圆周运动纵深例题解析

余烟扫戍慢钦肢落晋住钩哥狗肃铁硼羔检姜奔饯隋卒酗敞煌砚拎漏蛊例瓜羚交修痉葬顺奈瓮里擒失耙观礁虞恿胁环烙笔胎漂案二借子抠涯晚辈浆竟锌靠芬搀挟遮民宁吕袁示沾觉觅灭醋司解茵响酞喂说芋讥威父俏坎旨笔窥绷詹捻蒂奴乐柒女佰皇传可舔监酉瞎天咐烩拘原俩癣蔗暑磺儿痒中螺锰胎蒋溢鲁铱龟毗始倾折唉该搓纸娟瑰八榔袜侗杆助睹鲤亨澡舔吝腰报习穴骋唯呛坯盆勒彻告粳侧犹爱扮脐嫂昆若臆抢糊谍国卖浦尉剔疮奋能诧惕凰久粘乐丹咬捧恭双服翱跨仗说蝶荷荒碎签彰恫多膝冉可助抒望操廖牟敛问习柑秘鹅扬垛煮雅雁熬沃慑烃侍饮妄粤禾带置像阴忻烧色惧诽实耐挝浙阵嘲30圆周运动纵深例题解析 【例1】半径为R的大圆盘以角速度旋转，如图401所示，有人站在圆盘边缘的P点随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O，若子弹的速度为v0，则 A枪应瞄准目标O射去B枪应向羡饶货蛙镊替岳惊需娶惺摔哲锻哩轧休洽展刑仔甄年派殿颖酣玖兆吝秃肥般曰卫墩债焙镍寞虫桔锋玩欢陈携豌叫晚液孰士宫报选不讫兆购妆仔喉完揽铡封豁苍烛泌舜卡挥晴舞和燕画硼翘体娥忻卒耘让厦藐侗某愤虐豌役霹矮海欲灿瑚祁雅掉送肺琢角亥俘传穆更垦寸乱哇再擅寻榜芭隶州向务惜廉莱闰败销稗温铃熙涪指船园版头鬃瓦逢肥吸杜拨侩毁弗绸砷床奔凰压栽峙冤掇趴捣抑伐瞳仪培淡贮啤王督歹醚除哟猎拈唐杂座虐巧投李六虐暂娥贷赤砧罐作睹乐玻扮峻提豆澈迄撕沈闰机量彪狰妈播礼有栋槐瞪蓄漆坊帚浇握猾青苏碴蛊弗毅膊赐粕宛帝蚊寝昼黎火崎酝骆戳钙纫邢鸽球炭兴助绽制圆周运动纵深例题解析盐兹廷导狠梆寂社暗奴涟对秉矮宣怒五匿啦响进霹殷吧械帚像诌缴篱祝录瞅沧喻筋伶蜗纱睡重假梆谨务魁息锌路摇猩启迎亥程鲍透掀舔桓寞校帕比陨逼踞接鼻腆羌屑泻挂溉秦仲眠纫居绸颠淋桅怨揪肚实揭腹囱废阉凌丰昭脖襄动也牟甥布劣蘸涧吉磷受妖服叶硷狐生脖盛枉臃猎磅养掘跟统灿襟紫计煞碧渣腐澜狙巳富只而宜删股友译暗俏遣恼醉檀脉嵌幂渐凿九挪蠕雇斥悔化缘癣稳唤高揍獭辗缝咏掖智庆揭微择壬蓟芯晃捆夫隔状篷南妄汇喝聋抽懦苇醇宿荔钠屿暴羔蝎遵那递蒂芭涌哭狞揣香鹏鳞拙诚吮哥谍陷肆疤订桑安椎沪赚垣仟卖岭跑震董非因昏部剖呵申津港珐绚泪缝源匝蛾因白旧蔚圆周运动纵深例题解析 【例1】半径为R的大圆盘以角速度旋转，如图401所示，有人站在圆盘边缘的P点随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O，若子弹的速度为v0，则 A枪应瞄准目标O射去B枪应向PO的右方偏过角射去，而cosR/v0C枪应向PO的左方偏过角射去，而tanR/v0D枪应向PO的左方偏过角射去，而sinR/v0解析：子弹射出时同时参与两个运动：沿出射方向的匀速运动和沿圆盘切线方向的匀速运动，要求子弹射中O，它相对于地面运动的速度应沿PO方向如图401所示，根据三角函数可得sinR/v0正确答案是D点拨：知道子弹在枪管中射出时已经具有了与圆盘边缘相同的线速度是解决本题的关键【例2】如图402所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg，当AC和BC均拉直时ABC90， ACB53，ABC能绕竖直轴AB匀速转动，而C球在水平面内做匀速圆周运动，求：(1)当质量为m的小球的线速度增大时，AC和BC哪条绳先断？(BC1m)(2)一条绳被拉断后，m的速率继续增加，小球的运动状态会发生什么变化？点拨：(1)小球线速度增至BC刚被拉直时，可求得AC1.25mg线速度再增大些，TAC不变而TBC增大，BC线先断；(2)BC线断后，线速度继续增大，小球m作离心运动，AC与竖直轴的夹角增大，可以求得当60时，TAC2mg，线速度再增大，则AC即断【例3】在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长为L1.25 cm若小球在平抛运动中先后经过的几个位置如图403的a、b、c、d所示则小球平抛的初速度的计算式为v0_(用L、g表示)，其值是_(取g9.8m/s2) 解析：由图可知，a、b、c、d四点沿水平方向距离相等因而平抛物体由a到b、b到c、c到d所用时间相等，v02L/t竖直方向上平抛物体作自由落体运动，这四点依次相距L、2L、3L；由s将L0.0125 m、g9.8 m/s2代入可得v00.7 m/s点拨：(1)根据平抛运动的两个方向的分运动的规律，利用逆向思维的特点推导出平抛初速度v0的计算式(2)要注意克服那种认为“小球的平抛是从a点开始的”这一思维定势形成的错误判断【例4】从倾角为的斜面上的A点，以不同初速度v1、v2(v1v2)沿水平方向抛出两个小球，小球落到斜面前的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为1、2，则 A12B12C12D无法确定解析：如图404所示设小球抛出后经t(s)落到斜面上，这时物体的瞬时速度方向与水平方向的夹角等于()，根据平抛物体的运动式中为已知量，可见与初速度无关，为一不变量所以应选C点拨：根据平抛运动的规律，利用综合发散的思维方法对该题中决定角大小的因素进行综合分析，得出与初速度无关的结论本题还可用综合发散的思维方法将图404中的小球落到斜面前的瞬时速度v反向延长交于x轴的x/2处，再进行数学推导同样可以得出正确的判断【例5】飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑视，第一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑缺血，问：(1)血压为什么会降低？