导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性(一)边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研 究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)， c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由xo变化到x x，则:C(Xo LX) C(Xo)Ax称为c(x)在(x0，X0 厶x)内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在(x0，x x)内的平均变化率。而c(x)/x称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。例1,设有某种商品的成本函数为：c(x)二 5000 13x 30 x其中x表示产量(单位：吨)，c(x)表示产量为x吨时的总成本(单位：元)，当产量为400吨时的总成本及平均 成本分别为：c(x)x00 =5000 + 13M00 + 30y/400=10800(元)型=1080 =27(元/吨)x x=400400如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加 X=50吨时，相应地总成本增加量为：Lc(x)C(X Lx)x =400,X =500:c(x)二 c(450) -c(400) =11468.4 -10800 =686.4686.413.72850这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本 13.728 元。类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即 X=1时，总成本的变化为:=c(x)二 c(401)-c(400) =13.7495c(x)x13.7495= 13.7495x二001占4表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。产量由400吨减少1吨，即.：x=-1时，总成本的变化为：c(x)二 c(399)-c(400) - -13.7505Ac(x)13.7505-13.7505Xx00_1A=1表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义:定义1:设总成本函数 c=c(x)，且其它条件不变，产量为X0时，增加(减少)1个单位产量所增加(减少)的成本叫做产量为X0时的边际成本。即：边际成本=c(X0c(X0)Z其中 LX =1 或二X =-1。由例1的计算可知，在产量X0=400吨时，增加1吨CX=1)的产量时，边际成本为13.7495;减少1吨- -1) 的产量时，边际成本为 13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量X0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。注意到总成本函数中自变量X的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位 “辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量X是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量X看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。事实上，如果总成本函数 c(x)是可导函数，则有：C(Xo)=C(Xo X)- C(Xo)由极限存在与无穷小量的关系可知:C(X：X)-C(X)ZX= c(x) a(1)当-X很小时有:C(X0X) C(X):c(X。)(2)X =1时(2)成立，其误差也产品的增加 X=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当 满足实际问题的需要。 这表明可以用总成本函数在 X0处的导数近似地代替产量为 X0时的边际成本。如在例1中，产量Xo=400时的边际成本近似地为 C(X0)，即:C(X)x二00dc(x)dxx=4001315、x 丿 X 二00= 13.75误差为0.05,这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导数如果存在就是唯一确定的。因此，现代经济学把边际成本定义为总成本函数c(x)在X。处的导数，这样不仅克服了定义1边际成本不唯一的缺点，也使边际成本的计算更为简便。定义2:设总成本函数c(x)为一可导函数，称C(X0)呷C(X0：X)_C(X0)为产量是X0时的边际成本。其经济意义是：C (x0)近似地等于产量为 X0时再增加(减少)一个单位产品所增加(减少)的总成本。若成本函数c(x)在区间I内可导，则c (x)为c(x)在区间I内的边际成本函数，产量为X0时的边际c (x0)为边际成本函数c(x)在X0处的函数值。例2:已知某商品的成本函数为：1 2 c(Q) =100 -Q(Q 表示产量)4求：(1 )当Q=10时的平均成本及 Q为多少时，平均成本最小？(2)Q=10时的边际成本并解释其经济意义。