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3.4.2 函数模型及其应用1 1、能根据实际问题情景建立函数模型、能根据实际问题情景建立函数模型. .( (重点、难点）重点、难点）2 2、能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，培养、能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，培养 学生科学地分析问题、探索问题、解决问题的能力学生科学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. .还原：还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义问题的意义解决应用题的一般程序是：解决应用题的一般程序是：审题审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；建立相应的数学模型；解模：解模：求解数学模型，得出数学结论；求解数学模型，得出数学结论； 拿一张纸，对折拿一张纸，对折7 7次就有次就有1 1厘米厚，如果把这张纸对厘米厚，如果把这张纸对折折2727次（假设可以做到）之后的高度，是否比珠穆朗玛次（假设可以做到）之后的高度，是否比珠穆朗玛峰（峰（88488848米）高呢？（米）高呢？（2 22020 =1048756 =1048756） 解：设纸张的厚度为设纸张的厚度为k k米，则米，则k k2 27 70.01m0.01m 纸对折纸对折2727次次 H = kH = k2 22727 = k = k2 27 72 22020 =10487.56m =10487.56m 10487.56m 10487.56m8848m8848m 这张纸对折这张纸对折2727次之后的高度比珠穆朗玛峰要高次之后的高度比珠穆朗玛峰要高.实际问题实际问题抽象概括抽象概括数学模型数学模型推理演算推理演算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解数学建模过程：数学建模过程：()()()()( )1:200,3000,5000.CPRLx.例某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元 生产每台计算机的可变成本为元 每台计算机的售价为元分别写出总成本万元 、单位成本万元 、销售收入万元 以及利润万元 关于总产量台 的函数关系式函数模型的应用函数模型的应用2000.3 ,:.Cx xN总成本与总产量的关系解为2000.3,.PxNx单位成本与总产量的关系为0.5 ,.Rx xN销售收入与总产量的关系为0.2200,.LRCxxN利润与总产量的关系为分析：分析：本题为几个简单的函数模型，正比例函数，一次本题为几个简单的函数模型，正比例函数，一次函数，反比例函数。函数，反比例函数。一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. .(1)(1)求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积, ,并说明所求面积的实际含义并说明所求面积的实际含义; ;(2)(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行假设这辆汽车的里程表在汽车行驶驶这这段路程前的读数为段路程前的读数为2004km,2004km,试建立行试建立行驶驶这这段路程时汽车里程表读数段路程时汽车里程表读数s kms km与时间与时间t ht h的函数解析式的函数解析式, ,并作出相应的图象并作出相应的图象. .v/(kmv/(kmh h-1-1) )t/ht/h1010202030304040505060607070808090900 01 12 23 34 45 5解：解：（1 1）由已知图象得）由已知图象得阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：50501+801+801+901+901+751+751+651+651=3601=360由图象表示汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系知图象由图象表示汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系知图象的面积表示汽车行驶的路程的面积表示汽车行驶的路程. .所以阴影部分的面积表示汽车在所以阴影部分的面积表示汽车在5 5小时内行驶的路程为小时内行驶的路程为360km.360km.5020040180(1)20541290(2)21342375(3)22243465(4)229945ttttStttttt 1 12 23 34 45 520042004s/kms/kmt/ht/h(2)(2)2128824402035?0ath0aaT ,tT,T-T= T -T,T,h.C,C,Cmin,C,例物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是经过一定时间 后的温度是 则其中表示环境温度 称为半衰期现有一杯用热水冲的速溶咖啡放在的房间中如果咖啡降温到需要那么降温到时需要多长时间(结果精确到0.1）分析：分析：本题为指数函数模型，关键是将实际问题转化为本题为指数函数模型，关键是将实际问题转化为函数模型。函数模型。()20h14024882:24,由题意知解骣-=-桫得代入上式时当故,.352124882410TTt.641121,21248824351010tt即. 4 .25t用计算器求得,两边取对数,10,214120hh解得即.35min,4 .25,0C可降到约需要因此 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：的关系如表所示：销售单价销售单价/ /元元日均销售量日均销售量/ /桶桶6 67 78 89 9101011111212480480440440400400360360320320280280240240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？