基于剪切波变换的图像去卷积算法研究与仿真毕业论文

基于剪切波变换的图像去卷积算法研究与仿真基于剪切波变换的图像去卷积算法研究与仿真摘要：受成像条件、外部噪声以及人为因素的影响，人们获取到的图像常常会出现不同程度的失真，如图像含有噪声、模糊不清。噪声和模糊的存在降低了图像的视觉质量，影响了图像的后续处理。为改善图像质量，尽可能减少失真对图像后续处理的影响，对图像进行去噪和去模糊处理就成为图像预处理过程中一项非常重要的工作。小波变换因其多分辨特性而被广泛应用于图像去噪和去模糊。然而，小波变换只能表示图像中的点状奇异，而不能有效地表示曲线奇异。新近出现的剪切波变换则有效地克服了小波变换的缺陷。在本文中，我们使用了一种基于剪切波变换的图像去卷积方法。模糊图像首先被投射到傅里叶域，进行正则化反演去卷积。之后剪切波再将图像分解到各个尺度和方向上，剪切波域的阈值将有色噪声收缩。为了提高估计质量，我们引入一种新型剪切波变换-离散不可分离剪切波变换，相对之前的剪切波变换，其方向指向性更好。但是Tikhonov正则限制了算法的提升空间，因此本文提出了一种将较为先进的正则化方法LPA-ICI与DNST结合的算法。大量的实验数据说明本文的去卷积算法在图像去模糊方面的潜力。关键词：去卷积；去噪；剪切波变换；Tikhonov正则化；Abstract：Images are often corrupted by noise and blur due to the undesired conditions for image acquisition, processing and transmission. The noise and blur in images have severely degraded image quality and affected the subsequent image processing tasks. Thus noise and blur reduction has been a very important pre-processing step for improving the quality of images. In the past decade, the wavelet transform has been successfully used in image denoising and deblurring due to its multiresolution capability. However, despite its remarkable success in dealing with pointwise singularities, the standard separable wavelet transform fails to provide an optimal sparse representation for images that contain other types of singularities. Shearlets, a new directional multiresolution transform, can efficiently represent the directional information of images.In this paper, we consider a approach to image deconvolution based on shearlet transform. The deblurring is accomplished when the blurred image is first projected onto a Fourier domain, following Tikhonov regularized inversion, the colored noise is then suppressed using a shearlet domain based thresholding. To improve the estimating capability, we introduce a new shearlet transform associated with a nonseparable shearlet generator, which