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第38课 直接证明与间接证明最新考纲内容要求ABC分析法与综合法反证法1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法框图表示：思维过程：由因导果(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法框图表示：思维过程：执果索因2间接证明(1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)反证法的步骤：反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_方程x2axb0没有实根“方程x2axb0至少有一个实根”的反面是“方程x2axb0没有实根”3要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是_(填序号)综合法；分析法；反证法； 归纳法要证明b，则与的大小关系是_0，.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形等边由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形综合法如图381所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求证：平面PAB平面PCD；(2)求三棱锥DPBC的体积图381解(1)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA.因为PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，所以PA平面PCD又PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.(2)取AD的中点O，连接OP，如图因为PAPD，所以POAD.因为平面PAD平面ABCD，平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.即PO为三棱锥PBCD的高，由PAPDAD，知OP1.因为底面ABCD是正方形，所以SBCD222.所以V三棱锥DPBCV三棱锥PBCDPOSBCD12.规律方法综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练1已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x). 【导学号：62172205】解(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.所以h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).分析法已知a0，求证：a2.证明要证a2，只需要证2a.因为a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性变式训练2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.反证法设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列规律方法用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练3已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根. 【导学号：62172206】证明假设三个方程都没有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立思想与方法1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用2反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾易错与防范1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的课时分层训练(三十八)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的个数有_(填序号)由分析法、综合法、反证法的定义知都正确2用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数下列假设中正确的是_(填序号)假设a，b，c至多有一个是偶数；假设a，b，c至多有两个偶数；假设a，b，c都是偶数；假设a，b，c都不是偶数“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数3若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是_. 【导学号：62172207】ac2abb2；.a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，即a2abb2.4分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证0; ac0；(ab)(ac)0; (ab)(ac)0.由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.5用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_x1且x1“x1或x1”的否定是“x1且x1”6设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_mn法一(取特殊值法)：取a2，b1，得mn.法二(分析法)：a0，显然成立7下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0，且0，即a，b不为0且同号即可，故有3个8设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)_0.(填“”“”或“”) 【导学号：62172208】0，x1x2，又f(x)是奇函数，且在0，)上单调递减，故f(x)在R上单调递减，故f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.12设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】解(1)证明：假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列B组能力提升(建议用时：15分钟)1设x，y，z0，则三个数，_.(填序号)都大于2; 至少有一个大于2；至少有一个不小于2; 至少有一个不大于2.因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.2如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是_(填序号)A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形；A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形；A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形；A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形；由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是钝角三角形3已知数列an满足a1，且an1(nN)(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设bnanan1(nN)，数列bn的前n项和记为Tn，证明：Tn0，所以Tn.4若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在
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