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共共 39 页页1选修选修4-1 几何证明选讲几何证明选讲第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关相似三角形的判定及有关性质性质共共 39 页页2回归课本回归课本共共 39 页页3相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得如果一组平行线在一条直线上截得线段相等线段相等,那么在其他直线上截得的线段那么在其他直线上截得的线段也相等也相等.推论推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第平分第三边三边.推论推论2:经过梯形一腰的中点经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线且与底边平行的直线平分另一平分另一腰腰.共共 39 页页42.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.推论推论:平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)所得的对应线段所得的对应线段成比例成比例.3.相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比相似三角形对应高的比 对应中对应中线的比线的比 对应角平分线的比都等于对应角平分线的比都等于相似比相似比;相似三角形周长的比相似三角形周长的比 外接圆的直径比外接圆的直径比 外接圆的周长比外接圆的周长比都等于都等于相似比相似比;相似三角形面积的比相似三角形面积的比 外接圆的面积比都等于外接圆的面积比都等于相似比的平相似比的平方方;共共 39 页页54.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是直角三角形斜边上的高是两直角两直角边在斜边上的射影边在斜边上的射影的比例中项的比例中项;两直角边分别是它们在斜两直角边分别是它们在斜边上边上射影射影与与斜边斜边的比例中项的比例中项.共共 39 页页6考点陪练考点陪练共共 39 页页71.如图如图,D E分别是分别是ABC的边的边AB AC上的点上的点,DEBC,且且2,那那ADE与四边形与四边形DBCE的面积比是的面积比是_.ADDB共共 39 页页8DBCE2:42,39S4.5ADEABCADESADADDBABSS四边形解析故45:答案共共 39 页页92.如图如图,AA1与与BB1相交于点相交于点O,ABA1B1且且AB= A1B1.若若AOB的外接圆的直径为的外接圆的直径为1,则则A1OB1的外接圆的直径为的外接圆的直径为_.共共 39 页页10解析解析:ABA1B1且且AB= A1B1,AOBA1OB1,两三角形外接圆的直径之比等于相似比两三角形外接圆的直径之比等于相似比.A1OB1的外接圆直径为的外接圆直径为2.答案答案:2共共 39 页页113.(2010湛江质检湛江质检)如图如图,在在RtABC中中,ACB=90,CDAB于点于点D,CD=2,BD=3,则则AC=_.共共 39 页页1222:CDAD DB,AD,ACAD4344133.33B3AACAD AB解析 由射影定理又33:2 1答案共共 39 页页134.如图所示如图所示,ABC中中,D为为BC中点中点,E在在CA上且上且AE=2CE,AD BE交于交于F,则则_ , _.AFBFFDFE共共 39 页页14:,BEG,DG,DBC.DGCE,CE2DG.AE2CEAE4DG,EF4GF.BGGEGFEF5GF,BF64.4,4,63.42GF.AEDGAFAEEFAFDFDGGFDFBFGFEFGF解析 如图所示 取中点连接又 为中点则且即从而同理又则32:4答案共共 39 页页155.一直角三角形的两条直角边之比是一直角三角形的两条直角边之比是1: 3,则它们在斜边则它们在斜边上的射影的比是上的射影的比是_.共共 39 页页16解析解析:如图如图,在直角三角形在直角三角形ABC中中,BCAC=13,作作CDAB于于D,由射影定理得由射影定理得BC2=BDAB,AC2=ADAB,则则故它们在斜边上的射影的比是故它们在斜边上的射影的比是1: 9.答案答案:1: 9221,9BCBDACAD共共 39 页页17类型一类型一平行线平行线(等等)分线段成比例定理分线段成比例定理解题准备解题准备:解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本图形本图形,看清楚被平行线组截得的线段看清楚被平行线组截得的线段.共共 39 页页18【典例【典例1】 如图如图,F为为ABCD边边AB上一点上一点,连接连接DF交交AC于于G,并延长并延长DF交交CB的延长线于的延长线于E.求证求证:DGDE=DFEG.共共 39 页页19 分析分析 由于条件中有平行线由于条件中有平行线,考虑平行线考虑平行线(等等)分线段定理及分线段定理及推论推论,利用相等线段利用相等线段(平行四边形对边相等平行四边形对边相等),经中间比代换经中间比代换,证明线段成比例证明线段成比例,得出等积式得出等积式.共共 39 页页20ABCD,AD BC,AB DC,ADBC.AD BC,AB D.C,DG D,.,EDF EGDGADDFBCADEGECDEECECDGDFEGDE证明四边形是平行四边形又即共共 39 页页21 反思感悟反思感悟 在有关比例问题的证明中在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段要结合平行线分线段成比例定理成比例定理,构造平行线解决构造平行线解决.平行线分线段成比例定理是平行线分线段成比例定理是几何选讲的基础内容几何选讲的基础内容,要熟练掌握要熟练掌握.共共 39 页页22类型二类型二相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质解题准备解题准备:相似三角形的判定及性质的运用相似三角形的判定及性质的运用,是几何证明的基是几何证明的基础础,要注意比例线段在研究相似图形中的作用要注意比例线段在研究相似图形中的作用.