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第三节第三节合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础梳理基础梳理1. 归纳推理(1)推理的定义：从_得出_的思维过程称为推理，它由_和_两部分组成(2)归纳推理的定义从_中推演出_的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(3)归纳推理的思维过程大致如图试验、观察概括、推广猜测一般性结论(4)归纳推理的特点归纳推理的前提是_，归纳所得的结论是_，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有_的性质，结论是否真实，还需经过_和_，因此，它不能作为_的工具归纳推理是一种具有_的推理通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们_问题和_问题2. 类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也_或_，像这样的推理通常称为类比推理(2)类比推理的思维过程是：观察、比较联想、推理猜测新的结论(3)合情推理是根据_、_、_，以及_等推测某些结果的推理过程，_和_都是教学过程中常用的合情推理3. 演绎推理(1)演绎推理是一种由_的命题推演出_命题的推理方法(2)主要形式是三段论式推理(3)三段论的常用格式为MP(M是P) _SP(S是P) 其中，是_，它提供了一个一般性的原理；是_，它指出了一个特殊对象；是_，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断(4)演绎推理的特点：演绎的前提是_，演绎所得的结论是蕴涵于_，结论完全蕴涵于_(5)在演绎推理中，_之间存在必然的联系，只要前提是_，推理的形式是_，那么结论也必定是_因此，_是数学中严格证明的工具(6)演绎推理是一种_的思维方式，它较少创造性，但却具有_、_的论证作用，有助于科学的理论化和系统化答案：1. (1)一个或几个已知命题另一个新命题前提结论(2)个别事实一般性(4)几个已知的特殊现象尚属未知的一般现象猜测逻辑证明实践检验数学证明创造性发现提出2. (1)相似相同(3)已有的事实正确的结论实验和实践的结果个人的经验和直觉归纳推理类比推理3. (1)一般性特殊性(3)SM(S是M)大前提小前提结论(4)一般性原理前提之中的个别、特殊事实前提之中(5)前提与结论真实的正确的正确的演绎推理(6)收敛性条理清晰令人信服基础达标基础达标1. 已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a2 011=_.解析：写出前面一些项：3,6,3，-3，-6，-3,3,6,3，可以找到规律：此数列以6为周期，所以a2 011=a335*6+1=a1=3.答案：1. 32. (选修2-2 P71练习4改编)推理“因为对数函数y=logax(a0，a 1)是增函数，而y=loga 是对数函数，所以y=loga 是增函数”错误的原因是_ 12x12x解析：因为0a1时，对数函数y=logax是减函数，所以大前提错误，导致结论错误答案：大前提错误3. (选修2-2 P67练习3改编)若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= r(a+b+c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，其四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V=_.12解析：将平面图形的面积分割类比到空间的体积分割可得四面体的体积V= R(S1+S2+S3+S4)答案： R(S1+S2+S3+S4)13134. 利用归纳推理，当n是自然数时，对 (n2-1)1-(-1)n的值，以下说法中不正确的是_(填序号)一定是零；不一定是整数；一定是偶数；是整数但不一定是偶数 18解析：当n=1时，值为0；当n=2时，值为0；当n=3时，值为2；当n=4时，值为0；当n=5时，值为6.故不正确答案：5. (选修2-2 P71练习3改编)将推理“函数y=2x2+x-1的图象是抛物线”改写成三段论解析： 二次函数的图象是抛物线(大前提)函数y=2x2+x-1是二次函数(小前提)函数y=2x2+x-1的图象是抛物线(结论)经典例题经典例题题型一归纳推理题型一归纳推理【例1】已知数列an的首项a1=1，且an+1= (n=1,2,3，)，用归纳法归纳出这个数列的通项公式为_ 1nnaa解：当n=1时，a1=1；当n=2时，a2= ；当n=3时，a3= 11 1121211213当n=4时，a4= .归纳可得，数列an的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为an= 13113141n变式变式1-11-1数列an中，a1=1，an+1=- (n=1,2,3，)，则a2012=_. 11na解析：求出数列的前几项，再进行归纳由题意可得a1=1，a2=- ,a3=-2，a4=1，a5=- ，a6=-2，归纳得出数列an是以3为周期的周期数列，而2 012=3670+2，a2 012=a2=- 121212【例2】如图(1)，在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2=BDBC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥ABCD中，AD面ABC，若点A在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？题型二类比推理题型二类比推理解: 命题是：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S2ABC =SBCMSBCD是一个真命题 证明：在图中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DEBC，AEBC.因为AD平面ABC，所以ADAE.又AMDE，所以AE2=EMED.S2ABC 12BC AE12BC EM12BC ED=SBCMSBCD. 变式变式2-12-1已知，如图(1)所示的图形有面积关系 11PA BPABSS11PA PBPA PB用类比的思想写出如图(2)所示的图形的体积关系 1 1 1P A B CP ABCVV等于多少？证明你的结论 1 1 1P A B CP ABCVV111PA PB PCPA PB PC解：证明：过A作AO平面PBC于O，连接PO，则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上，则 11 1APBCA PBCVV111PA B CPABCVV1 1111313PBCPBCSAOSAO1111PB PC AOPB PC AO又 11AOAO1PAPA1 1 1P A B CP ABCVV111PA PB PCPA PB PC 题型三题型三演绎推理演绎推理 【例3】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF与AB 平行且EF = AB .(1)证明：FO平面CDE；(2)设BC= CD，证明：EO 平面CDF.123证明：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(大前提)如图，取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中，OM平行且等于 AB，又EF 平行且等于 AB，则EF 平行且等于OM(小前提)， 1212一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，这条直线和这个平面垂直(大前提)，又EMCD，OMCD，EMOM=M(小前提)，所以CD平面EOM(结论)，从而CDEO.而FMCD=M，所以EO平面CDF.链接高考链接高考1.(2010山东改编)观察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cos x)=-sin x，由归纳推理可得：若定义在R R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于下面的哪个式子_f(x)；-f(x)；g(x)；-g(x)知识准备：1. 复合函数f(-x)的求导公式f(-x)=-f(-x)；2. 能够根据所给函数的原函数与导函数的奇偶性进行归纳得出一般性结论：原函数与导函数的奇偶性相反解析：由给出的例子可以归纳得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(-x)=-g(x)答案： 2. (2010福建)观察下列等式：cos 2a=2cos2a-1；cos 4a=8cos4a-8cos2a+1；cos 6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1；cos 8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1；cos 10a=mcos10a-1 280cos8a+1 120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.可以推测，m-n+p=_.知识准备：1. m是最高次方的系数，p是倒数第二项的系数，n是倒数第三项的系数；2. 对数字的归纳能力；3.寻找倒数第二项与倒数第三项系数之间的关系解析：因为2=21,8=23,32=25,128=27，所以m=29=512；又观察倒数第二项的系数2=212，-8=-2*22,18=2*32，-32=-2*42，所以p=2*52=50；再观察倒数第三项倒数与第二项系数的关系8=(-8)*(-1)=(-8)* ，-48=18* =18 * , 22 138332 13160=(-32)*(-5)=(-32)* 42 13所以n=p 52 13=-8p=-400，所以m-n+p=962.
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