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第7章恒定磁场7-1在闪电中电流可高达2104A,若将闪电电流视作长直电流，问距闪电电流1.0m处的磁感应强度有多大？解根据安培环路定理BdlL与长直电流相距r处的磁感应强度为2MB0I解得相距1.0m处的磁感应强度的大小4103T7-2如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放置，相距d=2.010-2m。设两根导线通过的电流均为直距离中点P处的磁感应强度。解两根载有相同电流的无限长直导线在I=10A,求两导线垂P处的磁感应强度的大小相同，由安培环路定理BdlLIi题7-2图B1和B2的方向分别指向x轴的负方向和2mBBiB2z轴的正方向。由磁场叠加原理，P处磁感应强度的大小为BP0I012Td/2,B2B2Bp的方向在x-z平面内，与z轴正方向和x轴负方向均成457-3如图所示，一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的形状。求使。点的磁感应强度为零的半径a和b的比值。104T0I2.8104T27td2夹角。解该载流系统由三部分组成，o点的磁感应强度为载有相同电流的无限长直导线及两个半径分别为a和b的圆环分别在该处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负。由安培环路定理BdlL无限长载流直导线在o点的磁感应强度为271bB直线0IB直线根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在o点的磁感应强度dB对两载流圆环分别积分，有B大环0Idl04兀r20I2加0Idlsin4兀r2心四04兀b20I2b由磁场叠加原理解得7-4如图所示，两导线沿半径方向引到铁环上处的电源相连，已知环的粗细均匀，求环中心解设aeb长为li,ab长为向外为负，因为UaebUab,即HB小环a、loIdl04TB直线oI2b2,Idl_2I04兀$2aB小环b两点，并与远o的磁感应强度。12。并设磁场方向以垂直纸面向内为正,I2上，所以I122。S根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在圆心。点的磁感应强度dB对两载流圆弧分别积分，有adbBiioBabadB由磁场叠加原理，。点的磁感应强度的大小为B一47-5一根无限长直导线通有电流I=4A,中部被弯成半圆弧形，半径r=10cm。求圆弧中心的磁感应强度。解无限长直导线的直线部分在O点产生的磁感应强度为0,所以O点的磁场仅由载流半圆弧激发。根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在。点的磁感应强度故有方向垂直纸面向内。7-6将一段导线弯成半径分别为R1和R2的同心段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流求圆心。处的磁感应强度B的大小和方向。-题7-4图0IdlsinIidl012dl04兀r2oI2份4r20I1l1-w4roI2l224，式中T(I1l1I2l2)04rr22,1/4圆弧，并与两I,方向如图所示。解两段径向直线段在o点不产生磁场，所以只需将大、小两个圆弧在o点产生的磁感应强度进行叠加。根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在。点的磁感应强度dBoIdlsin2-4兀r式中不201.26105T4rll题7-6图对两圆弧分别积分，有B1dBL10Idl24兀尺3,方向垂直纸面向外。8RB2FB#200Idl4R220I8R2,方向垂直纸面向里。两同心1/4圆弧在。点产生的总磁感应强度BiB21I1I042Ri42R2方向垂直纸面向外。7-7如图所示，一根长为L的导线，载有电流I。试求:（1）该导线在其中垂线上与导线相距为L/2的P点处所产生的磁场的磁感应强度;P点正上方相距L/2处的Q点的磁感应强度。L/2解利用长直载流导线的磁场公式0-L(cos4a1cos2）求解。（1）对于P点，cos1兀cos4cos23兀cos4P点的磁感应强度BPol/.2(-Z-2、2I2kL方向垂直纸面向里。题7-7图（2）对于Q点，cos1L2(L24)cos兀cos2Q点的磁感应强度Bqi(20)471a5方向垂直纸面向里。7-8均匀磁场的磁感应强度B=2.0T方向沿x轴正向，如图所示。试求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。befc解（1）根据磁通量定义BScos对于abcd面,则通过该面的磁通量abcdBSabcdcos兀0.24T(2)对于befc面,则通过该面的磁通量befc兀BSbefccos-2(3)对于aefd面，ScosSabcd,贝UaefdBSaefdcosr题7-8图BSabcd0.24T题7-9图7-10两根平行的长直导线相隔6.5A流入页面的电流。