线性代数技巧分析

.行列式主要有以下3 种：具体行列式的计算抽象型行列式的的计算行列式值的判定1）一般的行列式常用变换技巧把每一行（列）都加到第一行（列）x2x1x2x32x 2 2 x 12x22x3f ( x)33x24x53x53x4x4x35x74x3把第一行（列）的k 倍加到其他行（列）上a1 xa2a3a4xx000xx000xx把第一行（列）的k 倍加到第二行（列）上，再将新的第二行（列）加到第三行（列）上，依次进行此项操作.a1100a2x10a30x1a400x2）爪形行列式通过将中间的那个爪子上的数字乘以相应的倍数然后加到某一边的爪子上以实现到上下三角行列式的变化11111200103010043) 直接展开型（公式法）如何判断是按行展开还是按列展开呢？答：按两头不为零中间都是零的格式展开。Word 文档.1a100001a200001000001an 1an00014）三对角线行列式数学归纳法 (主要就是降阶 )4300430043004300013301430013300133044440014=40=003=043031013313121001400140040001404134012112141340如果上面各步反过来就可以将分数约去5）证明2a1a22a1Aa 22a 1，证 A ( n 1)an2a2a1行列式的值：D n( n1)an证明方法：数学归纳法第一归纳法：1 验证 n=1 时命题正确2 设 n=k 时命题正确3 证明 n=k+1 时命题也正确第二归纳法：1 验证 n=1 和 n=2 时命题都正确2 设 n 证明 n=k 时命题正确fn2 fn 13这个 n 阶命题只和一个低阶命题有关，那么只需要一个归纳假设，此时选择归纳法1fn3 fn 15 fn 2 7对于这种情况， 通过观察我们可以发现fn 不仅与其n-1 阶命题有关， 还与 n-2 阶命题有关，那么在这里我们则要使用归纳法26）特征值的求解311151= 0，则=113311202200解： 151 =151 =152113113114然后按行展开即可得。首先通过观察（主对角线上的数不看）可以发现，剩下的几个数可以通过变换变成0，关于如何去变换，这个需要自己去验证，一般试个几次就出来了， 目的很简单： 通过变换让一行（列）出现两个0 即可。11a1a1a1111a1a1a11=0,则=a 10a1a 100=1a1=1a2=a11a1a1a2(a1)1a1在这里，我们可以发现，最后的式子比较复杂，直接计算有可能会出现错误，那么我们不妨将+a 进行变量代换， 这样， 既保证了计算的正确性，又节省了时间， 当然，别忘了换回去。7）求抽象行列式的值Word 文档.关键：记住并会灵活的运用各种公式下面是两个比较重要的公式：123a11 a22 a33A12 3“主对角线元素之和等于特征值之和”“特征值之积等于行列式的值”8）抽象型行列式的计算AB 没有运算法则； E 的恒等变形意思就是通过增添E（可以是一个矩阵与这个矩阵的逆矩阵的乘积）使得里面的形式发生变化（进行结合之类的） ，使得计算可以进行下去举几个例子：A-3 阶， |A|=4 ，则 ( 1A) 12 A*=5由 (kA) 11 A 1(1A) 15A 1k5由 AA*A EA*A A 1(1A)12 A*5A 18 A 1( 3)3A12754A， B 为 3 阶， |A|=3 ， |B|=2， A 1B2，则 A B1A B 1EA B1E (B1B)A B1(A1A) B1(B A1)A B1 B A1 A最后代数，结束。9) 下面这种情况，有两种套路一：行列式的性质二：相似首先是行列式的性质：例：A-3阶，1233维无关，A1123，A2223，A321223，则 AA(1,2,3)(123,223,21223)Word 文档.A1,2,3123,2 23,21223123 ,223 ,939123 ,223 ,391,2 ,3这是利用相似来做（此方法很重要！）A(1,2,3) (123,2 23,21 223)1021,2,3012221AP PB, P1 ,2 , 3可逆 P1AP B102所以AB0129221另外，由于此题的特殊性，还可以用特征值的方法来做：A(A(A(123)3( 123 )12 )12122 3 )33(132631223 )因为1,2,3无关，所以1230,120,12230再利用特征值之积为行列式的值即可算出A=（特征值定义）对比上式，可得 |A|=3 1 （-3 ） =-910 ） A-3 阶， E-3 阶单位矩阵，如A， A-2E ，3A+2E 均不可逆，则|A+E|=分析：由上面已知三个矩阵均不可逆可得对应的三个行列式都为0.特征值法：Word 文档.A0, A2E 0,3A 2E 0EA03A2E3(2 EA)3(3)32EA30A: 0,2,23A E :1,3, 1 3A E1311 3剩下两个同理11 ）证 |A|=0AX=0 有非 0 解反证法（由 A 1 找矛盾）r(A)n0 是特征值（Ai ）|A| = -|A|第一条：克拉默法则的运用1第二条：假设 |A|不等于 0，那么 A 是可逆的，用A 去找与已知条件的矛盾之处第三条： A 是 n 阶的，如果A 的秩小于n，说明 A 里面存在元素全为0 的行（列），也即行列式的值为0第四条：因为行列式的值为特征值的乘积，所以只要证明|A|存在特征值为0 即得证第五条：行列式表示的是一个数，若这个数等于其相反数，那么这个数为0，也得证12) 矩阵 A 的秩1a313A0b5 ，遮住 A 的第二列第三行，得，可以快速的推断：A 的秩大于等0511c于 2.