型.简言之：幂函数在第一象限的图像的大致形状是：“正抛负双，大竖小横”.（7）有关幂函数的平移问题：形如的函数，其图像可由函数的图像向左或向右平移个单位得到.例如，函数的图像可由函数的图像向左平移2个单位得到；函数的图像可由函数的图像向右平移3个单位得到.注：幂函数与指数函数的区别：幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数的函数；而指数函数是底数为常数，自变量处在幂指数位置上的函数.3.函数的性质：定义域：；值域：；奇偶性：奇函数；单调性：该函数在区间上是增函数；在区间上是减函数;函数图象:高考创新题型：例1.若点在幂函数的图像上，点（）在幂函数的图像上，定义函数，试求函数的最大值及单调区间.例2.对于幂函数，若，则与的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定补充定义：函数的凹凸性：设函数定义在区间上，若对任意的及任意实数，恒有，则称为区间上的凸函数；若对任意的及任意实数，恒有，则称为区间上的凸函数.注1：若上面两个不等式改为严格不等式，则称相应的函数为严格凸函数和严格凹函数；注2：中学阶段对于凹凸函数的定义，一般取上述定义中的实数，且为方便理解大多讨论的是严格凹凸函数.注3：函数是实数集上的凸函数；而函数是区间上的凹函数.注4：凸函数的图像特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方； 凹函数的图像特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.三函数的应用（一）函数与方程1.函数的零点：（1）函数零点的定义：若函数在处的函数值为零，即，则称为该函数的零点.（2）函数零点的存在性定理（又称勘根定理）：若函数在闭区间上连续，且在区间端点处函数值异号，即，则函数在开区间内至少有一个零点，即方程在开区间内至少有一个实数根.注：研究函数零点的存在性问题常用的方法有以下三种：勘根定理；求解函数所对应的方程；画出函数的图像.例1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点：；.例2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D. 例3.求下列函数的零点：；.注：三次函数问题是近几年高考热点问题之一，解决这类问题的关键是要抓住函数图象的零点、特殊点、函数值、图像的变化趋势等.例4求函数的零点，并画出它的大致图像.例5.设函数在闭区间上是连续不间断的单调函数，且，则函数在闭区间上（）A.至少有一个实根 B.至多有一个实 C.没有实根 D.必有唯一的实根（3）函数零点的性质：当函数通过零点（不是偶次零点）时， 函数值变号；相邻的两个零点间所有的函数值保持异号.（4）函数零点的意义：若函数在闭区间上的图像是连续不间断的，且在区间端点处函数值异号，即，则函数在开区间内至少有一个零点，即至少存在一点，使得，这个就是方程的实数根.我们称方程的实数根为函数的零点.函数的零点就是使得函数的函数值为零的自变量的值.（5）函数的零点、方程的实数根以及函数的图像与轴交点的横坐标三者之间的关系：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图像与轴交点的横坐标，即函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点.若函数没有零点，则方程没有实数根，函数的图像与轴没有交点.（6）函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图像与函数的图像交点的横坐标.例.函数的零点个数是（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个2.二分法：（1）二分法的定义：对于闭区间上图像连续不断的，且满足的函数，通过不断地把函数零点所在的区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到函数零点近似值的方法称为二分法.注1：由二分法适用的条件：可知，运用二分法求函数零点的近似值都是针对函数的变号零点而言的；注2：若函数在给定区间满足二分法适用的条件，且在给定区间内存在两个及两个以上的实根，则二分法只可能求出其中一个实根的近似解，只要限定了该近似解的范围就可以得到函数的近似解；注3：由于二分法的实施满足函数的零点存在性定理，因此函数在给定区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点.（2）运用二分法求函数零点近似值的步骤：第一步：确定区间，验证，给定精确度；第二步：求区间中点；第三步：计算，并进行下述讨论；若，则就是函数的零点；若，则令.（此时函数的零点）；若，则令.(此时函数的零点).第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到函数的零点近似值，否则重复第二，三，四步.例1.关于运用“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是（）A. 运用“二分法”求方程的近似解一定可将函数在内的所有零点得到；B. 运用“二分法”求方程的近似解有可能得不到函数在内的零点；C. 运用“二分法”求方程的近似解，函数在内有可能无零点；D. 运用“二分法”求方程的近似解可能得到方程在内的精确解.例2.求函数在闭区间内的一个零点（精确到0.01）；例3.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：则方程的一个近似根（精确到0.1）是（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.53.一元二次方程根的分布问题：讨论一元二次方程根的分布情况，一般需从以下三个方面予以考虑：（1）一元二次方程根的判别式；（2）一元二次方程所对应的一元二次函数在给定区间端点处函数值的符号；（3）一元二次方程所对应的一元二次函数的图像（即抛物线）的对称轴与给定区间的相对位置.一元二次方程的实根分布情况及条件：（i）二次方程的两根中，一根比大而另一根比小 ；（ii）二次方程的两根都大于 ；（iii）二次方程在给定区间内有两根 ；（iv）二次方程在给定区间内只有一根 或.例1.已知二次函数恰有一个零点，则实数的值是.例2.若方程的两根均大于1，则实数的取值范围是.例3.已知函数与轴的非负半轴至少有一个交点，求的取值范围.例4.已知关于的二次方程.（1）若该方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的取值范围;(2)若该方程的两根均在区间内，求的取值范围.例5.已知函数，且方程有一实根.（1）证明：；（2）若是方程的一个实根，试判断函数的正负，并说明理由.4.高考创新题型：函数的不动点问题例1.对于函数，若存在，使得，则称为函数的不动点.已知函数.（1）当时，求函数的不动点；（2）若对任意的实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围.例2.已知二次函数的对称轴为，设方程的两个实根分别为，且满足，证明：.注：当时，.：当时，取“+”，当是偶数时且时，而，故取“”.例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.，若时，.奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或7. 奇函数，偶函数：偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.8. 对称变换：y = f（x）y =f（x）y =f（x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.11. 常用变换：.证：证：12. 熟悉常用函数图象：例：关于轴对称. 关于轴对称.熟悉分式图象：例：定义域，值域值域前的系数之比.