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第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大1函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|.3函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质(2)幂函数yx的图象和性质，分幂指数0，0，则x的取值范围是_(2)设奇函数yf(x) (xR)，满足对任意tR都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于_思维启迪(1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f(x)的性质和x0，时的解析式探求f(3)和f()的值答案(1)(1,3)(2)解析(1)f(x)是偶函数，图象关于y轴对称又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x1)0，得2x12，即1x3.(2)根据对任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，进而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数yf(x)的一个周期为2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f0.思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题(1)(2013重庆)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)等于()A5 B1 C3 D4(2)已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_答案(1)C(2)解析(1)lg(log210)lglg(lg 2)，由f(lg(log210)5，得alg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)451，则f(lg(lg 2)a(lg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)4143.(2)易知f(x)为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20，令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，即，2xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac思维启迪(1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象(2)考虑函数f(x)的单调性答案(1)C(2)D解析(1)函数的定义域为x|x1，其图象可由y的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，y为奇函数，图象关于原点对称，所以，y的图象关于点(1,0)成中心对称可排除A，D.又x0时，y0，所以，B不正确，选C.(2)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1对称，所以af()f()，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.选D.思维升华(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究(1)函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系中的图象大致是()(2)(2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,0答案(1)C(2)D解析(1)f(x)1log2x的图象过定点(1,1)，g(x)21x的图象过定点(0,2)f(x)1log2x的图象由ylog2x的图象向上平移一个单位而得到，且f(x)1log2x为单调增函数，g(x)21x2()x的图象由y()x的图象伸缩变换得到，且g(x)21x为单调减函数A中，f(x)的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B中，g(x)的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D中，两个函数都是单调增函数，也不满足选C.(2)函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在xf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)(2)已知，且sin sin 0，则下面结论正确的是()A B0 C2思维启迪(1)可利用函数图象或分类讨论确定a的范围；(2)构造函数f(x)xsin x，利用f(x)的单调性答案(1)C(2)D解析(1)方法一由题意作出yf(x)的图象如图显然当a1或1af(a)故选C.方法二对a分类讨论：当a0时，log2aloga，即log2a0，a1.当alog2(a)，即log2(a)0，1a0，故选C.(2)设f(x)xsin x，x，yxcos xsin xcos x(xtan x)，当x，0时，y0，f(x)为增函数，且函数f(x)为偶函数，又sin sin 0，sin sin ，|，22.思维升华(1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性(1)设()b()a1，那么()Aaaabba BabaabaCaabaab Dabbaaa(2)已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_答案(1)B(2)0解析(1)因为指数函数y()x在(，)上是递减函数，所以由()b()a1得0ab1，所以01.所以yax，ybx，y()x在(，)上都是递减函数，从而abaa，()aaa，故abaaba，答案选B.(2)当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.1判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题(3)对于解析式较复杂的一般用导数法(4)对于抽象函数一般用定义法2函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)3函数图象的对称性(1)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称提醒：函数yf(ax)与yf(ax)的图象对称轴为x0，并非直线xa.(2)若f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称(3)若函数yf(x)满足f(x)2bf(2ax)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称4二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中5指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较6解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1(2014安徽)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.答案解析f(x)是以4为周期的奇函数，fff，fff.当0x1时，f(x)x(1x)，f.当10，且a1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是()答案B解析由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3x()x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.押题精练1已知函数f(x)e|ln x|，则函数yf(x1)的大致图象为()答案A解析据已知关系式可得f(x)作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数yf(x1)的图象2已知函数f(x)|logx|，若mn，有f(m)f(n)，则m3n的取值范围是()A2，) B(2，)C4，) D(4，)答案D解析f(x)|logx|，若mn，有f(m)f(n)，logmlogn，mn1，0m1，m3nm在m(0,1)上单调递减，当m1时，m3n4，m3n4.3已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|0”的是()Af(x) Bf(x)x24x4Cf(x)2x Df(x)logx答案C解析函数f(x)满足“对任意的x1，x2(0，)时，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0”等价于x1x2与f(x1)f(x2)的值的符号相同，即可化为0，表示函数f(x)在(0，)上单调递增，由此可得只有函数f(x)2x符合故选C.2(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()答案D解析方法一分a1,0a1时，yxa与ylogax均为增函数，但yxa递增较快，排除C；当0a1时，yxa为增函数，ylogax为减函数，排除A.由于yxa递增较慢，所以选D.方法二幂函数f(x)xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)logax的图象知0a1，而此时幂函数f(x)xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错3已知函数yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)lg x，则f的值等于()A. B Clg 2 Dlg 2答案D解析当x0，则f(x)lg(x)又函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以当xb，则下列不等式成立的是()Aln aln b B0.3a0.3bC D.答案D解析因为ab，而对数的真数为正数，所以ln aln b不一定成立；因为y0.3x是减函数，又ab，则0.3ab，则不一定成立，故C错；y在(，)是增函数，又ab，则，即成立，选D.5设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0等于()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2答案B解析由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)f(x)，不等式f(x2)0，即f(|x2|)0，f(|x2|)2|x2|40，|x2|2，即x22，由此解得x4.于是有x|f(x2)0x|x4，故选B.6使log2(x)0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f(loga)f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又f(x)在0，)上递增|log2a|1，1log2a1，a，选C.二、填空题9已知函数f(x)，则f(ln 3)_.答案e解析f(ln 3)f(ln 31)eln 31e，故填e.10已知函数f(x)x|xa|，若对任意的x1，x22，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，则实数a的取值范围为_答案a|a2解析f(x)，由(x1x2)f(x1)f(x2)0知，函数yf(x)在2，)单调递增，当a0时，满足题意，当a0时，只需a2，即0a2，综上所述，实数a的取值范围为a2.11设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_答案10解析因为f(x)的周期为2，所以fff，即ff.又因为fa1，f，所以a1.整理，得a(b1)又因为f(1)f(1)，所以a1，即b2a.将代入，得a2，b4.所以a3b23(4)10.12已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称则判断f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系为_答案f(4.5)f(7)f(6.5)解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x2对称的函数所以f(4.5)f(4)f()，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(4)f()又f(x)在0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)13设函数f(x)(xZ)，给出以下三个结论：f(x)为偶函数；f(x)为周期函数；f(x1)f(x)1，其中正确结论的序号是_答案解析对于xZ，f(x)的图象为离散的点，关于y轴对称，正确；f(x)为周期函数，T2，正确；f(x1)f(x)11，正确14能够把圆O：x2y216的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是_f(x)exexf(x)lnf(x)tanf(x)4x3x答案解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，中，f(0)e0e02，所以f(x)exex的图象不过原点，故f(x)exex不是“和谐函数”；中f(0)lnln 10，且f(x)lnlnf(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)ln为“和谐函数”；中，f(0)tan 00，且f(x)tantanf(x)，f(x)为奇函数，故f(x)tan为“和谐函数”；中，f(0)0，且f(x)为奇函数，故f(x)4x3x为“和谐函数”，所以，中的函数都是“和谐函数”
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