材料力学：第6章弯曲内力

一 平面弯曲的概念及梁的种类二 梁的内力及其求法三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图四 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系五 平面刚架与曲杆的内力图六 关于内力图的进一步讨论一 平面弯曲的概念及梁的种类1、平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:（1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）对称轴对称轴对称轴对称轴对称轴对称轴对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。1、平面弯曲的概念墙梁楼板ql2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。PaAB阳台梁阳台梁栏杆栏杆PABPaMeq上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。百米长梁超越东海大桥梁式大桥70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程将在2010年完工。上海长江大桥架起世界第一梁3、梁的种类：静定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰中间铰 超静定梁支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。二 梁的内力及其求法x解：解：(1)(1)、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力,LFbFAyLFaFBy(2)(2)、截取、截取m-mm-m截面左段。截面左段。AxAyFmmQFMQF剪力剪力 使截面不产生移动使截面不产生移动, 0yF由弯矩弯矩M 使截面不产生转动使截面不产生转动得到：得到：LFbFFAyQoALBFabmmAyFByF1、梁的内力剪力与弯矩, 0oM由得到：得到：xLFbxFMAy2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（）（）QMM（）例题 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF3、求指定截面上的剪力和弯矩2、求C截面（跨中截面）上的内力qA212qaM aCAyFQcF, 0yF由得到：得到：02QcAyFaqFcMaqFFAyQc2qaQF（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，为负剪力）向相反，为负剪力）, 0CM由得到：得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）222qaM 如以右侧梁作为研究对象，则：cMByQcFaqF2qa222MaqaaFMByC22qa为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaCQcFByFqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByFaqFFAyQc2qa取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:ByQcFaqF2qa)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。向截面形心简化所得到的主矢。)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。力偶）向截面形心简化所得到的主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。向截面形心简化所得到的主矢。)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。到的主矩。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力0AMKNFAy3KNFBy70BM例题例题 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。截面上的内力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KND CByF2、求、求B、D截面上的内力截面上的内力?解：解：1、根据平衡条件已求出支座反力、根据平衡条件已求出支座反力KNFAy3KNFBy7例例题题 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求D左左、D右右、B左左、B右右截面截面上的内力。上的内力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KND CByF2、求、求D D左左、D D右右、B B左左、B B右右截面上的内力截面上的内力?AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：截面：左D)(左侧左yQDFFAyFKN3)(左侧左DDMM1AyFmKN.3AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：截面：右D)(右侧右yQDFFAyFKN3)(右侧右DDMM831oAyMFmKN 5截面：截面：左B)(左侧左yQBFF3qFAyKN3)(左侧左BBMM23340qMFAymKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF右B截面：截面：与与 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：，故有：左BByFByQBQBFFF左右KN4730ByBBFMM左右左BMmKN.5亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF4、小结(基本规律) （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ 、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。 （3）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。 若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。 （4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。 niiniiQFFF11)()(niiniiniiniiMMMMM1111)()()()(若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即)(),(xMMxFFQQ称为剪力方程和弯矩方程称为剪力方程和弯矩方程ABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1 剪力方程与弯矩方程AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。 所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。3 控制截面的概念xQFxM(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。注意：必须标明控制截面上的内力值4 剪力图和弯矩图例题 悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和 及其所在截面位置。maxQFmaxMPm=PaACBaa取参考坐标系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:0)(xFQ)0(axPamxM)()0(axxBC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQmaxPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）注意：注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处， 应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。)(xFQ3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。例题 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25AyFByF2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axAyFByFqaxFQ)(CA段段:)0 (axqaxxM)(x)()(axqFqaxFAyQAB段段 :)3(axaqxqa25x)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa)0 (axyABqF=qaCa2axAyFByF3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qa图QF(-)qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(qa21qa23(-)(+)2qa(-)EaxE23)(25axaqaqadxdM0ax25281)25(qaaxM281qa(+)(xFQyxaaapapACBDFAyFByxxx 3203, 0PFaRpapamByBA 30,0PFRPFFAyBAyy323233220pppFaxaaxaaxDBCDACxQxapaxpxpxpMaxaaxaaxx332333220yxaaapapACBDFAyFByxxxP32P3QxPa/32Pa/3 xapaxpxpxpMaxaaxaaxpppFaxaaxaaxDBCDACxxQ332333220323233220,32:,32:,3:)()()(constPFDBconstPFCDconstPFACxQxQxQ.0,3;32,2:;3,2;3,:;3,; 0, 0:MaxPaMaxDBPaMaxPaMaxCDPaMaxMxACMxoPa/3yxaaqa2ACBqFAyFByxx qaFqaqaaFmAyAyB432121,022 qaFaqaqaaFmByByA412321, 02axaaxqqaaxqaFCBACxQ243043:)( axaaxqqaqaxaxqaxMx22143043:22qaaxq(x-a)(x-a)/2axaaxqqaaxqaFCBACxQ243043)( axaaxqqaqaxaxqaxMx2214304322yxaaqa2ACBqFAyFByxx .,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQAC.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC qaFAy43 qaFBy41yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/4xxa2474732104743qaMaaqqaFaaQaxaxqqaaxqqaqaxdxddxxdM470221432143)(22axxaqaxqa43:4:43.,2,:;43:4143qaFaxqaFaxCBconstqaFACQQxQ.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC例例3. 复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。 特点特点:中间铰不能传递弯矩，中间铰不能传递弯矩，只能传递力的作用。求解时先只能传递力的作用。求解时先由中间铰处拆开，化为两个单由中间铰处拆开，化为两个单跨梁。跨梁。 AD、DC和和CB三段剪力三段剪力方程和弯矩方程如下：方程和弯矩方程如下：1. 支座反力支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由由AC跨的平衡条件求得。跨的平衡条件求得。2)()(218383qxqaxMqxqaFxxQAD:)(81)4(2183812183)()(axqaaxqaqaxMqaqaqaFxxQDC:qaFAy83qaFcy81axqxqadxdM83, 083得22max1289)83(218383qaaqaqaMCB：2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCC:AD AD段的弯矩图为一条二段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。才能大致绘出其图形。)(81)(81)()(axqaaxFMqaFFCyxCyxQ四 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。坐标系。规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。yxABq(x) 考察考察dx微段的受力与平衡微段的受力与平衡Q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)0yF0)()()(QQQdFxFdxxqxF)()(xqdxxdFQ上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。)(xFQdxxdFQ)()(xq)(xqFQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)()(xqdxxdFQ由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。ABqF=qaCa2a图QF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)0oM0)()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFxMQ)()(xFdxxdMs略去二阶微量略去二阶微量 ，得：，得：2)(2dxxq上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。)(xMdxxdM)()(xFQ)(xFQFQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c)()(xFdxxdMQ 由此式知：弯矩图曲由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力上相应截面处的剪力FQ 。ABqF=qaCa2a图QF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)()(xFdxxdMQ)()(xqdxxdFQ)()(22xqdxxMd)(xM上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：上式的几何意义：可以根据对x的二阶导数的正、负来定出 图的凹向。)(xM)(xq22)(dxxMd)(xM内力内力FQ 、M 的变化规律的变化规律, ,归纳如下：归纳如下：载荷载荷图QF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM斜直线斜直线1当梁上某段当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直的一次函数，弯矩图为斜直线。当线。当FQ0时，弯矩图为上升斜直线；时，弯矩图为上升斜直线；FQ0时，弯时，弯矩图为下降斜直线。矩图为下降斜直线。2当梁上某段当梁上某段q=常数常数时，该段剪力为时，该段剪力为x的一次函数，的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图的二次函数，弯矩图为二次抛物线。为二次抛物线。 若若q0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线（凹孤）；向上的曲线（凹孤）； 若若q0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线（凸孤）。口向下的曲线（凸孤）。 3在在集中力集中力作用处（包括支承处），剪力图将作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变当集中力向上时，剪力图向上突变（沿（沿x正向），正向），反之，向下突变；反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。不等出现拐点。 在在集中力偶集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿（沿x正正向），向），反之则向下突变，反之则向下突变，但剪力图在该处无变但剪力图在该处无变化。化。 例题 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力0AMKNFAy2 .7KNFBy8 . 30BMABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF校核无误。由0yFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的、由微分关系判断各段的 形状。形状。MFQ,载荷载荷图QF图MCADBAD0q0Cq0q斜直线斜直线斜直线斜直线KNFAy2 .7KNFBy8 . 3AyFByFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -图。图。QF4、作、作M-图。图。mx1 . 3CA段：段：KNFQC3右图QF(-)DA段：段：AyQAQAFFF左右KN2 . 4-3KN4.2KNKNFFByQD8 . 3左-3.8KN(+)(-)DB段：段：KNFFQDQD8 . 3左右-3KN.m(-)Ex0) 1(2 . 73xqFQE21 . 2211 . 21 . 3qFFMAyEmKN.41. 1mKNMD.2 . 2左-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)mKN.41. 1AyFByFCADBmkNq20kNmm20m1m1m1RARB解：解：1. 1. 求支座反力求支座反力 kNRaRmqamBBA15022, 022015MkNmOxQKNxo1015515CA段段：dQdxq（x）0，kndxxqQQACCA201200A点：RA35kn（ ），发生跳跃，knRQQAAA153520AB段： knQdxxqQQconstxQxqABAAB15, 0B点： RB15kn（ ），发生跳跃，01515BBBRQQCA段： , 00,222xQdxdMxqdxMdxMM mkndxxQMMACCA1012021AD段： , 0,xQdxdMxMM mkndxxQMMDAAD511510 kNRRRqayABA350, 02. 2. 作剪力图、弯矩图作剪力图、弯矩图D点：MD20kn.m，发生跳跃（ ）。 mknMMMDDD15205DB段： , 0,xQdxdMxMM 011515dxxQMMBDDBCA DBmkNq101kNmm60m2m1m3m3EmkNq202RARB解：解：1. 1. 求支座反力求支座反力 kNRRmBBA3506203214601210,0kNRRRyABA25020321210,02. 2. 作剪力图、弯矩图作剪力图、弯矩图Q/knox20530M/knmxo20154560q(x)q(x)例题q(x)q(x)QF例题五 平面刚架与曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。横梁立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2qL2qL)(kNFs2qL)(kNFN22qL22qL)(kNmM求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm82)(kNFs2)(kNFN2488)(kNmM 等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,1=450,2=900,试作折杆的剪力和弯矩图1 2 AL1L2FkN14.14kN14.14)(kNFs14.1414.14)(kNmM14.1414.1414.14C2rrABF 图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:FrM2FFN0SFBC: cos1 FrM cosFFN sinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFF六 关于内力图的进一步讨论例1：图示是一简支梁的剪力图与弯矩图，试根据此图求出与其相应的荷载图。2m2m20kn20kn20kn20knm1020203020knq20knmqmkNm2020knmkNm20例2：图示是一梁的剪力图，假设无集中力偶作用，试根据此图求出与其相应的荷载图和弯矩图。1m 1m2m2mQ50KN5050mkNq25qkn5010050Mknm5050