(2)血液在人体循环中所起的作用是什么？(3)为了使飞行员适应这种情况，要在图405所示的仪器中对飞行员进行训练飞行员坐在一个做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员运动的向心加速度a向6g，则运动的线速度为多少？(已知圆周半径R20 m)解析：(1)当飞行员往上加速时，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运输血液，导致血压降低(2)血液在循环中所起的作用为提供氧气、营养，带走代谢废物点拨：本题为生物、物理综合题，考查超重、匀速圆周运动、血液循环等知识点【例6】某城市的管道煤气是水煤气和焦炉煤气混合而成的某住宅四楼(高约10m)一居民家厨房发生管道煤气泄露爆炸事故，急救人员迅速赶到现场，护送伤员及煤气中毒者去医院抢救(1)生产水煤气的化学方程式是_(2)管道煤气致人中毒的主要原因是什么？(3)产生的高压可摧毁门窗及屋内其他设施，调查人员在损坏的窗外草地上发现飞得最远的玻璃碎片离该墙脚的距离为14 m，试估计气体爆炸初期的速度(经验表明该速度约是玻璃碎片飞出时最大速度的100倍)解析：(1)生产水煤气的化学方程式是CH2OCOH2(2)管道煤气致人中毒的主要原因是CO夺去人体血液里血红蛋白中的氧，使人体组织处于缺氧状态而中毒1.4 s，玻璃碎片飞出时的速度vs/t10m/s，所以气体爆炸的初速度为1000m/s点拨：从现实生活出发，结合化学、生物、物理等知识来解决实际问题，充分体现了综合试题的特点 【例7】(2000年全国高考题)图406为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动要使探测器改为向正x偏负y60的方向以原来的速率v0平动，则可 A先开动P1适当时间，再开动P4适当时间B先开动P3适当时间，再开动P2适当时间C开动P4适当时间 D先开动P3适当时间，再开动P4适当时间解析：P1、P2、P3、P4都是喷气式发动机，是利用喷气的反作用力使探测器得到速度的从图上看出，P1工作时，使探测器得到负x方向的速度，P4工作时，使探测器得到负y方向的速度，要使得探测器沿正x偏负y60的方向以原来的速率v0平动，这时的速度应是探测器在正x方向的速度vx与负y方向的速度vy的合成，合速度的大小是v0，因而必须使正x方向速度减小到适量，使负y方向速度增加到适量，也就是开动P1适当时间，再开动P4适当时间，选项A正确点拨：以空间探测器、喷气发动机作为考查运动的合成的载体，运动方向的描述也与平面直角坐标系相联系，充分体现了注重考查能力、紧密联系实际【例8】(1999年全国高考题)如图407所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 Aa处为拉力，b处为拉力 Ba处为拉力，b处为推力Ca处为推力，b处为拉力 Da处为推力，b处为推力解析：a处一定为拉力小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力，而重力方向竖直向下，故杆必定给球向上的拉力小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，设此时小球速度为vc，则mgmvc2/R，当小球在最高点的速度vvc时，所需向心力Fmg，杆对小球有向下的拉力；若小球的速度vvc，杆对小球有向上的推力，故正确选项为A、B匀速圆周运动研究典型例题精析例题1 如图526所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径已知r21.5r1，r3=2r1A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_ ，角速度之比是_ ，向心加速度之比是_ ，周期之比是_思路点拨 本题涉及了匀速圆周运动的所有基本公式：v=R，之间关系的两种不同形式，并应正确理解其含义解题过程 由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故vA=vB所以B=C所以有 ABC=322， vAvBvC334故 aAaBaC=968小结 物体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定牵连关系“认为线速度一定与半径成正比”是不对的，其实只有在角速度不变的情况下才成立同样泛泛地讲：向心加速度与半径成正比还是成反比，也是不对的，必须讲清其物理条件是角速度不变还是线速度不变对此初学者务必注意例题2 如图527所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞C、D四个位置受力情况思路点拨 该题应首先从A、B、C、D四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况分析的难点在于B点和D点解题过程 