得最大利润？解：解：设在进价基础上增加设在进价基础上增加x x元后，日均经营利润为元后，日均经营利润为y y元，则元，则有日均销售量为有日均销售量为 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。 y=(520-40 x)x-200=-40 xy=(520-40 x)x-200=-40 x2 2+520 x-200+520 x-20048040(1)52040 ()xx桶桶013x而而x0,且x0,且520-40 x0,即520-40 x0,即当当x=6.5x=6.5时，时，y y有最大值有最大值 231100300020()500400012:,f xMf xMf xf xf x .,xxNR xxx:,C xx(:),.P xMP x ;P xMP x?例在经济学中函数的边际函数定义为某公司每月最多生产台报警系统装置 生产台的收入函数为单位 元 其成本函数为单位 元 利润是收入与成本之差求利润函数及边际利润函数利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值分析：分析：本题为信息题目，应理解题意将本题转化为二次本题为信息题目，应理解题意将本题转化为二次函数求最值问题，二次函数问题为考试中的热点。函数求最值问题，二次函数问题为考试中的热点。 1100,x,xN .由题意且解知 400050020300012xxxxCxRxP.74125212520400025002022xxx xPxPxMP1()()2220 x12500 x1400020 x2500 x4000= -+-轾-+-犏臌.402480 x .74120,6362元的最大值为时或当xPxx 24804012440MP xx,x,MP x.因为是减函数 所以当时的最大值为元 ,P xMP x.因此 利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 7412521252022xxP由二次函数写为顶点二次函数写为顶点式是求最值的重要式是求最值的重要方式方式. . 函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现实世界中不同的变化规律，对于不同的实际问题需要选择实世界中不同的变化规律，对于不同的实际问题需要选择适当的函数模型来描述；对于函数模型的应用，一方面是适当的函数模型来描述；对于函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际势进行预测，因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际问题的基本过程。问题的基本过程。提升总结：提升总结： 1 1、一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份、一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 0.20 元元, , 卖出的价格是每份卖出的价格是每份 0.30 0.30 元元, , 卖不掉的报纸还可以以每份卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 0.08 元的价格退回报社元的价格退回报社. . 已知在一个月已知在一个月( (以以3030天计算天计算) )里里, , 有有 20 20 天每天可卖出天每天可卖出 400 400 份份, , 其余其余 10 10 天每天只卖出天每天只卖出 250 250 份份, , 但每天从报社买进的份数必须相同但每天从报社买进的份数必须相同. . 问该摊主每天从报问该摊主每天从报社买进多少份社买进多少份, , 才能使每月获得的利润最大才能使每月获得的利润最大? ? 并计算该摊主并计算该摊主一个月最多可赚得多少元？一个月最多可赚得多少元？解解: : 设每天从报社买进设每天从报社买进 x x 份份(250(250 x x400),400),则每月共销售则每月共销售 (20(20 x x+10+10 250)250) 份份, ,又卖出的报纸每份获利又卖出的报纸每份获利 0.100.10元元, ,退回的每份亏损退回的每份亏损0.120.12元元, , 退回报社退回报社 10(10(x x-250) -250) 份份, ,依题意依题意, , 每月获得的利润每月获得的利润f(xf(x)=0.10(20 x+10)=0.10(20 x+10 250)-0.12250)-0.12 1 10(x-250)0(x-250) =0.8=0.8x x+550.+550. f(x f(x) ) 在在 250, 400 250, 400 上是增函数上是增函数, , 当当 x=400 x=400 时时,f(x,f(x) )取得最大值取得最大值, ,最大值为最大值为870. 870. 答答: : 该摊主每天从报社买进该摊主每天从报社买进400400份时份时, ,才能使每月获得的利才能使每月获得的利润最大润最大, , 一个月最多可赚一个月最多可赚 870 870 元元. . 2 2、某租赁公司拥有汽车、某租赁公司拥有汽车100100辆辆, ,当每辆车的月租金为当每辆车的月租金为30003000元时元时, ,可全部租出可全部租出; ; 当每辆车的月租金每增加当每辆车的月租金每增加5050元时元时, ,未租出的车将会增加一辆未租出的车将会增加一辆. .租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费150150元元, ,未租出的车每辆每月需要维护费未租出的车每辆每月需要维护费 50 50 元元. . (1)(1)当每月每辆车的租金定为当每月每辆车的租金定为36003600元时元时, ,能租出多少辆车能租出多少辆车? ?(2)(2)当每辆车的月租金定为多少元时当每辆车的月租金定为多少元时, , 租赁公司的月收益租赁公司的月收益最大最大? ?最大收益是多少最大收益是多少? ?