利用两大模式解高考题高二

利用两大模式解高考题 在解析几何中，有两大模式（三角形模式和直角梯形模式）与二次曲线（圆与圆锥曲线）联系很紧密。掌握了这两大模式有利于我们快速解解析几何高考题。（1）如图1，在圆中,与垂径直角三角形相关的结论有：直线OM是弦AB的垂直平分线；圆的半径r、弦心距d、弦长a之间的关系为： ；若，则；;如图2,在切线直角三角形中，为圆的切线，则；设,则； 图2图1 例1(重庆文)若直线与圆相交于P、Q两点，且（其中O为原点），则k的值为( )（A） （B） （C） （D）分析：利用结论有： ,解之得,故选A例2（湖南卷）已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则 .分析：设,则由结论有,所以故例3. (全国卷)设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）（A）（B）（C） （D）分析： 设倾斜角为,由结论易知,故选D例4 (全国卷I)已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）分析：由结论易知：当直线与圆相切时,所以有两个交点时应选C（2）在椭圆和双曲线中，有焦点三角形和特征三角形：定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；由端点、对称中心构成的直角三角形叫特征三角形。性质一：已知椭圆方程为,坐标原点为O,两焦点分别为 为椭圆上任意一点，设则在焦点三角形中有以下常用结论成立： ； 当为钝角时, (为离心率)；,当xOF1F2PyA2A1B1B2最大，则点P为椭圆短轴的端点；若则椭圆的离心率；在特征三角形(F为椭圆的图3一个焦点,B为短轴的一个端点)中,有,(即)例5（全国）已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是( ) A 2 B 6 C 4 D 12分析：由结论可得：的周长为,所以选C例6（全国）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存有一点使得求椭圆的离心率的取值范围。分析：由性质可知：即,所以的取值范围是例7（湖北卷）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )A B 3 C D 分析：由性质可知： ,易知选C例8（上海卷文）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 分析：由性质可知： ,所以例9 (全国)椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时,点P横坐标的取值范围是_ . 分析：由性质得： 性质二：在双曲线中,、分别为它的左右焦点，为双曲线上任意一点，若则在焦点三角形有以下常用结论成立：；若则离心率；三角形PF1F2的内切圆圆心在直线或上；在特征三角形(A为双曲线的实轴端点,B为短轴的端点),有；(即)；一条渐近线的斜率为例10（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ） （A） (B) (C) (D) 分析： 由性质可知,故选A图4 例11(安徽理)如图4，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）（B）（C）（D）分析：连接,由条件得：,由为圆的直径得由性质得： ,故选D例12（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题（ ）的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）分析：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。二、直角梯形模式椭圆、双曲线和抛物线，这三种曲线的定义都涉及到直角梯形模型：到定点F(即焦点)距离与它到定直线(即准线)的距离之比是常数(即离心率)的点P的轨迹。其形式为,由定义可得直角梯形模型中的常见量：(1)椭圆和双曲线（a0,bo）以下量求法形式相同:准线方程为;焦点到准线的距离;中心到准线的距离为;过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为;(注:在椭圆中,在双曲线中)。不同的是:椭圆的焦半径为;(2)抛物线的准线方程为;焦半径为中心到准线的距离为通径为过焦点的弦长为(其中,为直线AB的倾斜角)例13（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)分析：不妨设椭圆的方程为（ab0），由结论易得,两式相除得例14设F为圆锥曲线的一个焦点，为相应的准线，设过点F的直线与圆锥曲线的一部分相交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与直线相离,则圆锥曲线的类型为( )(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆图6 分析：如图6，设圆锥曲线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H, 由圆锥曲线的定义有： ,在直角梯形ABDC中有,以线段AB为直径的圆与直线相离 易得,圆锥曲线为椭圆,故选C 解析几何小题常出现与焦点有关的问题，如能理解并掌握以上结论，则可大大提高解题效率。