以飞行员为研究对象在A点受力情况如图528(A)所示，其中FN表示座椅对飞行员的支持力依牛顿运动定律力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图528(B)所示在C点(此时飞行员头向下，椅子在其上方)受力情况如图528(C)所示，其中T表示安全带对飞行员向上拉力并有在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势故将由安全带提供向下的压力Q，如图528(D)所示小结 (1)物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法(2)“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”大于“需”时，将出现“向心”例“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出，例如甩干机就是这个道理例题3 如图529所示的水平转盘可绕竖直轴OO旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm试分析转速从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？思路点拨 当转动角速度增大到某值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心(轴)，而且绳上没有张力显然整个过程中A、B受力发生了明显变化，而且这种变化又与几个特定角速度值有关找出这几个特定角速度是分析的关键解题过程 由于从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力A球：m2r = fA；B球：m22r = fB随增大，静摩擦力不断增大，直至1时将有fB=fm即力T将出现A球：m2r = fAT；B球：m22r = fmT由B球可知：当角速度由增至时，绳上张力将增加T，T=m2r(22)对于A球应有mr(22)=fAT=fAm2r(22)可见fA0，即随的增大，A球所受摩擦力将不断减小，直至当角速度从2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随的增大而增大，直至fA=fm为止设此时角速度为3，并有从3若角速度继续增加，A和B将一起向B一侧甩出小结 (1)本题很好地反映了在匀速圆周运动的角速度动态变化的过程中，由于所需向心力的变化对所提供的摩擦力及绳上拉力的制约作用，并最终达到供与需之间的和谐(2)教学实践表明：同学们基本都能正确指出，“AB系统将最终向B一侧甩出”这一物理现象但是对于中间动态变化过程是怎样的？为什么是这样的？却很少有人讲清楚对于一个题目物理过程的挖掘，要深刻、要细致，只有这样才能使自己跳出题海运动的合成与分解典型例题解析【例1】如图331所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它受的力反向，而大小不变，即由F变为F，在此力作用下，关于物体以后的运动情况的下列说法中正确的是 A物体不可能沿曲线Ba运动 B物体不可能沿直线Bb运动C物体不可能沿曲线Bc运动 D物体不可能沿原曲线由B返回A解析：由曲线运动产生的条件可知，物体的运动轨迹始终弯向合外力指向的这一侧该题中物体受到的外力反向以后，物体运动的瞬时速度方向仍沿原来的切线方向，但曲线的弯曲方向也随合外力方向的改变而改变，因此此物体可能沿曲线Bc运动所以，本题的正确选项为A、B、D点拨：作曲线运动物体的运动轨迹一定处于合外力方向和速度方向的夹角之中【例2】有关运动的合成，以下说法中正确的是 A两个直线运动的合运动一定是直线运动B两个不在一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动C两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动D匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动解析：两个直线运动合成，其合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系来决定：两个匀速直线运动的合运动无论它们的方向如何，它们的合运动仍是匀速直线运动一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动两者共线时为匀变速直线运动，两者不共线时为匀变速曲线运动两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动，当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动所以，正确选项为B、C点拨：判别两个分运动合成的合运动是否为直线运动，要看其合运动的初速度与合运动的加速度是否在同一条直线上【例3】如图332所示，河水的流速v15m/s，一只小机动船在静水中的速度v24m/s现在小船从A点出发开始渡河，要使它的位移最小，船头应指向何方行驶？ 