相关知识：矩阵 A 中非 0 子式的最高阶数Word 文档.1231A=0026， r（ A） =2 ；0000r（ A） =r ： A 中有 r 阶子式不为0；每 r+1 阶（若还有）子式全为0.r（ A） =3A 中有 3 阶子式不为0 ，且每四阶子式全为0.r（ A） 4A 中 4 阶子全为0.r（ A） 2A 中有 2 阶子式不为0.A0r（ A） 1A-n 阶， r（ A）=n|A|0A 可逆r（ A） n|A|=0A 不可逆例子：A2A,AEA01）反证法若 A 0,则A可逆， A A -1A 2 A -1A E2）（ Ax=0 有非 0 解）A2AA(AE)0AE的列向量是 AX0的解又A-E 0AX0有非 0解，故 A03）（用秩）A( AE)0r ( A)r ( AE)nA E0r ( A E ) 1r ( A)n,故 A0（ 4 ）特征值法此题易错点：先矩阵乘法再两边取行列式之后，直接由矩阵关系得到行列式的关系。比如：AE|A-E| 0 ； AE|A|1Word 文档.A( mn阶 ), B（ ns阶）若AB 01） B的列向量是 AX0的解2） r（ A ） r（ B） n13 ）证明：A( mn阶 )，B（ nm阶）， mnAB01)(用秩 )AB 为 m 阶r ( AB)r (B)nm所需知识：1.r ( AB)min( r ( A), r (B)2 .如A可逆r ( AB)r (B)r ( BA)r (B)2）（用齐次方程组有非0 解）ABX=0BX=0如果BX0的解B0ABA00 （此处证明方式数三出现过）则必是 ABX0的解3)(方程数小于未知数个数，必有非0 解 )nmBX0有非 0解ABX0有非 0解AB0用到的定理：A( mn阶 )， mnAX0必有非 0解Word 文档.矩阵包括：运算，伴随，可逆，初等，正交，秩。一.矩阵的乘法一般的，有1) AB BA2) AB 0不能 A 0或B 03）ABAC，A0不能BC二证明A( mn)，B(ns)，若 AB01）B的列向量是 AX0的解2）r（A ） r（B） nA(mn), B(n s), ABCa11a12a1n11a21a22a2 n22解：am1am 2amnnma111a122a1n n1am1 1am 2 2amn nmC 的行向量可以由B 的行向量线性表出（C 的列向量可以由A 的列向量线性表出）下面介绍一个重要的性质：Word 文档4 - 62 - 38 -12.矩阵 A n1） r（ A ） 12A 142A 1 14，则 A n2- 322A 2112-3112-3442-8 112- 34-8AA3A2A -8AA（2- 8）AAnn-1（-8） A综上，得：如果 r（ A） 1A 2xA ， xa（iiA 的迹）A nx n -1A0ab2） 00c 型0000002000000000例： 200200200000130130130600在这里，左下角的6=2 3；另外30002000，130Word 文档.0123300240004500000006000，000000000规律同上，右上角24=1 46 ；另外，4012300450 。00060000由此可知，对于此种类型的 n 阶方阵，其 n-1 次幂只有一个角上存在非零值，其值为最外层的几个数之积；而其 n 次幂的值必为 0 。（依据的是矩阵乘积关于行与列的关系）123例：A 014, 则 An0011023由 A104E B10An( E B)nEnnE n 1 B Cn2 En 2B 2C n3E n 3 B310230081n 00410n( n 1) 0 01000200012n4n2n1 4n13）相似如P 1APB(P 1 AP)(P 1AP)B2P 1A2PB2P 1 An PBn（考试时的B 为对角矩阵，根据相似对角化计算A）Word 文档.111a31a1a1a111注：a2，a2a2a2a3a311a1a3三求 A*的方法 ：1 ）直接法，用定义：不要丢正负号（代数余子式是正负号与余子式的乘积） ，不要排错队（伴随矩阵是代数余子式按列来排列的）2 ）间接法：A*A A 1 （前提： A 可逆且 A 1易求）重要公式： AA*A*A AEa11a12a13例： 若 a21a22a23 ，证明 a11 A21 a12 A22 a13 A23 0 。a31a32a33解：（ Aij 的值与 aij 的大小无关）a11a12 a13则可以构造一个新的行列式a11a12a13 ，得a31a32 a33a11a12 a13a11a12a13a11 A21a12 A22a13 A230 （按第二行展开，再根据行列式的性质）a31a32 a33重要定理：A-n 阶，nr ( A)nr ( A* )1r ( A)n10r ( A)n1（相关例子见考研试题）Word 文档.Word 文档.Word 文档.Word 文档