全国通用高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书

全国通用高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书文新人教A版命题解读从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷7)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用.热点1三角函数的图象与性质(答题*II板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换.bflin(本小题?黄分12分)已知函数f(x)=2J3sin2+_4.cos1+-4sin(x+兀).(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0,兀上的最大值和最小值.思路点拨(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期.(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值.规范解答(1) f (x) = 2msinx兀,cos2+sin(x+兀)3分=cosx+sinx=2sinx+g,5分_,.zt=.兀一兀八(2)由已知得g(x)=fx-=2sinx+.8分X兀，x+航76L兀 sin x + - 12, 1 , 10 分兀一八.g(x)=2sinx+丁C1,2.11分故函数g(x)在区间0,兀上的最大值为2,最小值为一1.12分答题*II板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f(x)化为asinx+bcosx的形式.、aab第二步(用辅助角公式广构造f(x)=Ja2+b2sinx商行+c0sx-存行.第三步(求性质)：利用f(x)=7a2Tb2sin(x+6)研究三角函数的性质.第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提示1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asina+bcosa=1a2+b2sinb_(a+6)其中tan()=-,在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，a应特别加以关注.2.求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.对点训练1(2016石家庄模拟)已知函数f(x)=Asincox+Bcoswx(A,B,是常数，30)的最小正周期为2,并且当x=1时，f(x)max=2.3(1)求f(x)的解析式；2123(2)在闭区间了，上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解(1)因为f(x)=巡+射sin(3x+G),由它的最小正周期为2,知2：=2,3=兀.2分又因为当x=；时，f(x)max=2,知;兀+()=2卜兀+!(kCZ),6=2k7t+5(kCZ),43326兀兀所以f(x)=2sin兀x+2kjt+=2sinux+(kZ).兀故f(x)的解析式为f(x)=2sin兀x+6.5分(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称兀兀1轴，令Ttx+=kTt+y(kZ),解得x=k+3(kCZ).7分,2112359165c八由丁wk十；w丁，斛得行wkw行，9分4341212又kCZ,知k=5,10分212316、由此可知在闭区间才彳上存在f(x)的对称轴，其方程为x=12分热点2解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值.例(2015全国卷n)4ABC中，D是BC上的点，AD平分/BACABD面积是ADC积的2倍.sinsin(2)若AD=1,DC=喙，求BD和AC的长.1解(1)SABD=2ABAn/BAD2AC-An/CAD2因为&AB户2Saadc,/BAD=/CAD所以AB=2AC由正弦定理，得sin B AC 1 八而AT2.5 分(2)因为&ABD：&ADABD：DC所以BD=42.7分在ABDFDAD*,由余弦定理，知A戌=aD+bD2AD-BDCos/ADBAC=AD+DC2ADD0os/ADC9分故A百+2AC=3AD2+BD+2DC=6.由,知AB=2AC所以AC=1.12分规律方法解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到.对点训练2(2016天津高考)在ABC4内角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=1,求sinC的值.3解(1)在 ABC4 由sin A sin B可得asinB=bsinA.2分又由asin2B=；3bsinA,得2asinBcosB=；3bsinA=13asinB,所以cosB=专,得B=-6.5分1 (2)由 cos A=-,3可得sin A= 2 J,则 3兀sinC=sin兀一(A+B)=sin(A+B)=sinA+=3sinA+2cosA=.12分热点3三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点,主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化.（2017 东北三省四市一联）在ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,已知cos B- 2cos A cos C2a-b（i）求bb的值;(2)若角A是钝角，且c=3,求b的取值范围.解(1)由题意及正弦定理得sinSosB2sin(cosA=2sinAcosCsinBcosC,2分sinCcosB+sinBcosC=2(sinCcosA+sinAcosC).sin(B+C)=2sin(A+C.A+B+C=兀,sinA=2sinB,丁=2.5分b2+9-4b26b93b26b 近7分.b+ca,即b+32b,b3,由得b的范围是（m,3）.12分规律方法1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理.2 .解三角形常与三角变换交汇在一起（以解三角形的某一结论作为条件），此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.兀_对点训练3在ABC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan+A=2.【导学号：31222140】,、 sin 2 A 心 求sin 2 A+ cos2A的值;兀._(2)若 B=彳，a=3,求 ABCW面积.解(1)由 tan ：+A=2,得 tan A=1, 43sin 2 A 2tan A 2sin 2 A+ cos2A 2tan A+ 153(2)由 tan A= * AC (0 ,兀)，得sincos A=3 11010.7分由a = 3, B=。及正弦定理ai； A= U B,彳导b=3，5.9分 4sin sin b,兀，r2/5由 sin C= sin( A+ B) = sin A+ 4 ,得 sin C= 5.、一 ，1-设ABC勺面积为S,则S= 2absin C= 9.12分热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1. (2016 江苏高考)在 ABC43, AC= 6, cosB=, C=.54(1)求AB的长；兀 .，(2)求 cos A-的值.6解(1)因为 cos B= 4, 0VB兀, 5所以 sin B= 3 - cos2B= y1-5=1.2 分,、. AC AB由正弦定理知7Z.、，sin B sin C,2 , AC- sin C 6x 2 八所以 AB=： = 5叱2.5 分sin B 35(2)在 AB8, A+ B+ 5 兀，所以 A=n一(B+ C),于是 cos A= cos( B+ C) = cos B+ 一兀，. 兀 一, /=cos Bcos + sin Bsin .7 分又 cos B=?, sin B=：, 55拓4故cos A=x53x 252因为0A/3sin(兀一x)sinx(sinxcosx)2=23sin2x(12sinxcosx)=镉(1cos2x)+sin2x-1=sin2xV3cos2x+131=2sin2x-+3-1,3分3,兀兀兀一由2kjt2x2k兀+(kCZ),得k兀12wxwk兀+工(kCZ),兀所以f(x)的单调递增区间是kTt-,kTt+Z)或k兀工，k兀+5-kez.6分(2)由(1)知f(x)=2sin2x十屹一1,8分3把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变兀一一，2sinx-y+3一1的图象,再把得到的图象向左平移个单位，得到y=2sinx+。31的图象，即g(x)=2sinx+(31,B=乎,sin( A+ B)等,39所以g*=2sin尹，31=，3.12分3 .在ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知cosac=2班,求sinA和c的值.解在ABCK由cosB=g,得sinB=gL2分因为A+B+C=兀，所以sinC=sin(A+B)=噜，4分9又sinCsinB,所以Ca,求2bc的取值范围.2-2.321.2-解(1)由已知得2sin2A2sin2C=24COSC.sinC,3分化简得sinA=2-,故A=3-或A=-分(2)由正弦定理j=-A-；=2,得b=2sinB,c=2sinC,7分sinBsinCsinA故2bc=4sinB2sinC=4sinB2sinB3=3sinBJ3cosB=2sinB一百.9分_兀2兀兀兀兀因为ba,所以弓-w氏一,B-6-2,L兀LL所以2bc=2#sinB-S42卷).12分