高中数学人教A版选修44教学案： 第二讲 第2节 第1课时 椭圆的参数方程 Word版含答案

第 1 课时椭圆的参数方程核心必知椭圆的参数方程中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆x2a2y2b21 的参数方程是xacos，ybsin(是参数)，规定参数的取值范围是0，2)问题思考1中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆y2a2x2b21 的参数方程是什么？提示：由y2a2sin2，x2b2cos2，得xbcos，yasin.即参数方程为xbcosyasin(为参数)2圆的参数方程xrcos，yrsin中参数的意义与椭圆的参数方程中参数的意义相同吗？提示：圆的参数方程：xrcos，yrsin(为参数)中的参数是动点 M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程xacos，ybsin(为参数)中的参数不是动点 M(x， y)的旋转角， 它是点 M所对应的圆的半径 OAa(或 OBb)的旋转角，称为离心角，不是 OM 的旋转角已知椭圆x2100y2641 有一内接矩形 ABCD，求矩形 ABCD 的最大面积精讲详析本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答此题需要设出 A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知 B、C、D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式椭圆方程为x2100y2641，可设 A 点的坐标为(10cos，8sin)则|AD|20|cos|，|AB|16|sin|，S矩形|AB|AD|2016|sincos|160|sin 2|.|sin 2|1，矩形 ABCD 的最大面积为 160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值1已知实数 x，y 满足x225y2161，求目标函数 zx2y 的最大值与最小值解：椭圆x225y2161 的参数方程为x5cos，y4sin(为参数)代入目标函数得z5cos8sin 5282cos (0) 89cos (0)(tan085)所以目标函数 zmin 89，zmax 89.已知 A，B 分别是椭圆x236y291 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求ABC 的重心 G 的轨迹方程精讲详析本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即 C 点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心 G 的坐标即可求得轨迹由题意知 A(6， 0)、 B(0， 3) 由于动点 C 在椭圆上运动， 故可设动点 C 的坐标为(6cos，3sin)，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得x606cos3，y033sin3，即x22cos，y1sin .消去参数得到（x2）24(y1)21.利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用表示点的坐标，再利用 sin2cos21 进行消参， 本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性， 运用参数方程显得很简单，运算更简便2设 F1、F2分别为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆 C 上的点 A1，32 到 F1，F2的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；(2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2的距离之和是 4，得 2a4，即 a2.又点 A(1，32)在椭圆上，因此14（32）2b21，得 b23，于是 c2a2b21，所以椭圆 C 的方程为x24y231，焦点坐标为 F1(1，0)，F2(1，0)(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos， 3sin)，线段 F1P 的中点坐标为(x，y)，则x2cos12，y3sin02，所以 x12cos，2y3sin.消去，得(x12)24y231.已知椭圆x24y21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、B2的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点，求证：|OP|OQ|为定值精讲详析本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答本题需要先确定 B1、B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出 M 点的坐标，然后用参数表示出|OP|OQ|即可设 M(2cos，sin)，为参数，B1(0，1)，B2(0，1)则 MB1的方程：y1sin12cosx，令 y0，则 x2cossin1，即|OP|2cos1sin|.MB2的方程：y1sin12cosx，|OQ|2cos1sin|.|OP|OQ|2cos1sin|2cos1sin|4.