用高等几何的方法证明中学几何题

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目： 用高等几何的方法证明中学几何题 院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级2007级姓 名赵润生学 号07031334指导教师姜秀英职 称副教授2011年6月8日目 录摘要.1ABSTRACT.2第一章 高等几何对中学几何的指导作用.3 1.1 几何学的对象和分类.3 1.2 对坐标系的认识.4 1.3 关于直线和二次曲线理论.5第二章 高等几何的一些基本理论.8 2.1 平行射影.8 2.2 仿射象和中心射影.9 2.3 透视保持交比不变.10 2.4 调和共轭.11第三章 用高等几何的方法证明中学几何题.14 3.1 利用平行射影证明中学几何题.14 3.2 利用特殊仿射象证明中学几何题.15 3.3 利用中心射影，将直线投射到无穷远处.17 3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明.18 3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等.19参考文献.21后记.22哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 摘 要中学的几何证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路，高等几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，不仅能帮助教师思考问题，而且能启发我们获得初等证法，其证明过程还可以帮助我们发现新的中学几何命题，为中学生课外活动丰富了材料。本文从高等几何对中学几何的指导作用的探讨入手，把高等几何的理论应用到中学几何证明题中，通过具体实例论述了用高等几何的方法来解决中学几何证明题的问题。关键词:平行射影；调和共轭；仿射象；中心射影； ABSTRACT Middle school geometry proof topic protean, nobody has many topics wonderful find proof ideas, difficult to higher geometry offers us solve middle school geometry questions of some methods, proved not only can help the teacher of thinking, and can inspire us obtain elementary proofs its proof process can also help us find new middle school geometry proposition, for high school students extra-curricular activities enriched material. This article from the higher geometry to middle school geometry guidance to let the discussion of higher geometry theory applied to middle school geometry proof questions with concrete examples discussed higher geometry method to solve the problem of middle school geometry proof. Key words: Parallel projective; Harmonic conjugate; Affine like; Center projective; 第一章 高等几何对中学几何的指导作用 1.1 几何学的对象和分类什么是几何学？它研究的对象是什么？这在中学教科书中虽然没有明确的定义，但初中平面几何开卷家告述读者，几何学要研究图形的“形状、大小和位置关系”虽然在中学几何中，已知图形的形状、大小是不变的，位置关系也是确定的。但是离开中学教本，却有不同的情况发生。 