第二章测度论的知识要点与复习自测

第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue外测度的知识要点：熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质(包括基本性质： 非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性)；会用定义或性质求一些典型集合的外测度(例如：Rn中至多可数集，区间，Can tor (三分)集，黎曼可积函数(特别是连续函数)图象等的外测度)；特别注意零测集的含义和性质 【如Rn中的任何集合并上零测集或减去零 测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测 集】自测题：1、叙述Rn中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：(1) 设Qn Rn为有理点集，计算 m*Qn =0 ；(2) 设ERn为至多可数集，计算 m* E = 0 ；n* *(3) 设 E, F R ， mE=0，则 m F_. E =mF=m F E。2、 据理说明下面的结论是否成立：设E Rn，(1) 若E为有界集，则m*E ；(2) 若 m*E匕?，则E为有界集；(3) 若m*E = ：，则E为无界集；(4) 若E为无界集，则m E。3、 设I u Rn为区间，证明：m*l =|，其中| |表示I的体积(注意I分有界和无界 两种情况来证明)；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：(1) 设P 0,1 R为三分Cantor集，则m P = 0 ;(注意三分Can tor集的构造)(2) 设f(x)为定义在a,b R1上的黎曼可积函数，Gp(f) = (x,y)| y = f(x),x a,b? R2，f (x)在a,b的图像，贝U mGp(f)=0 ；(注意黎曼可积的充要条件的使用)n*(3) 设E R有内点，贝U m E 0 ；(4) (外侧度的介值性)设 E R1为有界集，m*E 0，则对任意0 _ c _ m*E，存*在巳二E，使得，m巳=c ；(注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性)(5) (外侧度的介值性的一般形式)设 E R1，m*E0,则对任意0_c_m*E， 存在 巳 E，使得，m*Ec。(注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测 集列的测度性质)二、Lebesgue可测集的知识要点：熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义)及等价 条件(如：余集的可测性；对任意的A：_ E和B Ec，总有m* A- B m*A m*B )， 会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性(例如：零测集，区间等) ；熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质 来判断集合的可测性；c，其中c为连续基数;记j二:E Rn E是可测集?，则厂=2c熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚 此条件在证明中所起的作用；熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是Rn中的可测集）E2，Em为互不相交的可测集，则mmmEjmEi （有限可加性）；E2，Em为可测集（注意没有互不相交的要求），则mmm_. Ei八mEi （次有限可加性）。j -ijE2，Ek，为互不相交的可测集，则(2)E2m EkmEk （可数可加性）；k 4，Ek，为可测集列（注意没有互不相交的要求），则(3)(4)kmEkmEk （次可数可加性）。差集测度的关系（注意思考：条件“ mE ： :”的作用） 设E和G都是可测集，且E G，则 mG 二 m（G E） mE ； 当 mE ；： ：时，m（G E） =mG - mE。设E和G都是可测集，则 mG _ m（G E） mE ； 当 mE ：-时，m（G E）_mG-mE。单调可测集列测度的极限性 （注意思考成立的条件）设为单调递增的可测集列，则Ek = pmmEk ；丿k-m im Ek = m设W 为单调递减的可测集列，且存在Eko，使得mEko ： :，则（1）oO(5)m im Ek = m 心 Ek = |jm mEk。 一般可测集列测度的极限性 设Ek 为可测集列，则 m IjmEk =kimm（2Ek）兰limmEk （关于测度的Fatou定理【入不敷 k_.k * - | 土k；出】）；O0一：，则cd 若存在ko,使得mEji 士omimEk=kimm（Ek2kjmmEk ； 若kimEk = E存在，且存在ko,使得mEk0p，则kimm Ek存在，且 lim mEk = mE 。k（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设A Rp为可测集，B二Rq为可测集，则A B为Rp+q上的可测集，且m（A B） = mA mB。自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“mE ： :”的作用）设 E,G 二 Rn（1）若E和G都是可测集，且E G，则 mG = m（G E）+mE ； 当 mE ；：.时，m（G E）=mG_mE。（2）若E和G都是可测集，则 mG 冬 m（G E） mE ； 当 mE ：.-时，m（G E） _mG - mE。（3）若E和G不是可测集，则* * * m G m （G E） m E ； 当 m E ：:时，m （G E）_mGmE。