improves the directional selectivity of previous shearlet transforms. However, the above method cannot improve much due to the limitation of Tikhonov regularization. Thus, we propose a new scheme using the best exisiting deconvolution method LPA-ICI associated with DNST. Numerical experiments demonstrating the potential of our new algorithm in 2D image deblurring.Key words: deconvolution; denoising; discrete shearlet transform; Tikhonov-regularization; 目录目录1 绪论11.1 课题背景及意义11.2 图像复原简介21.2.1 研究内容21.2.2 数学模型31.2.3 图像去卷积算法的研究现状61.2.4 评价方法71.3 本文主要工作和章节安排92 剪切波变换理论112.1 剪切波的定义及离散算法112.2 离散不可分离剪切波132.2.1 剪切波算子的离散化132.2.2 离散不可分离剪切波172.2.3 复杂度计算192.3 本章小结203 基于傅里叶-剪切波变换的图像去卷积算法213.1 基于傅里叶-DNST的图像去卷积算法213.1.1 引言213.1.2 本文提议的改进去卷积算法描述223.2 各类去卷积算法仿真与结果分析243.2.1 基于DNST的图像去噪算法仿真与分析243.2.2 基于傅里叶-DNST的去卷积算法仿真与分析263.3 本章小结344 基于LPA-剪切波变换的图像去卷积算法354.1 基于LPA-ICI-DNST的图像去卷积算法354.1.1 算法提出的背景354.1.2 本文提议的LPA-ICI-DNST算法描述354.2 算法仿真与结果分析364.3 本章小结395 总结与展望40致谢41参考文献42绪论1 绪论1.1 课题背景及意义 视觉是人类最高级的感知器官，视觉活动则是人类最基本的活动之一。在日常生活和社会活动中，人们无时无刻不在进行着视觉活动。在视觉活动过程中，图像是人类获取外部信息的主要形式1。随着数字多媒体和计算机视觉技术的迅猛发展，对图像信息进行加工处理（如去噪、去模糊以及压缩等）以满足人们的视觉和实际应用的需要，变得越来越重要。 图像复原是图像处理中的一个重要问题，它广泛应用在诸多领域，比如计算机视觉、医疗成像等。图像复原是指去除或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降（退化）。从降质图像复原出清晰的、内容丰富、接近真实理想的图像，将有利于提高图像处理应用的精确性、实用性、真实性和有效性。而且图像复原处理结果的性能，在一定程度上左右着后续其它图像处理算法的研究和发展2。 图像在获取和传输过程中，受外部环境的限制以及成像设备物理局限性的影响，除了会受到噪声的污染外，还会引入不同程度的模糊，最常见的原因有：1）被摄物体与成像设备间的相对运动会造成图像的运动模糊；2）成像设备聚焦不良会造成图像的散焦模糊；3）在天文和遥感成像时，大气湍流的扰动效应也会引起图像的模糊。为消除模糊对图像质量的影响，去模糊一直是图像预处理领域重要的研究课题之一3。 得益于小波的多尺度特性，以小波为基础的多尺度图像去模糊方法是当前领域的研究热点。尽管基于小波变换的方法在图像去模糊领域取得了很大进步，但是受小波表示图像局限性的影响，小波图像去模糊方法存在着先天不足。为此，Starck4等人提出了基于曲线波变换的去模糊方法，其去模糊效果要优于基于小波的方法。Chaux5等人于2007年在框架理论下，提出了变分图像去模糊方法。2009年，Dupe6等人利用曲线波变换提出了一种基于邻近迭代算法的去模糊方法，取得了较好的效果。 然而，曲线波在频率空间中是隔层细分的，这在一定程度上影响了它对图像稀疏表示的性能，剪切波变换不仅具有与曲线波相同的非线性误差逼近阶，而且在频率空间中剪切波是逐层细分的。