空间一矩形经太阳照射，在地面留下的影子，一般不在是矩形，这样矩形就变成了非矩形，矩形的形状大小不再有意义！当你站在笔直的铁路上眺望远处的铁轨时，在你的视觉下，本来平行的铁轨似乎相交了，平行和相交这两种在中学几何里不相容的位置关系在一定条件下同一了，区别平行和相交不在有意义！这些也是图型的性质，但却不是中学几何课本研究的性质，他们是几何学研究的对象吗？ “高等几何”通过克莱因观点，给出了几何学的定义，并界定了各种几何学的对象和内容，对上述问题做出了回答。原来，几何学是与变换群联系在一起的。中学几何的主要内容是属于比较小的运动群附属的欧氏几何。除了运动群外，还有仿射群、射影群等。在仿射群附属的仿射几何学中，矩形可以变成平行四边形，矩形的概念失去了意义;在射影群附属的射影几何学中，平行的概念失去了意义，任何两条不同直线必然相交，平行四边形也失去了意义。因此，“研究图形的形状、大小和位置关系”可以作为欧氏几何的定义，但不能作为仿射几何和射影几何的定义。“高等几何”告述我们，在中学几何之外，还有广阔的几何学新天地，这不仅大开了读者的眼界，而且有助于读者站在新的高度上，深入了解中学几何教材，从而提高对处理种教材的能力。 1.2 对坐标系的认识 用解析法研究几何学的基础是坐标系。坐标系的本质是将作为几何基本对象的点转化成有序数组的参照物，从而能将曲线转换成方程，使得用解析工具研究几何成为可能。从这种认识出发，高等几何分析直角坐标系，去掉作为参照物的多余条件，推广而得到仿射坐标系。再在奇次坐标系下，对仿射坐标改变看法，去掉特殊性而得到一般性的射影坐标系。反之，从一般射影坐标系出发，增加特殊条件得到仿射坐标系。再利用虚元素，从仿射坐标系得到直角坐标系。对于坐标系的这种从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法是极富启发性的，不但可以提高我们对坐标系的认识，而且对培养数学素养也有一定的作用。 直角坐标系是保距变换下的不变坐标系，因而是研究欧氏几何的最适当坐标系；仿射坐标系是仿射变换下的不变坐标系因而是研究仿射几何的最适当坐标系；射影坐标系是射影变换下的不变坐标系，因而是研究射影几何的最适当坐标系。如果在欧氏几何中采用仿射坐标系，就会给计算带来麻烦。反之，由于角度和长度在仿射几何中没有意义，故在仿射几何中不宜采用直角坐标系。同样，由于在射影几何中没有向量的概念，故在射影几何中不宜采用仿射坐标系。 中学教材研究椭圆、双曲线和抛物线时，采用的是特殊的标准坐标系。在特殊坐标系下研究出来的几何性质是否是图形的固有性质？这种用特殊研究一般的方法是否合理？这是教师应当明确的。按照克莱因观点，几何学研究的是在相应的变换群的变换下的不变性质和不变量，而作为这些变换的表达式，既可看成点的变换，又可看成坐标的变换。所以在变换群的变换下的不变性质和不变量，也可看成在相应坐标变换下的不变性质和不变量。因而刻画图形几何性质的不变性质和不变量是与坐标系的选择无关的。这就说明利用图形特征，选择与图形关系最密切的标准坐标系，来研究图形的几何性质是合理的，得到的结论是可靠的。这样做的好处是可以大大简化计算和避免不必要的讨论。在高等几何的研究中，针对不同图形的特征，利用特殊点、特殊之线、图形的对称性和点的平等性，选择适当坐标系的做法，将加深读者对坐标的理解，增强他们在解析几何中的教学能力 1.3 关于直线和二次曲线理论 直线形既是初等几何研究的对象，也是射影几何研究的对象。但是，由于抽象的范围不同，研究的内容也不尽相同，射影几何有高度的概括性，它的一切结论在仿射几何和欧氏几何里适用。它的基本性质结合性也是中学几何研究的内容，它的基本不变量交比有着初等意义。因此，可以利用射影几何的方法来解决中学几何的问题，在一定条件下仿射几何和欧式几何的特有概念也可以纳入几何的轨道。实际上，在扩大平面上，平行直线是相交于无穷远点的直线，线段的中点是第四调和点为无穷远点的第一个分点。在引进虚元素后，我们又可以利用射影几何的方法定义垂直性和计算度等。将射影问题的一些条件特殊化，可以获得中学几何的命题，一些中学几何的命题，可以简便的利用射影几何的方法来解决。特别是有关集交与列座问题，用射影几何的方法解决起来比较方便。