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三、多元函数的极限三、多元函数的极限二、多元函数的概念二、多元函数的概念四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性五、小结五、小结 思考题思考题第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、区域一、区域1.邻域邻域(neighborhood)0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、区域 (region)2.内点内点(inner point)、边界点和聚点、边界点和聚点.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE 的的边边界界点点为为则则称称）属属于于，也也可可以以不不本本身身可可以以属属于于（点点的的点点也也有有不不属属于于的的点点于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEP,的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为)(boundaryEEEPP .41,. 3;, 41. 2;, 41. 1,41,2020202020202020202020022 yxyxyxEEEEPyxyxEEPyxRyxPyxyxE或或的的边边界界的的聚聚点点也也是是的的边边界界点点为为则则点点或或若若的的聚聚点点也也是是的的内内点点为为则则点点若若点点设设点点集集举举 例例 .,00的的聚聚点点为为则则称称，也也可可不不属属于于本本身身可可属属于于中中的的点点总总有有的的去去心心邻邻域域，如如果果对对于于任任意意给给定定的的EPEEPEPUP (Point of accumulation)3.开集开集(opener)与闭集与闭集(closed set)EP 41),(221 yxyxE例如例如即为开集；即为开集；;2中中的的开开集集是是则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集REE.22中中的的闭闭集集是是则则称称中中的的开开集集，是是的的余余集集如如果果REREEc41),(222 yxyxE即为闭集；即为闭集；41),(223 yxyxE即非开集即非开集也非闭集也非闭集.,2RE 设设集集合合4.有界集有界集(bounded set)与无界集与无界集 ., 0,2222中中的的有有界界集集是是则则称称都都有有使使得得对对所所有有的的如如果果存存在在常常数数设设集集合合REkyxOPEyxPkRE 一个集合如果不是有界集，就称为无界集一个集合如果不是有界集，就称为无界集.5.区域、闭区域区域、闭区域是是连连通通的的开开集集，则则称称且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线内内是是开开集集如如果果对对于于设设DDDD 连通的开集称为区域连通的开集称为区域(region)或开区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo注：注：n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：二、多元函数的概念(functions of several variables) 。上上）的的图图形形（或或图图像像）（在在为为函函数数中中的的子子集集的的值值域域，并并且且称称称称为为函函数数的的定定义义域域，称称为为函函数数称称为为因因变变量量，称称为为自自变变量量，其其中中或或值值）函函数数，记记作作元元（实实上上的的一一个个称称为为定定义义在在的的任任一一映映射射到到实实数数集集的的一一个个非非空空子子集集，从从是是设设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定义 .,.,323232121MfuPfzzyxMyxPRRzyxyxxxxxxn 或或可可简简记记为为二二元元函函数数与与三三元元函函数数也也等等或或中中的的点点，则则通通常常写写成成或或这这时时若若用用字字母母表表示示与与分分别别写写成成与与时时，习习惯惯上上将将点点与与等等于于在在例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 约定约定, ,凡用算式表达的多元函数凡用算式表达的多元函数, ,除另有说明除另有说明外外, ,其定义域是指的自然定义域其定义域是指的自然定义域与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域点集称为这个多元函数的自然定义域一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用仍然适用.二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,如右图，为球面如右图，为球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的，即的方式是任意的，即 ；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似000PPPP例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函数数的的极极限限推广推广:设 函 数设 函 数),(yxf的 定 义 域 为 点 集的 定 义 域 为 点 集)(,0,00yxPD是是 D 的内点或边界点的内点或边界点, ,且且DP 0，如果如果)()(lim00PfPfPP , ,则称函数则称函数),(yxf在点在点0P处处连续连续( (continuation) ). . 如果如果),(yxf在点在点),(000yxP处不连续，则处不连续，则称称0P是函数是函数),(yxf的间断点的间断点. 四、多元函数的连续性定义定义例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续 多元初等函数：由多元多项式及基本初等多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结区域、多元函数的概念区域、多元函数的概念思考题思考题？最近的点存在？为什么最近的点存在？为什么点最远和点最远和上是否一定有到上是否一定有到一点。问一点。问外外为为，为空间任一有界闭区域为空间任一有界闭区域设设PP 思考题解答思考题解答有有.点点。在在，对对应应的的点点即即为为最最值值最最大大值值和和最最小小值值存存数数的的性性质质可可知知，一一定定有有域域上上连连续续函函上上的的连连续续函函数数，由由闭闭区区它它是是离离为为任任意意一一点点。则则两两点点间间距距上上为为，点点的的坐坐标标为为设设 202020000)()()(),(),(zzyyxxPQzyxQzyxP一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题5、 6 6、函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、二、 求下列各极限求下列各极限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三三、 证证明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二、二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .练习题答案练习题答案不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
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