对于具有光滑奇异性的目标函数，剪切波具有良好的多分辨性和多方向分解特性，可以对图像进行灵活的多分辨和多方向分解，对图像中的边缘和纹理等细节信息能给出接近最优的表示性能，是一种更为灵活的数字图像表示方法。但目前剪切波在图像去模糊领域的研究较少。这些原因都促使我们对剪切波在图像去模糊领域的应用进行研究。1.2 图像复原简介 根据降质因素的不同，图像复原的主要研究内容可分为四种类型：去噪、去模糊、修复和超分辨率处理。图像复原的目标是对退化的图像进行处理,使它趋向于复原成没有退化的理想图像。视具体应用的不同，将损失掉的图像部分复原过来可以起到不同的作用：有时可能只是修饰作用；而有时则起着成败攸关的作用7,8。本文主要针对图像去噪和去模糊两个方面的问题展开研究。1.2.1 研究内容（1）图像去噪 噪声严重地妨碍了人类感觉器官对所接收到的信源（如图像）信息的理解。在数字图像处理的实际应用中，图像往往不可避免地受到各类噪声的干扰，比如光电转换过程中的噪声，照片颗粒噪声和光学成像噪声等。图像去噪是为了减弱噪声的影响，让人们能够从图像中获取更准确有效的信息，也使图像的质量达到后续处理的要求7,8,9。 噪声图像可以认为是原始清晰图像与噪声以某种形式组合形成（可能叠加或者相乘，通常认为相加）的结果。这两个方面各自都具有相应的频域和空间域特征属性，也可能存在部分交叠，而且可能与不同的图像内容相关。基本的处理思路是，在获取或者假定噪声和图像的统计特性基础上，进行频域滤波、空间域滤波，可以是基于全局的或者局部的。比较常用的技术有传统的滤波方法和小波变换方法。在这些技术的研究中，人们主要关注，获取统计特性、保持原始特性细节、对不同图像内容的自适应处理等这些方面的内容2。 在本文中我们使用剪切波变换进行去噪处理。（2）图像去模糊 从原始的模糊图像中复原出清晰图像的问题，称之为图像去模糊。依据图像模糊的物理本质来看，主要有三种类型的图像模糊，分别是由光学、机械和媒质所引起的。类似于图像去噪，图像去模糊在图像处理领域中应用广泛。如在光学、医学和天文学领域中，图像的采集或传输过程中由于受到不同因素的影响，导致图像产生模糊降质，严重地影响了后续的图像处理。如在医学图像中检测非正常组织部分，又如检测遥远星体表面细节内容等应用，都需要在清晰的高质量图像上进行处理，否则将得出没有实际意义的处理结果。 图像的模糊过程可以看作是图像与模糊核的卷积作用过程，因此，图像去模糊可以说等效于图像的去卷积（逆滤波）操作。在六十年代中期，去卷积开始被广泛地应用于数字图像去模糊处理2。1.2.2 数学模型 Real scene Blur effect ObservationhxyNoise n 图1.1 图像降质的模型图像降质是诸多因素在图像成像或传输过程中,复合影响而产生的结果，这是一个正向的问题。图像的模糊过程则可视为:，如图1.1所示，其中为模糊因素，常称为点扩展函数。图像复原的要求是从降质图像中复原出原始的清晰图像，显然，它是降质的逆过程，是一个病态（或称非适定）的反问题。从数学上讲,图像去卷积问题的处理不简单,具有相当的难度,不论是点扩散函数已知还是点扩散函数未知。1923年，法国数学家Hadamard提出了良态（适定性）的概念，根据他的定义，一个问题是良态的，如果（i）问题的解是存在的；（ii）解是唯一的；（iii）解连续依赖于数据。如果三个条件中任意一个不能满足，则称问题是病态的或不适定的7,8,9。对病态反问题的求解，有两个关键点需要处理，一个是需要从病态问题的不稳定的多解中，得出稳定的单一解；另一个是尽可能地得到原始病态问题的最优近似解。解决这两个关键问题的技术是：在求解过程中增加合适的约束条件，将病态问题的求解变换成求解良态问题，以该良态问题的解近似逼近原始病态问题的解。正则化方法则是其中的一种比较常用且有效的处理方法。 因为数字记录的图像是有限离散数据组，因此图像的去卷积问题可以建模为矩阵求逆的问题。不失一般性，假设记录的数组大小为。是一个的样本数组，这些样本来自均值为零、方差为的加性高斯白噪声（AWGN）。给出的阵列y和x分别代表观察得到的图像和原始图像。矩阵去卷积问题可以表示为： （1.1）其中y，x和是代表y，x和数组的列向量，H是代表模糊算子的的矩阵。当H为块循环矩阵时，问题可以描述为： （1.2）其中，代表循环卷积，h代表线性时不变空间的点扩展函数（PSF）。