有的初等几何命题还可以在射影几何的高度上统一起来，例如解决集交与列座问题常用Cava定理和梅因劳斯定理，就可以统一在射影几何的下述命题中 定理 设在三点形rsp的三边、上各取两点、；、；、，使用交比等式 ，则三直线、供电的充要条件是三点、共线 显然，当、共于无穷远直线时，此定理简化成Cava定理；设、共于点t，当qrst是平行四边形时，定理简化成梅因劳斯定理。 中学解析几何与高等几何均将二次曲线作为主要研究对象，但是中学仅在欧式几何的范围内研究，而高等几何既在欧式几何范围内研究，又在仿射几何和射影几何范围内研究。由于 欧氏变换群仿射变换群射影变换群，故就内容多少而言，有 欧氏几何仿射几何射影几何。因此射影性质一定是仿射性质，仿射性质一定是度量性质。这样读者不单能分清二次曲线各种性质的层次，而且能站在射影几何的高度上来认识中学解析几何中给出的二次曲线的性质。 射影几何给了二次曲线的配极定义和射影定义，它们分别从配极变换和一维射影对应的高度深刻的刻画了二次曲线的本质，是椭圆、双曲线和包无限的共同特征，即共性。从配极定义到处了二次曲线的配极理论，将中学几何涉及的中心、直径、渐近线、焦点和准线统一在极点和极线理论之下，使这些对立的概念在射影几何的高度上得到同一。从射影定义出发，几何上获得了确定一条二次曲线的条件。这些能使读者在射影几何的高度上认识二次曲线。 在仿射平面上，抓住二次曲线与无穷远直线的关系，并非退化二次曲线分成了椭圆、双曲线和抛物线三类，刻画出这三种直线的本质差别，即个性。这就使我们能够解释清楚仅凭中学解析几何知识无法解释的一些问题，例如： 1.抛物线为什么没有中心？ 2.抛物线无限伸展时，为什么图形沿开口方向逐渐与对称平行？ 3.一条直线与二次曲线相交，为什么有的有两个交点，有的只有一个交点？ 4.对于椭圆和双曲线的每一切线，都有与他平行的另一切线，为什么对于抛物线的任何切线，却没有与它平行的另一切线？ 5.是否存在于抛物线两支都相切的直线？ .，等等。 对于具有高等几何的读者，只要抓住无穷远直线与各种曲线的关系，这些问题是不难得到答案的。 进一步，抓住保距变换区别于一些般放射变换的特征，将属于同一仿射类的曲线再分类。例如，对属于同一仿射类的椭圆，按不同长轴、短轴分成不同的度量类。利用圆环点，从一般椭圆中刻画出圆的本质特征。这样，我们能解答仅用中学解析几何知识无法解答的问题，例如 1.为什么一般二次曲线由没三点不共线的五点决定，而圆只需不共线的三点？ 2.圆有焦点准线吗？ 3.两个椭圆最多只有四个不同的交点？圆是椭圆的特例，为什么两个不同圆只能有两个交点？ .，等等。 综合上述，高等几何使我们从不同高度上深刻的认识了椭圆、双曲线和抛物线的共性和个性。这就使读者具有超越解析几何的局限，居高临下处理中学几何中的教学问题的能力 第二章 高等几何的一些基本理论 2.1 平行射影概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学仿射几何学 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的爱尔朗根计划书中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。 2.2 仿射象和中心射影平面几何的特殊图形：圆、正三角形、菱形（包括正方形）和等腰梯形经过仿射变换作用分别变成一般图形:椭圆、任意三角形、平行四边形和任意梯形，反之存在仿射变换将这些一般图形对应成上述特殊图形。一般图形的特殊仿射象。这样，若在一般图形的命题中，仅仅涉及同素性、结合性、平行性、简单比、面积比等基本仿射性质和仿射不变量，就可以用题设图形的特殊仿射象来证明。特殊图形具有较多的条件，往往便于论证，并且常常可以借助特殊的度量性质来证明。既然一般图形和它的特殊仿射象具有相同的仿射性质，那么一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只需要恰当选择射影中心和象平面（使平行于确定的平面），总可以使直线的象直线时无穷远直线。由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题容易证明的新命题（通常是将点的问题化成平行的问题，从而可用仿射几何的特殊方法证明）。既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题，则原命题就得到了证明。2.3 透视保持交比不变 射影几何学中基本的射影不变量之一。