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第67课 简单的复合函数的导数及其应用最新考纲内容要求ABC简单的复合函数的导数1复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数，如ysin 2x是由ysin_u及u2x复合而成的2复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yxsin x是复合函数()(2)ycos(x)的导数是ysin x()(3)函数ye2x在(0,1)处的切线方程为y2x1.()(4)函数yln 在(0，)上单调递增()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若f(x)(3x1)2ln x2，则f(1)_.22f(x)18x6，f(1)182622.3设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.3令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.4函数yln 的单调递增区间是_(0，)y，且原函数的定义域为(0，)，故当x0时，y0恒成立，所以原函数的单调递增区间为(0，)5(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.复合函数的求导求下列函数的导数(1)ycos2；(2)y；(3)yx2e2x；(4)y.解(1)y，y(sin 4x)cos 4x(4x)cos 4x42cos 4x.(2)y.(3)y(x2)e2xx2(e2x)2xe2xx2e2x(2x)2xe2x2x2e2x.(4)y.规律方法复合函数求导的一般步骤：(1)分层：即将原函数分解成基本初等函数，找到中间变量；(2)求导：对分解的基本初等函数分别求导；(3)回代：将上述求导的结果相乘，并将中间变量还原为原函数上述过程即所谓的“先整体，后部分”变式训练1(1)若f(x)ln(83x)，则f(1)_.(2)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最小距离为_(1)(2)(1)f(x)，故f(1).(2)y，由2得x1.又当x1时，yln(21)0，所以平行于2xy30的曲线的切线方程为2xy20.所以dmin.有关复合函数的单调性问题已知函数f(x)x2eax，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性. 【导学号：62172354】解(1)因为当a1时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.从而yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye3e(x1)，即y3ex2e.(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当a0时，若x0，则f(x)0，若x0，则f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax20，解得x0或x，由2xax20，解得0x.所以f(x)在区间(，0)和上为减函数，在上为增函数当a0时，由2xax20，解得x0，由2xax20，解得x或x0.所以，当a0时，函数f(x)在区间，(0，)上为增函数，在区间上为减函数综上所述，当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，0)，上单调递减，在上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在，(0，)上单调递增规律方法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论2划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点3个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数变式训练2(2017如皋中学第一次月考)已知常数a0，函数f(x)ln(1ax).讨论f(x)在区间(0，)上的单调性. 【导学号：62172355】解f(x)ln(1ax).f(x)，(1ax)(x2)20，当1a0时，即a1时，f(x)0恒成立，则函数f(x)在(0，)上单调递增，当00时，f(x)0，x0时，f(x)0，f(x)在0,1上单调递增，f(x)maxf(1)1.(2)当a0时，由f(x)0得x0或x.当2a1，所以f(x)在0,1上单调递增，f(x)maxf(1)ea.当a2时，00，当且仅当2e2x2e2x，即x0时，“”成立故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论：当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t1，t20，即f(x)0有两个根x1ln t1，x2ln t2.当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，当x0，从而f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)思想与方法1对复合函数的求导，一般要遵循“先整体，后部分”的基本原则，在实施过程中，要注意复合函数的构成，2含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法3对于参数的范围问题，不等式的证明问题，常用构造函数法，求解时尽量采用分离变量的方法，转化为求函数的最值问题易错与防范1复合函数为yf(g(x)的形式，并非yf(x)g(x)的形式2复合函数的求导要由外层向内层逐层求导3含参数的极(最)值问题要注意讨论极值点与给定区间的位置关系课时分层训练(十一)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2017如皋市高三调研一)已知函数f(x)e3x63x，求函数yf(x)的极值解由f(x)3e3x633(e3x61)0，得x2.x(，2)2(2，)f(x)0f(x)所以，由上表可知f(x)极小值f(2)5，所以f(x)在x2处取得极小值5，无极大值2(2017镇江期中) 已知函数f(x)e2x12x.(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)证明：当xR时，f(x)0 恒成立. 【导学号：62172356】解(1)函数f(x)e2x12x，定义域为R，f(x)e2x1(2x1)22e2x12.(2)由题意f(x)2e2x12，xR ，x，f(x)，f(x)在xR上变化如下表：xf(x)0f(x)极小值当x时f(x)取得极小值也是最小值，而f0，故f(x)0恒成立3(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)4已知函数f(x)xeax(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值. 【导学号：62172357】解(1)f(x)xeax(a0)，则f(x)1aeax，令f(x)1aeax0，则xln.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xlnf(x)0f(x)极大值故函数f(x)的增区间为；减区间为.(2)当ln，即0a时，f(x)maxfe2；当ln，即a时，f(x)maxfln；当ln，即a时，f(x)maxfe.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017如皋市高三调研一)设函数f(x)axxebx(其中a，b为常数)，函数yf(x)在点(2,2e2)处的切线的斜率为e1.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)因为f(x)aebxxebx，所以f(2)aeb2e1，且f(2)2a2eb22e2，由得ae，b2，所以f(x)exxe2x.(2)f(x)ee2xxe2x，由f(x)e2xe2xxe2xe2x(x2)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)f(x)最小值e10，即f(x)0恒成立所以f(x)的单调增区间为(，)2已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围解(1)由f(x)(xk)2e，得f(x)(x2k2)e，令f(x)0，得xk，若k0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k)若k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等价于f(k)，解得k0时，g(x)0，求b的最大值解(1)f(x)exex20，等号仅当x0时成立所以f(x)在(，)单调递增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(，)上单调递增而g(0)0，所以对任意x0，g(x)0.当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln(b1)时，g(x)0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .
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