在离散傅里叶变换域，公式（1.2）可以写为： （1.3）其中，和分别是y,h,x和的二维离散傅里叶变换，。这个系统的条件由H的最大和最小幅值之比决定。通常，包含了在零点或者零点附近的值，这些值会使得系统出现病态。即： 如上所述，可能含有零值，且处于分母位置，因此必须避免这种情况。因此我们使用来代替，其原理如下： （1.4）分母上加上一个小的常数（正则化参数），从而避免分母为零的情况。那么在傅里叶域的图像估计就可以由下式给出： （1.5）其中。上述类型的正则化通常叫做Tikhonov正则化。当PSD（Power Spectrum density）的估计可以通过10中的方法计算出来时，那么基于维纳算法的正则化可以通过下面的式子实现： （1.6）其中，是当时图像的PSD估计。 经过正则化以后，噪声并未消除，因此还要对含噪图像进行去噪。去噪方法主要分为空域去噪方法和变换域去噪方法，在此主要介绍变换域去噪方法。图1.2 基于变换的图像去噪方法示意图 图1.2给出了基于变换的图像去噪算法的去噪示意图，整个过程主要包括以下三步：（1）对含噪图像进行变换得到含噪图像的变换系数；（2）利用阈值函数（也称为收缩函数）对变换系数进行处理，得到修改后 的变换系数；（3）对修改后的变换系数利用逆变换得到去噪后的图像。在上述过程中，阈值函数的选择是去噪算法的核心问题。基于小波变换，Donoho和Johnstone开创性地提出了硬阈值函数和软阈值函数两种去噪方法，给出了一种通用阈值，并从渐近意义上分析了去噪方法的最优性。硬阈值函数是一种对大系数进行保留，对小系数进行“扼杀”的处理策略，软阈值函数则是对大系数进行收缩，对小系数进行“扼杀”的处理策略，由软阈值函数所得去噪图像的视觉效果通常要好于硬阈值函数。但是，由于软阈值函数对代表图像重要信息的变换系数进行了收缩处理，这使得其估计的偏差较大，且重构后的去噪图像往往会出现过平滑现象，丢失了图像中的许多细节信息，从而导致去噪后图像的峰值信噪比较低。1.2.3 图像去卷积算法的研究现状 对于图像去卷积的研究，可以追溯到二十世纪六十年代，著名的应用包括阿波罗登月和火星表面的探测等，发展至今，已经出现各种处理思想与模型。复原过程一般是先建立某种数学退化模型，然后依退化模型并尝试利用已退化图像的某些先验信息进行退化图像的恢复。模糊与噪声是图像退化两种最常见而重要的类型7。 对于模糊图像的复原，现在已经出现了多种方法，逆滤波方法11是较早出现的去模糊算法，这种算法假定模糊图像不存在噪声干扰，直接利用退化模型做逆运算得到复原的清晰图像，但是实际的模糊图像中往往带有噪声干扰，而逆滤波方法在噪声存在时效果较差；Helstrom 提出了最小均方误差滤波12，即维纳滤波，方法建立在认为图像和噪声是随机过程的基础上，而目标是找一个未污染图像的估计值，使它们之间的均方差最小，这种方法说明了如何处理噪声，但是需要知道图像较多的先验知识；Richardson 和 Lucy13,14在原图像符合泊松分布的假设提前下提出了Lucy-Richardson（L-R）算法，目前已被广泛应用于图像修复中，但是由于对噪声的敏感性，使得修复后的图像中存在明显的振铃效应；Chan等15,16提出了基于变分法和偏微分方程（PDE）的TV（Total Variation）盲去卷积模型，通过交替迭代算计算模糊核与理想图像，利用模型中的正则化项来抑制复原过程中的振铃效应，但引入的 TV 模型不符合图像形态学分布，导致对图像的纹理区域会产生错误的抑制；Krishnan与Fergus17在分析了自然图像梯度的超拉普拉斯（Hyper-Laplacian）分布，修正了TV 模型中的正则化项从而有效地克服了TV模型在抑制图像振铃效应中存在的不足。近年来，Bayes分析、变分法、正则化方法、小波等技术应用到图像去模糊中，使图像去模糊效果不断得到改善。 2009年，由美国马里兰大学的Vishal M.Patel博士18等人提出了与广义交叉验证（GCV）相结合的基于剪切波变换的去卷积算法，2012年加拿大阿尔伯塔大学的Amirhossein19等人提出了另一种与维纳滤波相结合的基于剪切波变换的去卷积算法。2013年，Wang-Q Lim20提出了离散不可分离剪切波变换（DNST，discrete nonseparable shearlet transform），其在图像去噪、图像修复甚至是3D视频去噪方面都体现出卓越的性能。 