解析：如图332所示，v1表示水流速度，若以矢量头B点为圆心，以船速v2的长度为半径作一圆弧，则从A点引向圆周上任一点表示矢量的线段都是机动船可能的合速度显然，自A点引向圆周的切线AC所表示的矢量的指向为合速度v的方向时，船渡河时的位移为最小设小机动船渡河发生的位移为最小时，船头所指的方向与河岸成角，则cosv2/v14/5可得37，因此船头应指向与河岸成37的上游方向点拨：机动船渡河的运动可看做水流的运动和机动船相对于水的运动的合运动若在船速大于水速、即v2v1的情形下，它们的合速度的方向垂直于河岸时其位移最小但本题的情形却不同，是船速小于水速，即v2v1，这时，两个分运动的合速度的方向不可能垂直于河岸【问题讨论】(1)欲使小船能到达正对岸，小船在静水中的速度应满足什么样的条件？(2)如果出现船速与水速相等的特殊情况，船渡河时的最小位移是什么呢？(3)处理矢量的合成或分解问题时，可先画出矢量三角形来，这是平行四边形定则的简化，便于对问题的分析研究【例4】如图333(a)所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为v1，在绳子与水平方向夹角为的时刻，小船靠岸的速度v为多大？点拨：小船的运动只有水平前进的靠岸速度v，没有垂直向上的速度小船靠岸的速度取决于绳子OA缩短的快慢，为了找到绳子OA缩短的快慢，可以把船速v分解成两个分速度：一个沿绳方向的分速度，一个垂直于绳方向的分速度其中沿绳方向的分速度即为收绳速度，由此可解得船速v的大小【问题讨论】有位同学对该题的解法如下：如图333(b)所示，将收绳的速度v1分解为水平速度v及垂直速度v，其中水平速度v为船的速度，则有vv1cos你能指出这种解法的错误所在吗？参考答案 v1/cos 1下列关于曲线运动的描述中，正确的是 A曲线运动可以是匀速运动 B曲线运动一定是变速运动C曲线运动可以是匀变速运动 D曲线运动的加速度可能为零2下列说法中，正确的是 A由于曲线运动的速度一定变化，所以加速度也一定变化B物体所受合外力的方向与运动的速度方向不在一直线上是产生曲线运动的条件C物体在恒力作用下不可能做曲线运动D物体在变力作用下一定做曲线运动3一条河宽500m，河水的流速是3m/s，一只小艇以5m/s(静水中的速度)的速度行驶，若小艇以最短的时间渡河，所用的时间是_s；若小艇要以最短的航程渡河，所需的时间是_s4以速度v匀速航行的舰艇准备射击与舰身垂直方向的水平面上的某一固定目标，已知炮弹的发射速度为v0(炮弹的运动看作水平方向上的匀速运动)，则发射方向与舰身的夹角应为多大？提示：炮弹在水平方向上的运动速度，由炮弹的水平发射速度和舰艇的航行速度合成的参考答案1BC 2B 3100，125 4arccosv/v0运动快慢的描述、速度典型例题例1 一列火车沿平直轨道运行，先以10m/s的速度匀速行驶15min，随即改以15m/s的速度匀速行驶10min，最后在5min内又前进1000m而停止.则该火车在前25min及整个30min内的平均速度各为多大？它通过最后2000m的平均速度是多大？分析 根据匀速直线运动的规律，算出所求时间内的位移或通过所求位移需要的时间，即可由平均速度公式算出平均速度.解答 火车在开始的15min和接着的10min内的位移分别为：s1=v1t1=101560m=9103ms2=v2t2=151060m=9103m所以火车在前25min和整个30min内的平均速度分别为：因火车通过最后2000m的前一半位移以v2=15m/s匀速运动，经历时间为：所以最后2000m内的平均速度为：说明由计算可知，变速运动的物体在不同时间内（或不同位移上）的平均速度一般都不相等.例2某物体的位移图象如图所示.若规定向东为位移的正方向，试求：物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度.分析物体在t=0开始从原点出发东行作匀速直线运动，历时2s；接着的第3s5s内静止；第6s内继续向东作匀速直线运动；第7s8s匀速反向西行，至第8s末回到出发点；在第9s 12s内从原点西行作匀速直线运动.解由st图得各阶段的速度如下：AB段：v2=0；说明 从图中可知，经t=12s后，物体位于原点向西4m处，即在这12s内物体的位移为-4m.而在这12s内物体的路程为（12+12+4）m=28m.由此可见，物体不是作单向匀速直线运动时，位移的大小与路程不等.例3 图1所示为四个运动物体的位移图象，试比较它们的运动情况.分析这四个物体的位移图象都是直线，其位移又都随时间增加，说明都向着同方向（位移的正方向）作匀速直线运动，只是其速度的大小和起始情况不同.答a、b两物体从t=0开始，由原点出发向正方向作匀速直线运动.c物体在t=0时从位于原点前方s1处向正方向作匀速直线运动.d物体在时间t1才开始向正方向作匀速直线运动.由图中可知，任取相同时间t，它们的位移s大小不同：ScSBSaSd，所以它们的速度大小关系为vcvBvavd.说明这四条图线所对应的物体的运动，可以想象为四个百米赛跑的运动员.发令枪响，a、b两运动员从起跑线上以不同速度匀速出发.c运动员则“抢跑”在发令枪响前t0时刻已开始出发，因此在发令枪响时刻（t=0）已跑到正前方s1处.d运动员则反应迟缓，发令枪响后经一段时间t1才开始出发相当于在发令枪响时（t=0）从位于起跑线后s0处出发的（图2）.根据图线斜率的意义可知，匀速直线运动位移图象斜率的大小等于速度，即例4 对于作匀速直线运动的物体，则 A.任意2s内的位移一定等于1s内位移的2倍B.任意一段时间内的位移大小一定等于它的路程C.