资源描述
训练目标(1)导数的综合应用;(2)压轴大题突破训练题型(1)导数与不等式的综合;(2)利用导数研究函数零点;(3)利用导数求参数范围解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题,函数零点可以和函数图象相结合;(2)求参数范围可用分离参数法.1.(2015课标全国)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围2(2015课标全国)已知函数f(x)x3ax,g(x)lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线yf(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数3已知函数f(x)(x1)ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数(x)xf(x)tf(x)ex,存在实数x1,x20,1,使得2(x1)f(x)对于任意的x1,2成立5已知函数f(x)xlnx和g(x)m(x21)(mR)(1)m1时,求方程f(x)g(x)的实根;(2)若对任意的x(1,),函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方,求m的取值范围;(3)求证:ln(2n1) (nN*)答案精析1(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,)时,emx10.所以函数f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增又g(1)0,g(1)e12e1时,g(m)0,即emme1;当m0,即emme1.综上,m的取值范围是1,12解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)0,f(x0)0,即解得x0,a.因此,当a时,x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1,)时,g(x)lnx0,从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)上无零点当x1时,若a,则f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故1是h(x)的一个零点;若a,则f(1)0,h(1)minf(1),g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数()若a3或a0,则f(x)3x2a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调而f(0),f(1)a,所以当a3时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)上没有零点()若3a0,即a0,f(x)在(0,1)上无零点;若f( )0,即a,则f(x)在(0,1)上有唯一零点;若f( )0,即3a,由于f(0),f(1)a,所以当a时,f(x)在(0,1)上有两个零点;当3或a时,h(x)有一个零点;当a或a时,h(x)有两个零点;当a时,h(x)有三个零点3解(1)函数的定义域为R,f(x),当x0;当x0时,f(x)0,f(x)在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减(2)假设存在x1,x20,1,使得2(x1)(x2)成立,则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex,(x).对于x0,1,当t1时,(x)0,(x)在0,1上单调递减,2(1)31.当t0时,(x)0,(x)在0,1上单调递增,2(0)(1),即t32e0.当0t1时,若x0,t),则(x)0,(x)在(t,1上单调递增,2(t)max(0),(1),即20,f(x)单调递增,x(1,)时,f(x)0时,f(x).当0a1,当x(0,1)或x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x时,f(x)2时,00,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递减综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减;当0a2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,)内单调递增(2)证明由(1)知,a1时,f(x)f(x)xlnxxlnx1,x1,2设g(x)xlnx,h(x)1,x1,2,则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0,可得g(x)g(1)1,当且仅当x1时取得等号又h(x),设(x)3x22x6,则(x)在x1,2上单调递减因为(1)1,(2)10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)时,(x)0,x(x0,2)时,(x)g(1)h(2),即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立5(1)解m1时,f(x)g(x),即xlnxx21,而x0,所以方程即为lnxx0.令h(x)lnxx,则h(x)10,而h(1)0,故方程f(x)g(x)有唯一的实根x1.(2)解对于任意的x(1,),函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方,即x(1,),f(x)g(x),即lnxm(x),设F(x)lnxm(x),即x(1,),F(x)0,F(x)F(1)0,这与题设F(x)0,方程mx2xm0的判别式14m2,当0,即m时,F(x)0,F(x)在(1,)上单调递减,F(x)0,即0m时,方程mx2xm0有两个实根,设两根为x1,x2且x1x2,则方程有两个正实根且0x110,F(x)单调递增,F(x)F(1)0与题设矛盾综上所述,实数m的取值范围是.(3)证明由(2)知,当x1时,m时,lnx1(kN*),ln,ln(2k1)ln(2k1)ln(2n1)(nN*)
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