一般是用共线的四个点来定义的，亦称之为调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。约公元100年，门内劳斯在球面学中用到了球面上的大圆弧相交的一个性质，类似于截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。公元4世纪，帕波斯在数学汇编中明确阐述了一种交比的性质：设有四条线交于一点，则从一条线上的一点出发的截线所截点之间的交比相等。到19世纪，施泰纳、施陶特等数学家已将交比作为他们的射影几何理论的基本工具，证明了四个共线点的交比在射影变换下不变的特性。 点列交比的公理化定义，共线四点A,B,C,D的齐次坐标分别为a,b,a+xb,a+yb,(AB),记（AB|CD）表示这四点构成的交比。定义为，（AB|CD）=x/y.点偶AB叫做基点对，点偶CD叫做分点对。 若四点齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(AB|CD)=(x1-x3)(x2-x4)/(x2-x3)(x1-x4)。其初等几何意义为（AB|CD）=(AC*BD)/(BC*AD),注意右边的线段长度是有向的。 交比具有射影不变性。 证明此性质，需要引入线束交比。类比点列交比的定义，我们可以自然的引入线束交比的定义。共点四线a,b,c,d,的齐次坐标为a,b,a+xb,a+yb，(ab).记（ab|cd）表示这四线构成的交比。定义为， (ab|cd)=x/y.同样的，我们有：若四线齐次坐标分别 a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(ab|cd)=(x1-x3)(x2-x4)/(x2-x3)(x1-x4)（1）。引入线束交比的初等几何意义，我们可以从我们熟知的直角坐标系入手。设pi（i=1,，2，3，4）为一线束，记其斜率为ki,倾角为ai,有（1）式可得，（p1p2|p3p4）=(k1-k3)(k2-k4)/(k2-k3)(k1-k4)=(tana1-tana3)(tana2-tana4)/(tana2-tana3)(tana1-tana4)=sin(a3-a1)*sin(a4-a2)sin(a3-a2)*sin(a4-a1)=sin(p1p3)sin(p2p4)/sin(p2p3)sin(p1p4).注：(p1p2)表示p1到p2的角，是有向的。 证明：交比是射影不变量。 证明（初等几何的证明）：令线束O(a,b,c,d)分别交l于ABCD。(AC*BD)/(BC*AD)=SOAC*SOBD)/(SOBC*SOBD)=sin(ac)*sin(bd)/sin(bc)*sin(ad).又考察各对应有向量方向相同，故原式成立。 由此可知，点列的交比与其对应线束的交比是相同的。保持线束不变，取另一直线l交线束与ABCD.可视为对l作射影变换，（AB|CD）=（AB|CD）,由此说明交比是射影不变量。 上述说明在欧式平面内存在诸多漏洞，例如若p1/l,则没有交点。但是，在射影几何完整的公理化体系中有无穷远点和无穷远直线，拓广实数集等无穷元素来“弥补”。而这些元素更是射影几何的精华。 如上是对交比的说明，接近其公理化定义。 补充：若交比为-1，则称为调和比。以点列ABCD为例，称此为调和点列，也称点偶AB,CD相互调和共轭（调和分离），或称D为ABC的第四调和点。 同样，我们还可以定义圆锥曲线上四个点的交比。对于一条圆锥曲线C,任取上面一个点P,那么对于C上另外四个点，线束P(A,B,C,D)的交比取值同P的选取无关.于是，这个交比可以定义为圆锥曲线C上四点A,B,C,D的交比，同样可以极为(AB|CD). 反之，我们也可以采用这里的交比不变性作为圆锥曲线C的定义，也就是给定平面四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线，那么使得线束P(A,B,C,D)的交比取常数的P点轨迹是一条圆锥曲线。2.4 调和共轭 已知共线四点A、B、C、D, 如果按此顺序的交比(AB, CD) = - 1, 那么就称C、D 关于A、B 成调和共轭, 或称A、B、C、D 成调和点列。对偶地, 对于共点的四直线a、b、c、d, 如果按此顺序的交比(ab, cd) = - 1则c、d 关于a、b 成调和共轭, 或称a、b、c、d 成调和线束。下面列举出可由调和共轭导引出的一些结论, 这里略去了全部结论的证明。 (1) 射影变换: 射影变换是将成调和共轭的任意四元素仍变为调和共轭四元素的点变换或线变换。 (2) 线段的中点: 线段的中点是这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点。角的平分线: 角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭。 ( 3) 线段的调和中项: 若A、B、C、D 成调和点列, 则线段CD 是线段CA 和CB 的调和中项。 (4) 关于圆的反演: 平面上(不在圆周上的) 一点P 关于已知圆的反演点P是点P 关于连线PP与圆的两交点的调和共轭点。 (5) 对合对应: 对合对应中的任一对对应点关于这对合的两个二重元素成调和共轭。 (6) 完全四点形的调和性质: 完全四点形过每一对角点有一组调和线束, 即过这对角点的对角三角形的两条边关于过这对角点的完全四点形的两条边成调和共轭。完全四线形的调和性质: 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列, 即这对角线上的对角三角形的两顶点关于这对角线上的完全四线形的两顶点成调和共轭。 (7) 关于二次曲线的共轭点: 给定点P, 若另一点P使得点P、P关于它们的连线PP与二次曲线# 的两交点成调和共轭, 则点P称为点P 关于二次曲线# 的一个共轭点。不难看出, 平面上点关于圆的反演点是其特例。 (8) 二次曲线的射影概念极线: 点P 关于二次曲线# 的极线是点P 关于# 的共轭点的轨迹。切线: 二次曲线# 上一点P 处的切线就是该点P 关于# 的极线。自极三角形: 如果一个三角形的任意两个顶点关于二次曲线# 都成共轭点, 则称它为X关于# 的一个自极三角形。需要强调指出, 自极三角形在射影几何、仿射几何以及欧氏几何的二次曲线一般理论中,对于曲线方程的化简、从而得到二次曲线的分类起关键作用。 (9) 二次曲线的仿射概念中心: 二次曲线# 的中心是无穷远直线关于# 的极点。直径: 二次曲线# 的直径是无穷远点关于# 的极线。共轭直径: 若二次曲线# 的两条直径的极点(无穷远点) 关于# 成共轭, 则称这两条直径互为共轭。渐近线: 二次曲线# 上的无穷远点处的切线(极线) 称为# 的渐近线。二次曲线# 的任一对共轭直径关于# 的两条渐近线成调和共轭。 (10) 垂直: 如果两条相交直线上的无穷远点关于两个共轭虚圆点I、J 成调和共轭, 则称这两条直线垂直。第三章 用高等几何的方法证明中学几何题 3.1 利用平行射影证明中学几何题 平行射影是最简单的仿射变换，由于平行射影保持平行线段的比不变，故如果一命题的结论涉及平行线段的比。则可选取一投射方向和一象直线，将图形中的不共线的点和线段投射成共线的点和线段，使得证明简化。 例1 设直线mn过的重心g，分别交ab、ac于m、n，求证：。 （1） （2） （3） 图 31 证明 由上图（1），取ab为象直线，为投射方向，作平行射影，则，从而有 3.2 利用特殊仿射象证明几何题 仿射几何是欧氏几何在较高层面上的推广和延伸 在初等几何中的应用范畴比较广泛 ,是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道 在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质的 ,即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线或平行线段之比、两封闭图形面积之比以及中点等概念 对于这类命题 ,可以运用仿射的有关性质 ,借助于仿射变换 , 由特殊到一般 ,化繁为简地加以解决 ,从而达到事半功倍的效果. 我们知道，平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形和等腰梯形经过仿射作用变换后，分别成一般图形：椭圆、三角形平行四边形和梯形，反之，存在仿射变换将一般图形变成他们相应的特殊图形一般图形的特殊仿射象。这样，若一个关于提般图形的命题，仅仅涉及仿射性质不变量，则可以用题设图形的特殊仿射象来证明。特殊图形具有较多的条件，往往便于论证。甚至可以借助特殊的度量性质来证明。既然一般图形和它的特殊仿射象有相同的仿射性质，那么一般图的原命题随着特殊图形的新命题的证明二得到证明。 