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课时分层训练(八)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2017苏州模拟)如图6410，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.图6410(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值解DA，DC，DD1两两垂直，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，棱长为3，A1ECF1，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(0,3,1)，(3,3,3)，(3,0，1)cos，.所以两条异面直线AG与D1E所成的余弦值为.(2)设平面BED1F的法向量是n(x，y，z)，又(0，3,2)，(3,0,1)，n，n，nn0，即，令z3，则x1，y2，所以n(1,2,3)，又(3,3,3)，cos，n，直线AC1与平面BED1F所成角是，n，它的正弦值是sincos，n.2(2017南京模拟)如图6411，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点图6411(1)求二面角ADFB的大小；(2)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60. 【导学号：62172344】解(1)以，为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0,0,1)，D(，0,0)，F(，1)，B(0，0)，A(，0)，(，0)，(，0,1)平面ADF的法向量t(1,0,0)，设平面DFB法向量n(a，b，c)，则n0，n0，所以令a1，得b1，c，所以n(1,1，)设二面角ADFB的大小为，从而cos |cos n，t|，60，故二面角ADFB的大小为60.(2)依题意，设P(a，a,0)(0a)，则(a，a,1)，(0，0)因为，60，所以cos 60，解得a，所以点P应在线段AC的中点处3(2017泰州期末)如图6412，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；图6412(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值解(1)由AC3，BC4，AB5得ACB90，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x，y，z)，则由得(33，4，0)，而(3,0,4)，根据，解得或.(2)，(0,4,4)，可取平面CDB1的一个法向量为n1(4，3,3)而平面CBB1的一个法向量为n2(1,0,0)，并且n1n2与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为cos cosn1，n2.4(2017扬州期中)如图6413，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.图6413(1)求AA1的长(2)在线段BB1存在点P，使得二面角PA1CA大小的余弦值为，求的值. 【导学号：62172345】解(1)以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标，设BB1t，则A(0,0,0)，C1(0,4，t)，B1(3,0，t)，C(0,4,0)(0,4，t)，(3,4，t)B1CAC1，0，即16t20，由t0，解得t4，即AA1的长为4.(2)设P(3,0，m)，又A(0,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)(0,4，4)，(3,0，m4)，且0m4设n(x，y，z)为平面PA1C的法向量，n，n，取z1，解得y1，x，n为平面PA1C的一个法向量又知(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量，则cosn，.二面角PA1C1A大小的余弦值为，解得m1，.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017苏州市期中)在如图6414所示的四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，DABABC90，SAABBCa，AD3a(a0)，E为线段BS上的一个动点图6414(1)证明DE和SC不可能垂直；(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时，求二面角SCDE的余弦值解(1)证明：SA底面ABCD，DAB90，AB，AD，AS两两垂直以A为原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)则S(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0,3a,0)(a0)，SAABa且SAAB，设E(x,0，ax)其中0xa，(x，3a，ax)，(a，a，a)，假设DE和SC垂直，则0，即ax3a2a2ax2ax4a20，解得x2a，这与0xa矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直(2)E为线段BS的三等分点(靠近B)，E.设平面SCD的一个法向量是n1(x1，y1，z1)，平面CDE的一个法向量是n2(x2，y2，z2)，(a,2a,0)，(0,3a，a)，即，即，取n1(2,1,3)，(a,2a,0)，即，即，取n2(2,1,5)，设二面角SCDE的平面角大小为，由图可知为锐角，cos |cosn1，n2|，即二面角SCDE的余弦值为.2(2017南通模拟)如图6415，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，且PAABBCAD1，PA平面ABCD.图6415(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)棱PD上是否存在一点E满足AEC90？若存在 ，求AE的长；若不存在，说明理由解(1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，从而(1,0，1)，(1,1，1)，(0,2，1)，设平面PCD的法向量为n(a，b，c)，则n0，且n0，即abc0，且2bc0，不妨取c2，则b1，a1，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)，此时cos，n，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设(01)，则E(0,2，1)，则(1,21,1)，(0,2，1)，由AEC90得，2(21)(1)20，化简得，52410，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足AEC90.3(2017南京盐城一模)直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.图6416(1)若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值解分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)则A(0,0,0，)B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(1)当1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)，设平面A1C1D的法向量为n1(x，y，z)则所以取n1(2,0,1)，又cos，n1 ，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)，D，(0,4,0)，设平面A1C1D的法向量为n1(x，y，z)，则所以取n1(1,0,1)又平面A1B1C1的一个法向量为n2(0,0,1)，由题意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合题意，舍去)所以实数的值为1.4(2017无锡模拟) 如图6417，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1底面ABCD，D1AD1D，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.图6417(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F平面AB1C；(2)求二面角CB1AB的平面角的余弦值解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，1,1)，设F(a，b,0)，则(a，b1，1)，由得ab，所以F，即F为AC的中点(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1.设平面B1AB的法向量n2(x，y，z)，由得取n2(0,1,1)则cosn1，n2，所以二面角CB1AB的平面角的余弦值为.
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