要使图中 大小和方向。解根据安培环路定理，对长直导线1,有对长直导线2,有0.75cm,且都垂直于图示的平面。导线 1载有P点的合成磁场为零，试确定导线2中电流的oil,Bloi 1题7-10图2 d2B2o1 2 ,B2两长直导线在P点产生的磁感应强度的大小相等，即B17-9一个非均匀磁场磁感应弓II度的变化规律为B=ky（k为常量），方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为a的正方形线框，其位置如图所示。求通过线框的磁通量。解在线框内坐标为y处取一长为a宽为dy的矩形面积元dS,在dS中磁场可认为是均匀的，则通过dS的磁通量dBdSkyady对正方形线框平面积分，得d0kyady-ka3由此解得I2叵I14.33A,11为使P点的合成磁场为零，则导线1和导线2中电流的流向必需相反，故长直导线2中电流方向垂直纸面向外。7-11同轴长电缆由内、外两导体构成，内导体是半径为a的实心圆柱，外导体是内外半径分别为b和c的圆筒。在两导体中，大小相等、方向相反的电流I通过。试求磁感应强度B的分布：（1）圆柱导体内离轴r处（ra）;（2）两导体间（arb）；（3）圆筒形导体内（brc）。解（1）ra应用安培环路定理：BdlL于是有（2）arbIi,在ra柱体内绕轴作环形回路L,其中Ii应用安培环路定理BdlLcc.a/口-0IrB1271r012,得B1227aIi,在arb柱体间绕轴作环形回路L,其中IiI于是有（3）brc应用安培环路定理BdlL于是有0IiiB22M0I,得B23271r在brc应用安培环路定理。BdlLBMc232c空间作环形闭合回路L,包围的电流Iiii于是有B4271ro(II),得B40题7-12图(1)7-12图中所示为一无限大载流导电薄片的横截面，电流垂直地从页面流出，通过横截面每单位宽度（沿x向）的电流强度为j。（1）用毕奥-萨伐尔定律和对称性确定薄片上、下方所有点的磁场方向均平行于薄片，且在页面内（见图）（2）用安培环路定理证明，在1所有点P和P处的磁感应强度B-0Jo2解（1）该无限大载流导电薄片可看作是由无数条无限长载流直导线组成。任意一点，根据毕奥-萨伐尔定律可知每条直导线在P点产生的磁场均在页面内。又根据对称性，P点左侧-X0处直导线与右侧X0处直导线产生的磁场的磁感应强度在y轴上分量大小相等方向相反，而在x轴上分量大小相等方向相同（如右图），因此合成后P点处总的磁场方向应该平行于薄片向左，且在页面内。同理亦可推知薄片下方任意一点P处总的磁场方向应该平行于薄片向右，且在页面内。（2）作对称于载流导电薄片的矩形环路，如右图，ab长为P点为薄片上方11,bc长为12,则环路中包围的电流为jl1。由安培环路定理产6d题7-12图(3)2*lBdl0I,即bcdaBdlBdlBdlBdlabcd在ab段和cd段上B的方向均与dl相同，而在bcdBdl(cos0)Bdl(cos90)Babc解得B0jl1bc段和da段上B的方向与dl垂直，故有adl(cos0)Bdl(cos90)2Bl10jl1d0j题 7-13 图(1)题 7-13 图(2)7-14 一长直导线中通有电流Ii,近旁有一矩形线圈，其长边与导线平行。若线圈中通有电流I2,线圈的位置及尺寸如图所示。当Ii=20A、I2=10A、xi=1.0cm、X2=10cm、l=20cm时，求矩形线圈所受力的大小和方向。解根据安培定律判断，矩形线圈上、下两载流导线受力大小相等而方向相反，相互抵消。等。由安培环路定理可知,左、右两侧载流导线受力方向相反，但大小不长直载流导线在线圈左、右两侧处产生的磁感应强度分别为Bi也和B2由此线圈左、右两侧载流导线受力大小分别为FiBJlFF2F1比1011I2l2 1X147.2 10 N负号表示合力方向水平向左。F2B2I2I0 I 12 x10 11I2l2 tx2力I2l7-15如图所示，ADC为弯成任意形状的导线，被置于与均匀 磁场B垂直的平面内。求证：当弯曲导线ADC通以电流I时，均匀磁场对它的作用力与 AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。证明 在弯曲导线 ADC上选取图示的坐标系 xoy,在导线上取电流元题7-14图题7-15图Idl。电流元在磁场中受到磁场力因此弯曲导线 ADC受合力df Idl B I(dxi dyj) Bk=旧dx( j) IBdyii0Fadc ADCdf0IBdx( j) IBdyi IBlj根据安培定律，长l的载流直导线 AC在匀强磁场中受力 Fac=IB1,方向沿y轴负向。显然,7-13两无限大平行导体平面上都有均匀分布的电流，其面电流密度分别为j1和j2,且j1j2（见附图），试求两平面间和两平面外的磁感应强度。解利用上题结论，将两载流平面产生的磁场进行叠加计算。两平面间P点，磁场B1与B2方向相反，如图（2）:BPB1B2-0（j1j2）2两平面外Q点，磁场B1与B2方向相同，如图（2）:BqBB2j(j1j2)它与弯曲导线ADC所受磁场力的大小和方向均相同，即FADC=Fac。