例2 在的三边bc、ca、ab上分别取点、使满足 （常数）。 设和交于，和交于，和交于。求证：、和有共同的重心。 证明 因为重心是放射概念，求存在仿射变换T将变成正，故只要对正三角形产生的图形加以证明就行了如下图。图32在正三角形中，因为 ，所以 。但，从而。以正三角形的重心为中心旋转120，则，从而旋转中心同时是、和的重心。于是、和的重心是重合的。 例3 求椭圆所围成的图形的面积。解 做仿射变换 T：， ,则题设椭圆的象为圆：。设椭圆和圆的面积分别为S和.由于在仿射变换T之下，面积比保持不变，故 。 3.3 利用中心射影，将一直线投射到无穷远处 如在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的命题P，则只要恰当选择射影中心s和象平面，总可以使直线的象是上的无穷远，由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题P转化成容易证明的新命题，既然射影变换保持射影性质，那么只要证明了新命题，则原命题P就得到了证明。 例4 设直线交三边或延长线l、m、n，若直线am、bn、cl交成一个三角形pqr，求证：aq、br，cp三线共点。图35 证明利用中心射影将l、m、n所在直线投射到无穷远直线，如下图，用带“”的字母表示原字母的象。于是、，从而四边形和都是平行四边形，于是，所以是的中点，是的中点，这就是说、是的中线，必交于一点。这样我们证得了再中，aq、br、cp交于一点s。 将一直线投射到无穷远，使一复杂图形与简单图形建立起对应，从简单图形的性质，利用射影不变性来推断复杂图形的射影性质，是历史上彭赛列为代表的一些数学家获得图形射影性质的一种重要方法。德萨格定理、巴不什定理、帕斯卡定理都可以用这种方法证明。下面我们以德萨格定理的证明为例。 例5 若三点形abc与三点形对应顶点连线、吧、共于点s，求证对应边的交点共线如下图。 图37 证明 将直线pq投射到无穷远，则为证原命题，只需证明新命题：若、共点于s，且ab、bc，求证ac。知识容易证明的。因为ab，故sb=sa；又因为bc，故sb=sc，从而sa=sc于是ac。 3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明 例6 在中am为bc变上的中线，ad为的平分线，顶点b在直线ad上的射影为e，直线be交直线am于n；求证：dn平行ab。图38证明 设直线ac与be交于f，则为等腰三角形。显然em是的中位线。以a为中心作透视，有故，即，但，故上式成为。又从meca有，于是有，所以dnab。 3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等 例7 如下图，由圆o外的一点t向圆引两切线，切点为p、q，过p作圆o的直径交直线qt于s，交圆o于r，作qn垂直于ps，垂足为n，连接tr，求证tr平分线段qn。图39 分析 设tr交qn于m，直线qn上的无穷远点为，则要证tr评分线段qn，只需证。由于，故只需证明 从而只需证明qr、qp是的内外角平分线，而这是显然的。 例8 已知如下图在中，ad垂直于bc，h是ad上任意一点，连接直线bh、ch分别交于e、f，求证ad平分。 分析 既然，故只要证ad平分，只需证 。由于，故只需证。由完全四点形bfhd的调和性质，上事实显然成立的。图310参考文献 1、孙泽瀛 近世几何学人民教育出版社 1959. 2、苏步青 高等几何讲义 上海科学技术出版社 1964. 3、钟集 高等几何教育出版社 1983. 4、北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数（第二版），高等教育出版社 1988. 5、邓纯江、周开瑞、罗崇善.高等几何学习指导 四川科学技术出版社，1988. 6、梅向明、刘增贤、林向岩 高等几何教育车版社 1983.后 记 在这里我衷心的感谢数学系所有的教师，感谢您们在我大学四年里给予我的帮助，特别感谢姜老师在我毕业论文撰写过程中给予孜孜不倦的指导。 通过对高等几何的方法证明中学几何题的探讨，不仅使我加深了对高等几何课程的理解，为今后进一步学习和研究做一些准备，还使我以较高的观点理解中学几何教材，提高我们在今后的中学教学中处理课内和课外几何问题的能力，以适应中学教学改革的需要。20