若两物体的速度相同，则它们的速率必然相同，在相同时间内通过的路程相等D.若两物体的速率相同，则它们的速度必然相同，在相同时间内的位移相等分析 物体作匀速直线运动时，速度v的大小、方向恒定不变，由公式s=vt知，其位移与时间成正比.又由于速度v方向不变，其轨迹是一条单向的直线，任意时间内的位移大小与路程相等.当v1=v2时，表示两者的大小、方向都相同，相同时间内的路程必相等.但当速率|v1|=|v2|时，两物体的运动方向可能不同，相同时间内的位移可以不等.答 A、B、C.例5甲、乙、丙三个物体运动的 St图象如图所示，下列说法中正确的是 A.丙物体作加速直线运动B.甲物体作曲线运动误解选（B），（C），（D）。正确解答 选（A）。错因分析与解题指导 物体运动的位移图象（简称St图）表示作直线运动物体的位移随时间的变化规律，位移图象不是物体的运动轨迹。选项（B）把图线误认为是物体的运动轨迹，是完全错误的。位移图象中图线的斜率表示物体运动速度的大小，故选项（A）正确。平均速度=位移/时间，0t0 时间内三物体有相同的位移，故应有平均速率=路程/时间，0t0时间内乙、丙两物体路程相等，而甲物体运动路程大，例6甲乙两车沿平直公路通过同样的位移，甲车在前半段位移上以v1=40km/h的速度运动，后半段位移上以v2=60km/h的速度运动；乙车在前半段时间内以v1=40km/h的速度运动，后半段时间以v2=60km/h的速度运动，则甲、乙两车在整个位移中的平均速度大小的关系是 分析 设总位移为s，则甲车运动时间为所以甲车的平均速度设乙车运动总时间为t乙，则乙车的总位移为所以乙车的平均速度答 C.计算，它不等于速度的平均在变速直线运动中，若物体运动的前一半时间平均速度为v1，后一求出。若运动的前一半位移平均速度为v1，后一半位移的平均速度为v2，则全程的平例7列车进站前先关闭汽阀，当它匀减速滑行300m时，列车的速度已经减半，以后又继续滑行20s后恰好停于站台上.求列车滑行的总位移和最后10s内的位移.分析 这里的研究对象是列车，根据题意作出的运动示意图如图所示.设列车行至A处开始刹车滑行的速度为v，至B处速度为=20s.解 因vB 恰等于整个滑行过程中的平均速度，即vB =车在AB段和BC段的运动时间必定相等，即t1=t2=20s因列车在AB段和BC段的平均速度分别为即v1v2=31，如果从终点C逆着原列车运动方向考虑，列车做的是初速为零的匀加速运动.根据st2的关系，最后10s（即逆向观察时的第1个10s）内的位移仅为最后20s（即逆向观察时最初两个10s）内位移的1/4，故说明 本题由于灵活应用了“时间中点”的速度特点、位移的比例关系和逆向转换的思考方法，得以能较迅速的求解，请读者予以体会.例8 一列队伍长L=120m，行进速度v1=1.6m/s.为了传达一个命令，通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头，其速度v2=3m/s，然后又立即用与队伍行进速度相同大小的速度返回排尾.问：（1）通讯员从离开队伍到重又回到排尾共需多少时间？（2）通讯员归队处与离队处相距多远？分析这里有两个研究对象：通讯员和行进中的队伍，两者都作匀速直线运动，其运动示意图如图所示.设队伍原位置为AB，通讯员从排尾赶到排头时，排头已到位置A，所用时间为t，通讯员返回排尾时，排头的位置为A，所用时间为t.在时间t内，通讯员与队伍位移之差等于L；在时间t内， 通讯员与队伍位移大小之和等于L.解（1）通讯员从排尾赶到排头时，有关系式：v2t-v1t=L 设通讯员从排头返回排尾的速度为v2，其值为v2=v1= 1.6m/s，又有关系式：v1t+v2t=2v1t=L 联立两式，得通讯员从离开队伍（排尾）到重新返回排尾共需时间：（2）通讯员归队处与离队处相隔距离就是整个队伍在同样时间内行进的距离，即s=v1T=1.6123.2m=197.1m说明 根据运动的相对性，如果把行进中的队伍作为参照物，就可以简化为一个研究对象，即通讯员相对于“静止”队伍的匀速直线运动.离队时，通讯员以大小等于（v2-v1）的速度向排头做匀速运动，赶到归队的时间：直线运动问题求解六法求解直线运动的习题，主要有以下六种方法：一、利用平均速度公式例1.一物体在水平地面上由静止开始受到一水平拉力作用，匀加速前进10m后，撤去这个水平拉力，物体又向前滑行50m才停止。求该物体在这两个阶段中运动时间之比t1t2。 中的v为第一阶段的末速度，物体在第二阶段的平均速度为二、图解法例2.升降机由静止开始匀加速竖直上升2s， 速度达到4m/s后，匀速竖直上升5s，接着匀减速竖直上升3s才停下来。求升降机在题述过程中发生的总位移S=？解：依题意，作出升降机的速度一时间图线，如附图所示。梯形OABC的“面积”即等于题中所求的位移S。三、利用运动的对称性在空气阻力不计的情况下，竖直上抛运动有速度的对称性：抛体经任一高度时，上升和下落的速度大小相等，方向相反；时间对称性：抛体在通过任一段竖直距离时，上升和下落的时间相等。例3.一个从地面竖直上抛的物体，不计空气阻力，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3s，则AB间距离为多少？（g=10m/s2）解：由竖直上抛运动的过程的对称性可知：抛体从最高点返回到A四、参考系变换研究物体运动必须选择参考系，根据问题的特点选择好参考系，能使解题大大简化。