从而证明了匀强磁场中任意形状一段载流导线ADC所受磁场力，与AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。7-16 一长直导线通有电流I =10A ,两者互相垂直且共面, 用力和对。点的力矩。解 建立如图所示的坐标，导线磁感应弓虽度为B 。2做I =20A ,另一导线 ab通有电流如图所示。求导线 ab所受的作*HO.OI0mt0.10m题7-16图ab于x轴上。由安培环路定律解得，载流长直导线周围的在ab上取一电流元I dx,受力大小为dFBI dx导线ab所受的总作用力bdF aoII dx2欣0.10 cII dx匚oII dx 9.2 10 5 N0.0102 7a方向沿y轴。电流元Idx对。点的力矩dMxdFxBIdx0IIdx2兀7-17线bdM aab0.1.0.01.0 11dx2兀3.6610 N在磁感应强度为路，其边长分别为 a和B的均匀磁场中，有一载流矩形闭合回 b,电流强度为I。试求在图示位置时该矩题7-17图回路的磁矩Pm和磁力矩M。解根据定义，磁矩大小为PmIS Iab方向垂直纸面向里。磁力矩MPm B ,其大小为MPmBsin90Blab题7-18图ab方向上有一载（1）半圆弧acb方向沿oo竖直向下。7-18一半径为R的圆形导线中通有电流在沿直径有电流Ii的无限长直导线（彼此绝缘），方向见图。求:所受作用力的大小和方向；（2）整个圆形导线所受作用力的大小和方向。解（1）建立如图所示的坐标系。在半圆弧acb上任取一电流元12dl。电流元所在处的磁场垂直纸面向外，磁感应强度电流元受到磁场作用力的大小为dFBI2dl,方向指向圆心。dFx dF sin该力在x方向的分量则半圆弧acb在x方向所受的合力FxdfxBI2sindl02jRsinoI1_I2Rsind工01112,d0Q2兀011I2磁场力在y方向的分量则半圆弧acb在y方向受到的合力dFydFcosFyBI2COSdlK0l112Rcosd02jRsinFy也可由对称性分析得到同样的结果。所以半圆弧（2）用类似方法可分析另一侧半圆弧，它与acb方向均相同，故整个圆形导线所受作用力大小为沿x轴正向。“0111202兀tanacb受力沿7-19如图所示，一闭合回路由半径为a和b的两个同心半圆连成，载有电流I。试求（1）圆心P点处磁感应强度B的大小和方向；（2）回路的磁矩。解（1）o点磁场仅由两载流半圆弧激发。根据毕奥-萨伐尔定律,的磁感应强度dB0Idlsin口25且4兀r受力大小和0I1I2,方向x轴正向，大小为电流元Idl在o点产生半径为a的圆弧在o的磁感应强度为ldBIdl半径为b的圆弧在o的磁感应强度为dBl04%产加的Idl0I4a施I4b由磁场叠加原理,P点处总磁感应强度Bp0I4a0I4b0I(ab)4ab方向垂直纸面向里。（2）12PmIS-aI2方向垂直纸面向里。而2Ib2)7-20质谱仪的构造原理如图所示。离子源S提供质量为电荷为q的离子。离子初速很小，可以看作是静止的，然后经过电压U的加速，进入磁感应强度为B的均匀磁场，沿着半圆周运动，最后到达记录底片P上。测得离子在M、题7-20图到入口处A的距离为x。试证明该离子的质量为:P上的位置22qBxM。8U证明设离子经电压U加速后进入磁场时的速度为V。电场力作功使离子获得动能12qU2Mv在磁场中洛伦兹力提供作圆周运动的向心力2c2v2vqvBMMRx由此解得该离子的质量为M22qB二，于是得证。8U7-21如图所示，把一宽2.0102m厚1.010sm的铜片放在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中，如果铜片中通有200A的电流。试问（1）铜片左右两侧的电势哪侧高？（2）霍耳电势差有多大？（铜的电子浓度n=8.41028i/m3）。解（1）根据洛伦兹力FqvB可判断铜片内载流子（电子）在磁场中的受力方向向右,因此右侧积聚了电子带负电，左侧因缺少电子而带等量的正电。所以左侧电势高。（2）霍耳电势差Uh-IB2.2105Vned7-22图示为半导体样品，沿x轴方向有电流I,z轴方向有均匀磁场B。实验测得的数据为：a=0.10cm,b=0.35cm,c=1.0cm,I=1.0mA,B=0.3T,半导体片两侧的电势差U1-U2=6.55mV。（1）试问这种样品是p型还是n型半导体？（2）求载流子浓度。解（1）根据洛伦兹力可判断半导体样品内载流子在磁场中的受力方向向左。因UiU2,可知左侧带负电，因此载流子为电子，半导体为n型。（2）载流子（电子）浓度nB2.861020（个/m3）eaUh7-23一长直螺线管，每米绕有1000匝，今要求在螺线管内部轴上一点p的磁感应强度B=4.210,T,问螺线管中需通以多大的电流？（设螺线管内为空气）。若螺线管是绕在铁芯上，通以上述同样大小的电流，问这时在螺线管内部同一点产生的磁感应强度为多少？设此时纯铁的相对磁导率=5000。解根据安培环路定律，当管内为空气时B0nI螺线管中需通的电流为I0.334A0n当螺线管内有铁芯时，管内的磁感应强度rB2.1T
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