2、利用1和可测集的性质证明：（1 ）设E,G Rn都是可测集，则mG_E mG E = mG +m E ；【注意：m G _ E G = E G E】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设E,G Rn （不必为可测集），贝Um G _ E i亠 m GE _ m G +m E。3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：1（1）设 P -0,1 -R 为三分 Cantor 集，则 mP = 0 ；厂 oQ 2n 【注意：三分Cantor集的构造P =0,1 山11叮），其中：（i=1,2,0冷为Ca ntor 严y 丿1集的构造过程中第 n步去掉的长度均为 斗的开区间】3n（2）对于任意给定正数 0 ： a ： 1，不改变Cantor集的构造思想，只是将在Cantor集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为匕旦，与，与 / , /的开区332333n间（比如第n步换为去掉2n4个长度都为 口 的互不相交的开区间），并记这样得到的集为 3nF0 （称为类Cantor集或一般Cantor集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：mF0 = a。4、证明一般可测集列测度的极限性：设G为可测集列，贝UoO m Ijrn Ek =lim m（ EQ乞！jm mEk （关于测度的Fatou定理【入不敷出】）；k_.，j 呼k_.： 若存在k0，使得mj二E ： :，则oOmlim Ek 二 limm（- Ek） - limm Ek ；k_ k ki kk_k若lim Ek=E存在，且存在ko,使得mEk ： :，则lim mEk存在，且 kg：0kg：kimmEk=mE。若7 m Ek ：，则lim Ek和lim Ek都是零测集。7k厂C三、可测集的结构的知识要点： Rn中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F. 型集，G、.型集，Borel集。熟练掌握并熟记下面的几种关系(可测集的结构):(1) 对任意E Rn， E与G型集的关系(等测包定理);(2) 可测集与开集的关系，可测集与 G.型集的关系；(3) 可测集与闭集的关系，可测集与 匚型集的关系。自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：(1) 如何将一个G .型集表示成一列单调递减的开集的交集？(2) 设E Rn，则存在一列单调递减的开集列 G，使得，对每一个k 一1，*1斧E 二 Gk， m E 空 mGk : m E ，且 m lim Gk = m I Gk kk (3) 设ERn有界，则存在一列单调递减的有界开集列使得，对每一个k 1，1E Gk， m E mGk : m E ，且 m lim Gk 二 m I Gkkk5(k 吕注：(2)和(3)为等测包定理的更为细致的形式。2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：设EkRn ( k =1,2,)为一列单调递增的集列，每个Ek不必为可测集，则Gk，(1)存在一列单调递增的 G、型集Gk ( k =1,2,)，使得，对每一个k_1 , Ek且 m Ek = mGk;(2) lim m Ek = m kiC*Ek =m* lim Ek (单调递增集列的外侧度的极限性质k =1kT :)：3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系(可测集与开集和闭集的更细致的关系设E Rn是可测集，则(1) 对任意的； 0，存在开集G，使得E二G，且m G E ：；(2) 存在一列单调递减的开集Gk ( k =1,2/)，使得，对每一个k -1，EGk，且m Gk(3)存存在一列单调递增的闭集Fk ( k =1,2,)，使得，对每一个 k 1，Fk E，口/、1且 m E Fkk4、试利用可测集的结构和开集的结构证明“可测集的直积的可测性及测度的计算公式” 即,设AURP为可测集，BURq为可测集，则A汉B为Rp+q上的可测集，且 m(A XB) = mA mB。5*、定义1设f : E_. 0, ：)，其中E R1为可测集，记Gp f,E =(x,y)|x E,0 ”： f (x)? R2,则称Gp f ,E为非负实函数f在E上的下方图形(相当于数学分析中定义在 a,b上的一 元非负函数所构成的曲边梯形)；m定义2 :设E R1为可测集，且 E=；Ei，其中Ei( i =1,2,，m)都是R1中的可 im测集，且互不相交(E = U Ei称为可测集E的一个有限不交的可测分解)，现定义i Af : E； 0,：)如下：乙，x 巳c2,E2mf(x)：=Ci El(x) C2 E2(X)Cm Em (x)；二 Ci Ei(x)，x E，ryCm, X，Em其中c兰0( i =1,2,m )都为常数，Ei (x)为E为全集时E的示性(特征)函数，贝U 称f在可测集E上的一个非负简单函数。试利用4 “可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设f是按定义2定义的可测集E上的非负简单函数，Gp f ,E的含义如定义1，则m(1) Gp(f ,E )=UEM0,Ci)，其中 EjX0,c) (i=1,2,，m)互不相交;(2) Gp f,E是R2上的可测集；m(3) mGp ( f, E )=迟 c mEi i =1四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意 E Rn，只要m*E0，则存在 巳 E，使得E1为不可测集(即Rn中一定存在不可测集)。自测题：据理说明：(1) 为什么Rn中的零测集中一定不存在不可测子集？(2) 为什么Rn中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零？(3) 为什么Rn中的不可测集一定是不可数集？