解解: : (1) (1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为 36003600 元时元时, , 未租出的车未租出的车辆数为辆数为: : (3600(3600- -3000)3000) 50=12,50=12,(2)(2)设每辆车的月租金定为设每辆车的月租金定为 x(x=50k, kx(x=50k, k N N* * ) ) 元元, ,则租赁公司则租赁公司的月收益的月收益这时租出了这时租出了 88 辆车辆车.5050f(xf(x)=(100)=(100- - )(x)(x- -150)150)- - 5050 x x- -30003000 x x- -300030005050= =- - +162x+162x- -2100021000 x x2 2 5050= =- - (x(x- -4050)4050)2 2+307050.+307050. 1 1 5050当当 x=4050 x=4050 时时, f(x, f(x) ) 取最大值取最大值 307050.307050. 即当即当每辆车的月租金定为每辆车的月租金定为 40504050 元元 时时, , 租赁公司的租赁公司的月收益最大月收益最大, , 最大月收益是最大月收益是 307050307050 元元. .3 3、以、以v v0 0 m/sm/s的速度竖直向上运动的物体，的速度竖直向上运动的物体，t st s后的高度后的高度h mh m满足满足h=vh=v0 0t-4.9tt-4.9t2 2, ,速度速度v m/sv m/s满足满足v=vv=v0 0-9.8t.-9.8t.现以现以75m/s75m/s的速的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m 100 m 以上的以上的 高度有高度有多少秒多少秒? ?在此过程中，子弹速度大小的范围是多少？在此过程中，子弹速度大小的范围是多少？解：解：由题意得，由题意得，75t-4.9t75t-4.9t2 2=100,=100,解得，解得，t t1 1 1.480 , t1.480 , t2 2 13.827.13.827.所以，子弹保持在所以，子弹保持在100m100m以上的时间以上的时间t=tt=t2 2-t-t1 1 12.35,12.35,子弹最大速度子弹最大速度v v1 1=v=v0 0-9.8t-9.8t1 1=75-9.8=75-9.8 1.480=60.496m/s.1.480=60.496m/s.答：答：子弹保持在子弹保持在100100米以上高度的时间是米以上高度的时间是12.3512.35秒，在此过秒，在此过程中程中, ,子弹速度大小范围是子弹速度大小范围是v 0v 0，60.49660.496）. .4 4、（、（20122012济宁高一检测）济宁高一检测）A A、B B两城相距两城相距100 km100 km，某天燃，某天燃气公司计划在两地之间建一天然气站气公司计划在两地之间建一天然气站D D给给A A、B B两城供气两城供气. .已知已知D D地距地距A A城城x km,x km,为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于不得少于10km.10km.已知建设费用已知建设费用y y（万元）与（万元）与A A、B B两地的供气距两地的供气距离（离（kmkm）的平方和成正比，当天燃气站）的平方和成正比，当天燃气站D D距距A A城的距离为城的距离为40km40km时，建设费用为时，建设费用为13001300万元万元. .（供气距离指天燃气站到供气城市（供气距离指天燃气站到供气城市的距离）的距离）（1 1）把建设费用）把建设费用y y（万元）表示成供气距离（万元）表示成供气距离x (km)x (km)的函数，的函数，并求定义域；并求定义域；（2 2）天燃气供气站建在距）天燃气供气站建在距A A城多远，才能使建设供气费用最城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？小，最小费用是多少？解：解：（1 1）设比例系数为）设比例系数为k,k,则则y=kxy=kx2 2+(100-x)+(100-x)2 2(10 x90).(10 x90).又又x=40,y=1300,x=40,y=1300,所以所以1300=k1300=k（40402 2+60+602 2），即），即所以所以 (10 x90).(10 x90).（2 2）由于）由于所以当所以当x=50 x=50时，时，y y有最小值为有最小值为12501250万元万元. .所以当供气站建在距所以当供气站建在距A A城城50km50km时，最小费用为时，最小费用为12501250万元万元. .1k,42211y(x100 x5000)(x50)1250,2221y(x50)1250,25 5、一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅、一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策甲旅行社承行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的 计算，计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后以孩子个数为变量的分别列出两家旅行社优惠政策实施后以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？收费表达式，比较选择哪家更优惠？ 解解 ：设两家旅行社的原价为设两家旅行社的原价为a a（a a0 0），家庭孩子个数为），家庭孩子个数为x x（xNxN* *），甲、乙两家旅行收费分别为），甲、乙两家旅行收费分别为f f（x x）和）和g g（x x），），g g（x x）ff（x x），）， x1x1 因此，当家庭只有因此，当家庭只有1 1个孩子时，两家随便选择，当孩个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于子数多于1 1个时，应选择甲旅行社个时，应选择甲旅行社 2( )(1), ( )(2)23aafagxxxx1 1、了解函数模型的应用。、了解函数模型的应用。2 2、能将实际问题转化为函数模型。、能将实际问题转化为函数模型。3 3、能利用函数知识解决一些简单的实际问题。、能利用函数知识解决一些简单的实际问题。天才就是无止境刻苦勤奋的努力。
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