即|OP|OQ|4 为定值(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围3求证：椭圆xacos，ybsin(ab0)上一点 M 与其左焦点 F 的距离的最大值为 ac(其中 c2a2b2)证明：M、F 的坐标分别为(acos，bsin )、(c，0)|MF|2(acosc)2(bsin)2a2cos22accosc2b2b2cos2c2cos22accosa2(accos)2当 cos1 时，|MF|2最大，|MF|边最大，最大值为 ac.椭圆的参数方程及参数方程在求最值中的应用， 是高考命题的重点考查对象， 新课标全国卷以解答题的形式考查了椭圆参数方程在求最值中的应用，是高考命题的一个新动向考题印证(新课标全国卷)已知曲线 C1的参数方程是x2cos，y3sin，(为参数)， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是2.正方形 ABCD 的顶点都在C1上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为2，3 .(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围命题立意本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解(1)由已知可得 A(2cos3，2sin3)，B(2cos (32)，2sin(32)，C(2cos (3)，2sin(3)，D(2cos (332)，2sin(332)，即 A(1， 3)，B( 3，1)，C(1， 3)，D( 3，1)(2)设 P(2cos，3sin)，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32，52一、选择题1椭圆x4cos，y5sin (为参数)的离心率为()A.45B.35C.34D.15解析：选 B由椭圆方程知 a5，b4，c29，c3，e35.2 椭圆xacos，ybsin(为参数)， 若0， 2， 则椭圆上的点(a， 0)对应的()AB.2C2D.32解析：选 A点(a，0)中 xa，aacos.cos1.3若 P(x，y)是椭圆 2x23y212 上的一个动点，则 x22y 的最大值为()A2 6B4C. 2 6D2 2解析：选 D椭圆为x26y241，设 P( 6cos，2sin)，x22y 6cos 2sin2 2sin (3)2 2.4已知曲线x3cos，y4sin(为参数，0)上一点 P，原点为 O，直线 PO 的倾斜角为4，则 P 点坐标是()A(3，4)B.3 22，2 2C(3，4)D.125，125解析：选 D因为y0 x043tantan41，所以 tan34.所以 cos45，sin35，代入得 P 点坐标为(125，125)二、填空题5二次曲线x5cos，y3sin(是参数)的左焦点的坐标是_解析：原方程消去参数，得普通方程为x225y291.它是焦点在 x 轴上的椭圆，a225，b29，c2a2b216，c4.所以左焦点坐标是(4，0)答案：(4，0)6已知椭圆的参数方程为x2cos t，y4sin t(t 为参数)，点 M、N 在椭圆上，对应参数分别为3，6，则直线 MN 的斜率为_解析：当 t3时，x2cos31，y4sin32 3，即 M(1，2 3)，同理 N( 3，2)kMN2 321 32.答案：27对任意实数，直线 yxb 与椭圆x2cos，y4sin(02)，恒有公共点，则 b 的取值范围是_解析：将(2cos，4sin)代入 yxb 得：4sin2cosb恒有公共点，以上方程有解令 f()4sin2cos2 5sin()(tan12)2 5f()2 5.2 5b2 5.答案：2 5，2 58直线 xy23被椭圆x2 3cos，y2sin(为参数)截得的弦长为_解析：把x2 3cos，y2sin代入 xy23得3cossin 3.即 sin (3)32，于是0 或3，得两交点M(2 3，0)，N( 3， 3)，|MN| 33 6.答案： 6三、解答题9(福建高考)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 xy40，曲线 C 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为4，2 ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值解：(1)把极坐标系下的点 P(4，2)化为直角坐标，得 P(0，4)因为点 P 的直角坐标(0，4)满足直线 l 的方程 xy40，所以点 P 在直线 l 上(2)因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为( 3cos，sin)，从而点 Q 到直线 l的距离为d| 3cossin4|22cos（6）42 2cos(6)2 2.由此得，当 cos(6)1 时，d 取得最小值，且最小值为 2.10P 为椭圆x216y291 上的点，求 P 到直线 l：3x4y240 的距离的取值范围解：设 P 的坐标为(4cos，3sin)，则 P 到 l 的距离为d|12cos12sin24|5|12 2cos （4）24|52412 2cos （4）5当 cos (4)1 时，d 取最大值为2412 25；当 cos (4)1 时，d 取最小值为2412 25.所求的取值范围为2412 25，2412 2511椭圆x29y241 上一动点 P(x，y)与定点 A(a，0)(0a3)之间的距离的最小值为 1，求 a 的值解：设动点 P(3cos，2sin)，则|PA|2(3cosa)24sin25(cos35a)245a24.0a3，035a95.若 035a1，则当 cos35a 时，|PA|min45a241，得 a152(舍去)；若 135a95，则当 cos1 时，由|PA|min a26a91，得|a3|1，a2，故满足要求的 a 值为 2.最新精品资料