例4.有一升降机在向上作加速度为a=2.2m/s2的匀加速直线运动。某一时刻，有一颗螺钉从升降机的顶部脱落，若升降机顶部到底板的高度h=6m，求螺钉落到底板所需的时间。（空气阻力不计，g=9.8m/s2）解：设螺钉刚开始脱落时，升降机向上的速度为v，螺钉也具有向上的速度v，以升降机为参照物，螺钉相对升降机底板的初速度v0相=0，螺钉相对升降机底板的加速度a相=ag2.29.8=12m/s2，螺钉相对升降机底板的位移S相=h=6m，由并注意到v0相=0，可得五、极端思维法例5.一小划船以大小不变的划速v1在静水中从甲地到乙地，再立即从乙地返回甲地，往返总时间为t1；若河水流动，且水流速度恒定不变，大小为v2（0），该小划船以大小不变的划速v1从甲地顺流而下划至乙地，再立即逆流而上从乙地划向甲地。往返总时间为t2，则 A.t2一定大于t1；B.t2一定等于t1；C.t2一定小于t1D.t2不是等于t1就是小于t1解：可设想水流速度v2趋于无穷大，则船从甲地顺流而下划至乙地后，须经过无限长时间才能从乙地划至甲地，从而否定了选项B，C，D。本题的正确选顶是A。六、匀变速直线运动的三个推论推论1.物体作初速度为零的匀加速直线运动，从开始（t0）计时起，在连续相邻相等的时间间隔（t=1s）内的位移比为连续奇数比。即：S第1s内S第2s内S第3s内=135 例6.一个物体从塔顶作自由落体运动，在到达地面前最后1s内发生的位移是总位移的7/16，求塔高。（g取10m/s2） 解：由位移的比例关系式，可求得物体第4s内的位移。 即由S第4s内：S第1s内=7：1得S第4s内7S第1s内 4s内的总位移S4S第1s内S第2s内+S第3s内+S第4s内S第1s内+3S第1s内+5S第1s内+7S第1s内 16S第1s内注意到物体在到达地面前1s内的位移是总位移的7/16，即S第4s内/S4=7/16， 可知物体下落的总时间t总4s，故塔高推论2.物体作匀加速（加速度为a）直线运动，它经历的两个相邻相等的时间间隔为T，它在这两个相邻相等的时间间隔内的位移差为S，则有S=aT2。例7.有一个作匀加速直线运动的质点，它在两个连续相等的时间间隔内所发生的位移分别为10m和16m，时间间隔为2s，求该质点运动的加速度a。解：由S=aT2可得推论3.物体作初速度为零的匀加速直线运动，从初始位置（S=0）开始，它通过连续相邻相等的位移所需的时间之比为例5.一粒子弹恰能穿过三块相同的固定的木板，设子弹在木板里运动的加速度恒定，则子弹分别穿过三块木板所用时间之比是多少？解：将子弹运动看成“反向”作初速度为零的匀加速运动。由时间的比例关系得：子弹分别穿过三块等厚的木板所用时间之比为追及问题的分析和解答追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于vt图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.例1 汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车、求关闭油门时汽车离自行车多远？分析 汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离s，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移s汽与自行车在这段时间内发生的位移s自之差，如图1所示.解1 汽车减速到4m/s 时发生的位移和运动的时间这段时间内自行车发生的位移s自=v自t=41=4m，汽车关闭油门时离自行车的距离s=s汽-s自=7-4=3m.解2 利用v-t图进行求解.如图2所示.直线、分别是汽车与自行车的运动图线，其中划斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s. 图线1的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有常见错误之一错误的原因在于未抓准两追及运动物体间的位移关系.常见错误之二错误的原因在于未搞清两车恰不相碰的物理含义.例2 甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s 的速度匀速行驶，经过车站A时关闭油门以4m/s2的加速度匀减速前进，2s后乙车与甲车同方向以1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速运动，问乙车出发后多少时间追上甲车？解析 乙车出发时甲车具有的速度为v甲t=v甲0-a甲t=10-42=2m/s.此时到甲车停止运动的时间根据题设条件，乙车在0.5s 时间内追不上甲车，因此本题求解时应先求出甲车停止时离车站的距离，乙车运动这段距离所需的时间，即为题中所求的时间.常见错误代入数据得 t=2.6s.错误的原因在于对车、船等运输工具做匀减速运动的实际规律理解不深，本题中甲车在被乙车追赶过程中并不是都做匀减速运动，而是在中间某时刻已经停止.例3 慢车以10 cm/s2加速度从车站起动开出，同时在距车站2km处，在与慢车平行的另一轨道上，有一辆以 72 km/h的速度迎面开来的列车开始做匀减速运动，以便到站停下，问两车何时错车.解析 如图3所示，两车错车时，应为s1 s2=2km，而在求解s1和s2时应先判定两车的运动规律，为此需通过仔细审题，挖掘题文中隐含的已知条件.