高中数学 2.3.2抛物线的简单几何学案 新人教A版选修11

高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何学案 新人教A 版选修 1-1基础梳理1抛物线的几何性质四种标准形式的抛物线几何性质的比较：抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于 1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛例如：已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p，y1y2p2，x1x2p24等2直线与抛物线的位置关系直线方程与抛物线方程联立后得到一元二次方程：ax2bxc0.当a0 时，两者位置关系的判定与椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线与抛物线相交，但只有一个公共点3弦长问题设A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的任两点，直线AB的斜率为k，倾斜角为，则弦长|AB| （1k2）（x1x2）24x1x211k2（y1y2）24y1y2.自测自评1顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2，3)，则它的方程是(B)Ax292y或y243xBy292x或x243yCx243yDy292x2以双曲线x216y291 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为y216x解析：由双曲线x216y291 得抛物线的焦点(4，0)，p24，p8，故所求抛物线方程为y216x.3抛物线y22px(p0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10，则焦点到准线的距离是 81顶点在原点，焦点在坐标轴的抛物线过点(3，2)，则它的方程是(A)Ax292y或y243xBy292x或x243yCx243yDy292x2过点M(2，4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有(C)A0 条B1 条C2 条D3 条解析：点M(2，4)在抛物线上，过点M与抛物线相切的有一条，与x轴平行的有一条共2 条3已知点P为抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是72，4，则|PA|PM|的最小值是_解析：抛物线y22x的焦点为F12，0，点A72，4在抛物线外部，显然P、A、F三点共线时，|PA|PM|有最小值，此时|PA|PM|PA|PF|12|FA|1292.答案：924直线l：ykx1，抛物线C：y22x，当k为何值时，l与C有：一个公共点解析：由ykx1，y22x，得k2x2(2k2)x10，当k0 时，方程为2x10，x12，y1.直线l与C只有一个公共点12，1；当k0 时，(2k2)24k28k4.当0 时，即k12时，l与C有一个公共点；综上，当k0，或k12时，l与C有一个公共点5求抛物线yx2上的点到直线l：xy20 的最短距离解析：设抛物线上一点P(x0，y0)到直线l：xy20 的距离为d，则d|x0y02|2(y0 x20)|x0 x202|212|x012274|.当x012时，dmin782.1过点M(3，2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有(B)A0 条B1 条C2 条D3 条解析： 因为点(3， 2)在抛物线内部， 所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点2直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为 3，则|AB|为(B)A4B8C6D10解析： 由题可知， 抛物线的准线方程为x1， 焦点为F，AB中点到准线的距离为 314，|AB|AF|BF|248.3已知点M(4，1)，F为抛物线C：y24x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|PM|取最小值，则点P的坐标是(C)A(0，0)B(1，2)C.14，1D(2，2 2)解析：如图所示，l为抛物线的准线，过P作PPl于P，过M作MNl于N，|PF|PM|PP|PM|MN|.当|PF|PM|取最小值时，P的纵坐标为 1，代入抛物线方程可得P的坐标为14，1.4过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线，交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|等于(A)A4pB5pC6pD8p解析：|PQ|PF|QF|x1p2x2p24p.5已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|(B)A2 2B2 3C4D2 5解析：利用抛物线的定义求解由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则M到焦点的距离为 2p23，p2，y24x.y2042，y02 2，|OM| 4y20 482 3.6抛物线y22px与直线axy40 交于A，B两点，其中A的坐标为(1，2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|FB|等于(A)A7B3 5C6D5解析：将A(1，2)分别代入抛物线与直线方程可得p2，a2，y24x，2xy40，可得x25x40，x21，x24.|FA|FB|x1p2x2p27.7已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P点，(0，2)点和抛物线的焦点P12，0三点共线时距离之和最小所以最小距离d0122（20）2172.答案：1728抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为 4 3，则焦点到AB的距离为_解析：根据题意，可设A点的坐标为(x0，2 3)，代入抛物线方程，得x03，又抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以焦点到AB的距离为 2.答案：29 若直线ykx2 与抛物线y28x交于A、B两点， 若线段AB的中点的横坐标是 2， 则|AB|_解析：由y28x，ykx2得：k2x2(4k8)x40，所以x1x24k8k24，x1x24k2，得k1 或k2.当k1 时，x24x40 有两个相等的实数根，不合题意；当k2 时，|AB| （1k2）（x1x2）24x1x2 5 （x1x2）24x1x2 5 1642 15.10已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 m，测得水面宽度为 8 m当水面上升 1 m 后，水面宽度为_解析：以拱桥顶为原点，拱高所在的直线为y轴，建立直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，将点(4，2)代入，得p4，所以抛物线方程为x28y.设水面宽度为 2xm，将点(x，1)代入抛物线方程，得x2 2，2x4 2.水面宽度为 4 2m.答案：4 2 m11正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析：依题意，设正三角形OAB的一个顶点A(x0，y0)(x00，y00)，则根据抛物线的对称性知B(x0，y0)，设AB交x轴于D点，则在直角三角形ADO中，AOD30，|AD|y0，所以有：x0|OD| 3y0.将A( 3y0，y0)代入抛物线方程有：y202p 3y0，即y02p 3，所以|AB|2y04 3p.12一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线 2xy40 所得的弦长为 3 5，求抛物线的方程解析：设抛物线方程为y22px(p0)，将直线方程y2x4 代入，并整理得2x2(8p)x80.设方程的两个根为x1，x2，则根据韦达定理有x1x28p2，x1x24.由弦长公式，得(3 5)2(122)(x1x2)24x1x2，即 98p2216.整理得p216p360，解得p2，或p18，此时0.故所求的抛物线方程为y24x，或y236x.体验高考1(2014新课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A，B两点，则|AB|(C)A.303B6C12D7 3解析：F为抛物线C：y23x的焦点，F34，0，AB的方程为y0tan 30 x34 ，即y33x34.联立y23x，y33x34，得13x272x3160.x1x27213212，即xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|2123212.2(2014新课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若FP4FQ，则|QF|(B)A.72B3C.52D2解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，|HQ|3.|QF|3.3(2013江西卷)如图所示，已知点A(2，0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交与点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|(C)A2 5B12C1 5D13解析：直线MF的方程为x2y11，即x2y20.设直线MF的倾斜角为，则 tan12.由抛物线的定义得|MF|MQ|.所以|MF|MN|MQ|MN|sin15.故选 C.4(2013新课标全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为(C)Ayx1 或yx1By33(x1)或y33(x1)Cy 3(x1)或y 3(x1)Dy22(x1)或y22(x1)解析： 如下图， 设直线AB与抛物线的准线x1 交于点C.由抛物线的定义可设|BF|BB1|t，|AF|AA1|3t.由三角形的相似得|BC|AB|BC|4t12，|BC|2t，B1CB6，直线的倾斜角3或23.