应用三角形应用三角形相似既可推理证明相似既可推理证明,还可以计算线段的长度还可以计算线段的长度,我们常常利用我们常常利用相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系,列方程计列方程计算出未知量的值算出未知量的值.共共 39 页页23【典例【典例2】 如图所示如图所示,梯形梯形ABCD中中,ABCD,且且AB=2CD,E F分别是分别是AB BC的中点的中点,EF与与BD相交于点相交于点M.(1)求证求证:EDMFBM;(2)若若DB=9,求求BM.共共 39 页页24 1DE CB;21,DEBF2,BM1.3DMDEBMBFDB分析可由已知条件证由可得又因为：故共共 39 页页25 解解 1)证明证明:E是是AB的中点的中点,AB=2EB.AB=2CD,CD=EB又又ABCD,四边形四边形CBED是平行四边形是平行四边形.CBDE,EDMFBM.共共 39 页页26 .132.EDMFBM,FBC,DE2BF.DM2BM3,BMDMDEBMBFDB是的中点共共 39 页页27反思感悟反思感悟 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理选择判定定理,若题目条件涉及平行线可选择判定定理若题目条件涉及平行线可选择判定定理1或或判定定理判定定理2.共共 39 页页28类型三类型三射影定理及应用射影定理及应用解题准备解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用三角形中的应用,在直角三角形中在直角三角形中,灵活利用射影定理灵活利用射影定理,可简可简化某些命题的证明和线段的计算化某些命题的证明和线段的计算.特别提醒特别提醒:应用射影定理有两个前提条件应用射影定理有两个前提条件:是直角三角形是直角三角形;是斜边上的高线是斜边上的高线.共共 39 页页29【典例【典例3】 如图如图,在在ABC中中,D F分别在分别在AC BC上上,且且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1,求求AC.分析分析 本题中有多处垂直关系本题中有多处垂直关系,要注意直角三角形射影定理要注意直角三角形射影定理的合理应用的合理应用.共共 39 页页30 解解 在在ABC中中,设设AC为为x,ABAC,AFBC,FC=1,根据射影定理得根据射影定理得:AC2=FCBC,即即BC=x2.再由射影定理得再由射影定理得:AF2=BFFC=(BC-FC)FC,共共 39 页页31222222242232232AFABC,DDEBCE,BDDC1,BEEC,AFBC,DEAF,DERt DEC,DEEC1.,1.1111,242,2DC ,.xDEDCAFACDC AFxACxxxxxxxxAC 在中 过点 作于又在中即即即共共 39 页页32 反思感悟反思感悟 本题体现了基本图形基本性质的综合应用本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应还应该注意该注意,作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法方法.共共 39 页页33错源错源 分类不当分类不当 考虑不全致误考虑不全致误【典例】【典例】 已知已知AD是是ABC的的BC边上的高边上的高,若若AD2=BDCD,则则ABC的形状是的形状是_.剖析剖析 我们知道我们知道:在直角三角形中在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项斜边上的射影的比例中项.反之反之,因三角形的一边上的高可因三角形的一边上的高可能在三角形外能在三角形外,因此因此,原定理的逆命题是不成立的原定理的逆命题是不成立的,即题中即题中ABC不一定是直角三角形不一定是直角三角形.共共 39 页页34正解正解 若点若点D在线段在线段BC上上,如图如图(1)所示所示,由由AD2=BDCD,可可证证ABDCAD,从而可得从而可得ABC是直角三角形是直角三角形.若点若点D在在BC的延长线上的延长线上,如图如图(2)所示所示,则仍可证则仍可证ABDCAD,但但ABC是钝角三角形是钝角三角形.综上所述综上所述,ABC是直角三角形或钝角三角形是直角三角形或钝角三角形. 共共 39 页页35评析评析 在几何图形中在几何图形中,分类讨论的数学思想是一种重要的思分类讨论的数学思想是一种重要的思想方法想方法,例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形外外.又如直角三角形的直角顶点是哪一点又如直角三角形的直角顶点是哪一点,等腰三角形的腰等腰三角形的腰是哪两边是哪两边,相似三角形的对应顶点是什么相似三角形的对应顶点是什么,诸如此类诸如此类,必须分必须分类讨论类讨论.共共 39 页页36技法技法 判定两个三角形相似的几种方法判定两个三角形相似的几种方法判定两个三角形相似的几种方法判定两个三角形相似的几种方法:两角对应相等两角对应相等,两三角形两三角形相似相似;两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似;三边三边对应成比例对应成比例,两三角形相似两三角形相似;相似三角形的定义相似三角形的定义.共共 39 页页37【典例】【典例】 如图如图,已知已知ABCD中中,G是是DC延长线上一点延长线上一点,AG分别交分别交BD和和BC于于E F两点两点,证证明明:AFAD=AGBF.共共 39 页页38ABCD,AB DC,AD BC.ABFGCF,GCFGDA.ABFGDA.,AF ADAG BF.AFBFAGAD证明四边形为平行四边形从而有即共共 39 页页39 方法与技巧方法与技巧 一般地一般地,证明等积式成立证明等积式成立,可先将其化成比例可先将其化成比例式式,再根据三角形相似证明其成立再根据三角形相似证明其成立.三角形相似具有传递性三角形相似具有传递性,如果如果A1B1C1A2B2C2,A2B2C2A3B3C3,那么那么A1B1C1A3B3C3.
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