1 2解：(1 )由c(Q) =100 Q 得平均成本函数为：41 2100 QCO4 型QQQQ 4当Q=10时:c(Q)1001 10=12.5104c(Q)Q100 1Q24200Q3令 C =0 得：Q=20_ 200 1而C (20) 3二0，所以当Q=20时，平均成本最小。(20)40这个不能省去的，见课本 P155 (第二充分条件)1 2(2)由c(Q) =100 Q得边际成本函数为:4c(QrQi c（Q）x# =2 10 =5则当产量Q=10时的边际成本为5,其经济意义为：当产量为 10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似地增加（减少）5个单位。2、总收益、平均收益、边际收益总收益是生产者出售一定量产品所得以的全部收入，表示为R（x），其中x表示销售量（在以下的讨论中，我们总是假设销售量、产量、需求量均相等）。平均收益函数为 R（x） x，表示销售量为x时单位销售量的平均收益。在经济学中，边际收益指生产者每多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的销售总收入。按照如上边际成本的讨论，可得如下定义。定义3:若总收益函数 R（ x）可导，称为销售量为xo时该产品的边际收益。其经济意义为在销售量为 xo时，再增加（减少）一个单位的销售量，总收益将近似地增加（减少）R （x0）个单位。R（x）称为边际收益函数，且R（X。）= R （x）XH3、总利润、平均利润、边际利润L（x）为总利润，则:总利润是指销售x个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记L(x) =R(x) -c(x)（其中x表示销售量）L（x）.x 称为平均利润函数定义4:若总利润函数L（x）为可导函数，称为L（x）在xo处的边际利润。其经济意义为在销售量为 xo时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。根据总利润函数，总收益函数、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。由定义,L(x) =R(x) -c(x)L(X)二 R(x)-c (x)令 L(x)=O,则R(x)=c (x)结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本。又由L(x)取得最大值的充分条件：L (x) = 0且L (x) 0可得：R (x) ： c (x)结论2:函数取得最大利润的充分条件是：边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率。结论1与结论2称为最大利润原则。例3:某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益 R为年产量Q的函数，且0 _ Q _ 400Q 4001 1 2R = R(Q) =/Q 2Q ,、80000,问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少?解：由题意总成本函数为:c =c(Q) =2000 100Q从而可得利润函数为：L = L(Q) = R(Q) -c(Q)r1 2300Q Q2，0 兰 Q 兰 400=1260000-100Q，Q 400令 L (Q) = 0 得 Q= 300L“(Q)J0 =11 （即1 ）时，称为咼弹性（或富于弹性），这时当商品的价格变动1%时，需求量变动的百分比大于1%，价格的变动对需求量的影响较大。当p 1 （高弹性），需求量增加的幅度百分比大于价格下降（上浮）的百分比，降低价格（心PcO ）需求量增加即购买商品的支出增加，即销售者总收益增加（也RaO），可以采取薄利多销多收益的经济策略；提高价格C:P 0）会使消费者用于购买商品的支出减少，即销售收益减少（.R . 0）。当IS 0）。综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随着需求弹性的变化而变化，其关系如图（3）1例1:设某商品的需求函数为 Q = f（P）=12 -丄p2（1）求需求弹性函数及 P=6时的需求弹性，并给出经济解释。（2）当P取什么值时，总收益最大？最大总收益是多少?EQ P dQP * 门 P T r |EP Q dPI 2 丿24-P2；（6）二624 -6低弹性经济意义为当价格 P=6时，若增加1%,则需求量下降1/3%，而总收益增加（R 0 ）。(2)R =PQ 二 P(12 一丄 P)2令 R =0则 P =12R(12) = 72且当P=12时，R 0。它表明当商品价格上涨 1%时，供给量将增加 ；s%。对；s的讨论，完全类似于需求弹性；P，这里不再重复。至于其它经济变量的弹性，读者可根据上面介绍的需求弹性与供给弹性，进行类似的讨论。练习题1、设某商品的需求函数和成本函数分别为：P 0.1x =80c(x) = 500020x其中x为销售量(产量)，P为价格。求边际利润函数，并计算 x=150和x=400时的边际利润，解释所得结果的经济 意义。1 P2某种商品的需求量 Q与价格P (单位：元)的关系式为： Q = f (P) =1600()4(1) 求需求弹性函数EQEP(2) 当价格P=10元时，再增加1%,该商品的需求量 Q如何变化。3、 设某种商品的销售额 Q是价格P (单位：元)的函数， Q二f (P) = 300P - 2P2。分别求价格P=50元及P=120元时，销售额对价格 P的弹性，并说明其经济意义。4、 设某商品的需求弹性在1.5-2.0之间，现打算明年将该商品的价格下调12%，那么明年该商品的需求量和总收益将如何变化？变化多少？