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热点探究课(一)函数的图象与性质命题解读函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识热点1函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)则不等式f(x1)的解集为_. 【导学号：62172064】画出函数f(x)的图象，如图，当0x时，令f(x)cos x，解得x；当x时，令f(x)2x1，解得x，故有x.因为f(x)是偶函数，所以f(x)的解集为，故f(x1)的解集为.迁移探究1在本例条件下，若关于x的方程f(x)k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围解由函数f(x)的图象(图略)可知，当k0或k1时，方程f(x)k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k0或k1.迁移探究2在本例条件下，若函数yf(x)k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围解函数yf(x)k|x|恰有两个零点，即函数yf(x)的图象与yk|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k2或k0，即实数k的取值范围为k0或k2.规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性2有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围3有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解对点训练1(2017镇江期中)已知函数f(x)若0abc，满足f(a)f(b)f(c)，则的范围是_(1,2)如图所示，0abc，且f(a)f(b)f(c)，log2alog2b，即ab1，又由图可知f(c)1，故12，(1,2)热点2函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等熟练掌握上述性质是解此类题的关键角度1单调性与奇偶性结合(2016天津高考改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)，且f(x)在(0，)上单调递减由f(2|a1|)f()，f()f()可得2|a1|，即|a1|，所以a.角度2奇偶性与周期性结合(2017南通二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x0，)，满足f(x2)f(x)，若当x0,2)时，f(x)|x2x1|，则函数yf(x)1在区间2,4上的零点个数为_7由f(x2)f(x)可知，f(x)在0，)上是周期为2的函数，又x0,2)时，f(x)|x2x1|，且f(x)为偶函数，故f(x)在2,4上的图象如图所示由图可知yf(x)与y1有7个交点，故函数yf(x)1在区间2,4上有7个零点角度3单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_f(25)f(80)f(11)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)规律方法函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解热点3函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化以填空题压轴题据多，求解时务必细心(2015江苏高考)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_4令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.规律方法解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能对点训练2已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_. 【导学号：62172065】(，1)函数f(x)的图象如图所示，当a1时，函数yf(x)的图象与函数f(x)xa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根热点探究训练(一)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1(2017镇江期中)函数f(x)的定义域是_(0，由lg x0得lg x，即0x.2(2017常州期末)函数f(x)log2(x22)的值域为_. 【导学号：62172066】x222，且ylog2x在(0,2上单调递增，故log2xlog22log22.3(2017如皋中学高三第一次月考)若函数f(x)(e为自然对数的底数)是奇函数，则实数m的值为_1由f(x)f(x)得，即1mexexm，故m1.4若函数f(x)asin 2xbtan x1，且f(3)5，则f(3)_. 【导学号：62172067】3令g(x)asin 2xbtan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是，由f(3)g(3)15，得g(3)4，则g(3)g(3)4，则f(3)g(3)1g(3)1413.5已知函数f(x)是(，)上的奇函数，当x0,2)时，f(x)x2，若对于任意xR，都有f(x4)f(x)，则f(2)f(3)的值为_1由题意得f(2)f(24)f(2)f(2)，f(2)0.f(3)f(14)f(1)f(1)1，f(2)f(3)1.6已知函数f(x)函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_1,2)由题意知g(x)因为g(x)有三个不同的零点，所以2x0在xa时有一个解由x2，得a2.由x23x20，得x1或x2，由xa，得a1.综上，a的取值范围为1,2)7(2017南通第一次学情检测)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)6的解集是_. 【导学号：62172068】2,4f(x)为R上的偶函数，当x0，f(x)2x2，即f(x)2x2.f(x1)6，当x10，即x1时，2x126，解得1x4；当x10，即x1时，21x26，解得2x0；(2)当x1,4时，求f(x)的值域解(1)函数f(x)log2log22x(log2xlog24)(log22log2x)(log2x)2log2x2，x(0，)令f(x)(log2x)2log2x20，则log2x2或log2x4或0x0，n0，在(2)的条件下，求不等式f(f(x)f0的解集解证明：(1)f(x)，f(1)，f(1)，f(1)f(1)，f(x)不是奇函数(2)由f(x)是奇函数得f(x)f(x)，即对定义域内任意实数x都成立，化简整理得关于x的恒等式(2mn)22x(2mn4)2x(2mn)0，即或(3)由题意得m1，n2，f(x)，易判断f(x)在R上递减，f(f(x)f0，f(f(x)，2x3，x0)，则称yf(x)为k倍值函数若f(x)ln xx是k倍值函数，则实数k的取值范围是_由题意得ln xxkx有两个不同的解，k1，则k0xe，因此当0xe时，k，从而要使ln xxkx有两个不同的解，需k.3函数f(x)mlogax(a0且a1)的图象过点(8,2)和(1，1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)2f(x)f(x1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值解(1)由得解得m1，a2，故函数解析式为f(x)1log2x.(2)g(x)2f(x)f(x1)2(1log2x)1log2(x1)log21(x1)(x1)2224.当且仅当x1，即x2时，等号成立而函数ylog2x在(0，)上单调递增，则log21log2411，故当x2时，函数g(x)取得最小值1.4已知函数f(x)x21，g(x)a|x1|.(1)若当xR时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间0,2上的最大值解(1)不等式f(x)g(x)对xR恒成立，即x21a|x1|(*)对xR恒成立当x1时，(*)显然成立，此时aR；当x1时，(*)可变形为a，令(x)因为当x1时，(x)2，当x2，所以(x)2，故此时a2.综合，得所求实数a的取值范围是(，2(2)h(x)当0，即a0时，(x2axa1)maxh(0)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此时，h(x)maxa3.当01，即2a0时，(x2axa1)maxha1，(x2axa1)maxh(2)a3.此时h(x)maxa3.当12，即4a2，即a4时，(x2axa1)maxh(1)0，(x2axa1)maxh(1)0.此时h(x)max0.综上：h(x)max
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