数学必修五知识点总结

数学必修五知识点总结第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式：，；xueba，；（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想DbsinAAbaC画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解；当有一个交点则B有一解；当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： 当absinA，则B无解；当bsinAb时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型xueba测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角xueba(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤3.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形4.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解例1、一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里整理为word格式C10海里 D10海里解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案C例2、如图所示，xueba为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长审题视点 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.BCD30，BDC105CBD45在BCD中，由正弦定理可得BCa.xueba在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.例3、如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1 km.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.又ABC15在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距离为 km.例4、如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差整理为word格式12、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项13、若等差数列的首项是，公差是，则 通项公式的变形：；14、若是等差数列，且（、），则；若是等差数列，且（、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前项和的公式：；16、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，若项数为，则，且，（其中，）17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则称为与的等比中项19、若等比数列的首项是，公比是，则 20、通项公式的变形：；21、若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，且（、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。22、等比数列的前项和的公式： 时，即常数项与项系数互为相反数。23、等比数列的前项和的性质：若项数为，则】 ，成等比数列24、与的关系：一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；若化简后为形式，可用叠加法求解；若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式： 检验，若满足则为，不满足用分段函数写。4、其他 （1）形式，便于求和，方法：迭加；整理为word格式例如：有：（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。（3）形式，方法：构造：为等比数列；例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。（4）形式：构造：为等比数列；来源:数理化网（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 例1、已知数列an的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.解：观察后发现：an= 例2：已知数列an的通项公式为，求这个数列的前n项之和。解：由题设得： =整理为word格式即= 把式两边同乘2后得= 用-，即：= = 得例3. 求和Sn= 解: 由得 ,令k=1、2、3、n得 21=31311 3232321 4333331 （n+1）n=3n+3n+1把以上各式两边分别相加得：（n+1）1=3(1+2+n)+3(1+2+3+n)+n =3Sn+n(n+1)+n因此，Snn(n+1)(2n+1)例4、已知数列：1，求它的前n项的和Sn解： an1 an2则原数列可以表示为：(21)，前n项和Sn(21)2n2n2n22n2例5、设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn，bnan2n，求数列bn的前n项和Tn解：取n1，则a1a11又Sn可得：an1(nN*) an2n1Tn12322523(2n1)2n 2Tn122323524(2n1)2n1得：、Tn22324252n1(2n1)2n12(2n1)2n16(1n)2n2Tn6(n1)2n2例6、设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设Cn，求数列Cn前n项和Tn 解：（1）当n1时a1S12，当n2时，anSnSn14n2，故an通项公式为an4n2，即an是a12，d整理为word格式4的等差数列，设bn的公比为q，则b1qdb1，d4， q，故bnb1qn1（2）CnTnC1C2Cn134542（2n1）4n14Tn14342543（2n3）4nn（2n1）4n两式相减 3Tn Tn第三章 不等式1、；比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质： ；，；3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集t5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域10线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数12、均值不等式定理： 若，则，即13、常用的基本不等式：； ；整理为word格式；14、极值定理：设、都为正数，则有若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论. 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 对于a0(或0)； 0(或0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：变型： 解得。其中-cax+bc等价于不等式组 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：对称轴x=yox设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于0，即，则有对称轴x=oxy若两根都小于0，即，则有oyx若两根有一根小于0一根大于0，即，则有X=nxmoy若两根在两实数m,n之间，即，则有 X=yomtnx若两个根在三个实数之间，即，整理为word格式则有35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线（一）由B确定：若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的右边部分。若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数42、均值不等式定理： 若，则，即43、常用的基本不等式：；44、极值定理：设、都为正数，则有：若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值例1、求不等式的解集。解：将原不等式因式分解为： 由方程：解得 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图+-214x由图可看出不等式的解集为： 例2、已知，求函数的最大值。解：， 由原式可以化为：整理为word格式 当，即时取到“=”号也就是说当时有例3、求解不等式：32x解：零点分类讨论法： 分别令 解得： 在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图 当时，（去绝对值符号）原不等式化为： 当时，（去绝对值符号）原不等式化为：当时，（去绝对值符号）原不等式化为：5=10yo2x由得原不等式的解集为：（注：是把的解集并在一起）函数图像法：令则有：在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图由图像可知原不等式的解集为：例4、若方程有两个正实数根，求的取值范围。解：由型得所以方程有两个正实数根时，。例5、方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。解：因为有两个不同的根，所以由例6、(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科) 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.解：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米.则总造价f(x)=400（）+2482x+80162 =1 296x+12 960=1 296（）+12 9601 2962+12 960=38 880（元）， 当且仅当x= (x0),即x=10时取等号. 当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. （2）由限制条件知, 设g(x)= （）. g（x）在上是增函数，当x=10时(此时=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值. 整理为word格式当长为16米，宽为10米时，总造价最低. 例7、画出不等式组表示的平面区域解：把，代入中得 不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示例8、求不等式组所表示的平面区域的面积解：不等式可化为或；不等式可化为或在平面直角坐标系内作出四条射线， ，则不等式组所表示的平面区域如图 由于与、与互相垂直，所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和所以其面积为例9、若、满足条件求的最大值和最小值解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值 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