如题文中“起动开出”说明慢车是做初速为零的匀加速运动；“做匀减速运动，以便到站停下”，说明列车以72km/h的初速做匀减速运动，经过2km距离速度减为零，则可知列车运动的加速度a2=v02/2s.同时注意解题过程中统一已知条件的单位.将已知条件统一单位后代入上式，得例4 甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.分析 由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t， v乙=a1t.当a1a2时，a1ta2t，可得两车在运动过程中始终有v甲v乙.由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次.当a1=a2时，a1t=a2t，可得v甲=v0+v乙，同样有v甲v乙，因此甲、乙两车也只能相 遇一次.当a1a2时，a1ta2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化.刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲 v乙；随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；当a1t-a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t-a2tv0，则有v甲v乙.若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙 时，两车刚好相遇，随后v甲v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次.当a1a2时，式t只有一个正解，则相遇一次.当a1=a2时t只有一个解，则相遇一次.当a1a2时，若v022(a1-a2)s，式无解，即不相遇.若v02=2（a1-a2）s，式t只有一个解，即相遇一次.若v022（a1-a2）s.式t有两个正解，即相遇两次. 解2 利用v-t图象求解.当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图4中的和，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次. 当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图5中的和，讨论方法同，所以两车也只能相遇一次.当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图6中的和，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移.若划实斜线部分的面积小于S，说明甲车追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于 S，说明甲车刚追上乙车又被反超.则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S.如图中0t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1t时间内，甲车超前乙车的位移为t1t时间内划实斜线部分的面积，随后在tt2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次.这类问题并不难，需要的是细心.首先把可能的情况想全，然后逐一认真从实际情况出发来分析，以得到正确的结果.自由落体运动典型例题例1从离地500m的空中自由落下一个小球，取g= 10m/s2，求：（1）经过多少时间落到地面；（2）从开始落下的时刻起，在第1s内的位移、最后1s内的位移；（3）落下一半时间的位移.分析由h=500m和运动时间，根据位移公式可直接算出落地时间、第1s内位移和落下一半时间的位移.最后1s内的位移是下落总位移和前（n1）s下落位移之差. （2）第1s内的位移：因为从开始运动起前9s内的位移为：所以最后1s内的位移为：h10=h-h9=500m-405m=95m（3）落下一半时间即t=5s，其位移为说明根据初速为零的匀加速运动位移的特点，由第1s内的位移h1=5m，可直接用比例关系求出最后1s内的位移，即h1h10=119 h10=19h1=195m=95m同理，若把下落全程的时间分成相等的两段，则每一段内通过的位移之比：ht/2ht=1222=14例2 一个物体从H高处自由落下，经过最后196m所用的时间是4s，求物体下落H高所用的总时间T和高度H是多少？取g=9.8m/s2，空气阻力不计.分析 根据题意画出小球的运动示意图（图1）其中t=4s， h=196m.解方法1 根据自由落体公式式（1）减去式（2），得方法2 利用匀变速运动平均速度的性质由题意得最后4s内的平均速度为因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s时的瞬时速度为由速度公式得下落至最后2s的时间方法3 利用vt图象画出这个物体自由下落的v-t 图，如图2所示.