【导与练】新课标高三数学一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用二学案 理

第四十七课时 空间向量在立体几何中的应用 (二) 课前预习案考纲要求1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2.体会向量方法在研究几何问题中的作用。基础知识梳理1、二面角的定义(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做_。(2)二面角的定义：_，_叫做二面角的棱，_叫做二面角的面。(3)二面角的记法：棱为，两个面分别为的二面角，记作_。(4)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,则 是二面角的平面角. (5)直二面角：_。2、二面角的平面角的求法(1)如图，分别在二面角的面内，作向量，则等于二面角的平面角.(2)若分别为平面的法向量，二面角的大小为，则预习自测1 若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_2 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角_.3 从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角l的大小为60，则EPF的大小为_4 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_课堂探究案典型例题【典例1】（2013年辽宁）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面平面； (2)若，求二面角的余弦值 【变式1】（2012广东）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE（1）证明：BD平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【典例2】【2012山东】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【变式2】（2013年重庆理）如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长；(2)求二面角的正弦值.【典例3】（2013年天津理）如图, 四棱柱中, 侧棱底面, ,，,为棱的中点. (1) 证明；(2) 求二面角的正弦值. (3) 设点在线段上, 且直线与平面所成角的正弦值为, 求线段的长. 当堂检测1.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2 C3 D12 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.3 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小课后拓展案 A组全员必做题1、如图，在圆锥PO中，已知，O的直径,C是的中点，D为AC的中点（1）证明：平面平面;（2）求二面角的余弦值。2、【2012新课标】如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小.B组提高选做题如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小.参考答案预习自测1.【答案】【解析】na8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l与所成角记为，则sin |cosn，a|.2.【答案】30【解析】由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.3.【答案】60或1204.【答案】a【解析】由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A(a,0，a)F，E.EFa.典型例题【典例1】（1）（略）；（2）【变式1】（1）（略）；（2）3【典例2】（1）（略）；（2）【变式2】（1）；（2）【典例3】（1）（略）；(2)；(3)当堂检测1.【答案】B【解析】P点到平面OAB的距离为d2，故选B.2.【答案】B【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3.【答案】【解析】建立如图空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.4.(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)0，0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解平面ABD的一个法向量为m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小为60. A组全员必做题1.（1）（略）；（2）2.（1）（略）；（2）B组提高选做题(1)（略） (2)