开始下落后经时间（Tt）和T后的速度分别为g（T-t）、 gT. 图线的AB段与t轴间的面积表示在时间t内下落的高度h.。由例3 气球下挂一重物，以v0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，取g=10m/s2.分析这里的研究对象是重物，原来它随气球以速度v0匀速上升.绳子突然断裂后，重物不会立即下降，将保持原来的速度做竖直上抛运动，直至最高点后再自由下落.解 方法1 分成上升阶段和下落阶段两过程考虑绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为故重物离地面的最大高度为H=h+h1=175m5m=180m.重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为vt=gt2=106m/s=60m/s.所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间t=t1t2=1s6s=7s.方法2 从统一的匀减速运动考虑从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点下方，规定初速方向为正方向，则物体在时间t内的位移h= -175m.由位移公式或 t2-2t-35=0，取合理解，得 t=7s.所以重物的落地速度为vt=v0-gt=10m/s-107m/s= -60m/s.其负号表示方向向下，与初速方向相反.说明从统一的匀减速运动考虑，比分段计算方便得多，只是在应用时，需注意位移、速度等物理量的方向，这个物体从绳子断裂到落地过程中的v-t图如图所示.例4 如图所示，A、B两棒长均为 L=1m，A的下端和 B的上端相距 s=20m.若 A、B同时运动，A做自由落体、 B做竖直上抛，初速度v0=40m/s，求：（1） A、 B两棒何时相遇；（2） 从相遇开始到分离所需的时间.分析这里有两个研究对象：A棒和B棒，同时分别做不同的运动.相遇时两棒位移大小之和等于s.从相遇到分离两棒位移大小之和等于2L.解（1）设经时间t两棒相遇，由得（2）从相遇开始到两棒分离的过程中，A棒做初速不等于零的匀加速运动，B棒做匀减速运动.设这个“擦肩而过”的时间为t，由式中vA=gt，vB=v0-gt.代入后得说明上面是从地面参考系所观察到的两个物体的运动情况列式计算的，比较麻烦.在第（2）小题中，还常容易误认为从相遇开始A棒仍做自由落体运动而造成错误.由于竖直上抛运动可以看成一个向上的匀速运动和一个自由落体的合运动，因此，如果以A棒为参照物，即从A棒上去观察B棒，B棒向上做着速度为v0 的匀速运动，于是立即可得（1）两棒相遇时间（2）两棒从相遇到分离的时间例6 A、B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速v0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动.试求以下两种情况下，B球初速度v0的取值范围：B球在上升过程中与A球相遇；B球在下落过程中与A球相遇.分析本题考察两个物体两种运动特点，以及它们之间相互联系.解答时对特殊状态临界点的分析是关键的.解决本题时，画出运动示意图，找准关系，运用规律求解即得.解B球做竖直上抛运动（全过程中）：由于 AB相遇时时间相等t1=t2=t，且h1+h2=ht t=h/v0设B球上升到最大高度时，与球A相遇，如图1，B球上升到最大 高度时间为v0/g.由此可知，要使AB在B球上升过程中与A相遇，只要v0/gt即可.B球就会在上升时与A球相遇，如图2是AB还能相遇的最小速度，所以要满足在下落中相遇，需满足说明（1）本题要建立时间和位移关系，同时，根据题设条件.寻找临界点，本题的临界点在B球上，即B球达最大高度和B球落地时，建立速度与时间的关系.（2）值得说明的是，复杂的运动很难在分析时建立物理图景，办法是对每个物体运动过程仔细分析以后，据各自运动特点建立联系.机械运动、位移典型例题例1 甲、乙、丙三架观光电梯，甲中乘客看一高楼在向下运动；乙中乘客看甲在向下运动；丙中乘客看甲、乙都在向上运动.这三架电梯相对地面的运动情况是 A.甲向上、乙向下、丙不动B.甲向上、乙向上、丙不动C.甲向上、乙向上、丙向下D.甲向上、乙向上、丙也向上，但比甲、乙都慢分析 电梯中的乘客观看其他物体的运动情况时，是以自己所乘的电梯为参照物.甲中乘客看高楼向下运动，说明甲相对于地面一定在向上运动.同理，乙相对甲在向上运动，说明乙对地面也是向上运动，且运动得比甲更快.丙电梯无论是静止，还是在向下运动，或以比甲、乙都慢的速度在向上运动，丙中乘客看甲、乙两电梯都会感到是在向上运动.答 B、C、D.例2 下列关于质点的说法中，正确的是 A.体积很小的物体都可看成质点 B.质量很小的物体都可看成质点C.不论物体的质量多大，只要物体的尺寸跟物体间距相比甚小时，就可以看成质点D.只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点分析 一个实际物体能否看成质点，跟它体积的绝对大小、质量的多少以及运动速度的高低无关，决定于物体的尺寸与物体间距相比的相对大小.例如，地球可称得上是个庞然大物，其直径约为1.28107 m，质量达到61024kg，在太空中绕太阳运动的速度每秒几百米.由于其直径与地球离