目前，虽然国内高校研究剪切波应用的学者仍在少数，但是近几年来还是涌现出了不少优秀的研究成果。例如，上海大学的郭强博士3曾经在其2010年的博士论文中完整地阐述了基于剪切波的去模糊方法，郑州大学的曲艳21于2012年提出了基于剪切波变换的人脸表情识别技术，这是一项应用价值极高的技术，郑州大学的张红22于2013年提出了在贝叶斯框架下基于剪切波的去模糊算法。相信剪切波会在我国呈现出更加迅猛的发展势头，为数字图像处理领域带来更丰富的研究成果。1.2.4 评价方法 图像的质量包含有两个方面的含义，一是图像的逼真度（image fidelity），另一是图像的可理解度（understandability）。在图像复原中强调图像的逼真度，它描述了被评价图像与原图像或标准图像的偏离程度。退化图像经复原算法处理后，得出对原图像的估计。估计图像对原图像的逼真度衡量了估计图像的质量和复原算法的优劣。图像质量的评价可以从主客观两个角度来描述。主观评价更多地考虑了人眼的视觉特性，掺杂了人的心理、经验和习惯意愿倾向，多是对图像质量的定性评价或可用统计来计算。然而，客观评价是对复原方法的定量度量，它用计算退化或模糊图像与原图像的偏差来衡量估计图像质量。1. 传统的客观评价方法图像质量的客观评价，长期以来使用最为广泛的是采用统计误差的方法。目前，常用的客观评价方法有以下三种23：（1）均方误差（MSE）:设图像的大小为，则均方误差定义为 （1.7）（2）峰值信噪比（PSNR） （1.8）（3）改进信噪比（ISNR） （1.9） 上述三种客观评价方法，都只是从统计的角度来度量复原图像与原始图像对应像素间存在的误差，其评价结果并不一定跟人眼视觉相符合。2. 基于图像结构相似性的评价方法 结构相似性（Structral Similarity:SSIM）索引24是一种测量两幅图像间相似性的方法。SSIM索引是一种全参考度量，换句话说，图像质量的测量是基于原始无压缩或者无变形的图像的。传统的图像质量表示方法，如峰值信噪比（PSNR）和均方差（MSE），它们对图像质量的表示机制与人类视觉感知不一致，而SSIM的提出解决了这一矛盾问题。 假设两幅进行比较的图像X和Y，结构相似性测量通过X与Y间的三个相互独立的比较来实现的:一是光度比较;二是对比度比较;三是结构比较。其中，光度比较定义为: （1.10） 式中，是一个常量，避免上式分母中的接近0时给系统造成的不稳定性影响。是一个常量。L表示图像灰度的范围（灰度图像即为255）。对比度比较则定义成为： （1.11）式中，。结构比较定义成为： （1.12）式中，。最后，可通过如下公式来定义SSIM的计算 （1.13）式中，是非负参数，主要用以调整三项之间的比例关系，在文献24中作者设定，均为1，同时设，那么式（1.1）则演变成: （1.14） SSIM是一个属于（0,1）间的实数，SSIM的值为0意味两幅图像间没有任何相似性，值为1则意味着两幅图像完全相同。利用这种方法能有效地比较两幅图像的相似。SSIM通常是将图像划分成若干个小块进行计算的，在实际上，需要针对整个图像进行计算，因此得到如下修改的SSIM： （1.15） 在图像复原算法中，如果实验是在已知的未受噪声或模糊影响的图像基础之上，通过实验手段在图像中加入噪声或模糊处理，那么在图像复原之后，会产生复原结果图像。在这种情况之下，可以计算出原始的理想图像与复原结果图像之间的MSSIM索引值，该MSSIM值的大小则可反应出复原结果的逼真程度。我们后面的大部分实验都是在这种情况下进行的，因而可以利用MSSIM值来衡量复原结果的保真程度。利用不同复原算法针对同一类图像进行复原处理，通过所计算得到的MSSIM索引，可以反应出不同算法之间的优劣，即获得了较大MSSIM索引值的复原算法，是优于MSSIM索引值较小的算法的。1.3 本文主要工作和章节安排 在本章中介绍了选题背景和意义，详细地推倒了图像去卷积的数学模型，并介绍了国内外研究概况以及图像复原评价的指标。 全文余下章节的主要内容及安排如下： 第二章详细阐述了剪切波变换的理论基础和离散实现方法。首先，对连续剪切波的构造机理及剪切波基函数的性质进行了分析；然后，介绍了一种新型的剪切波离散化方法离散不可分离剪切波变换（DNST），并将其与离散可分离剪切波变换（DSST）作比较，分析其优势。第三章在现有的基于剪切波变换的去卷积算法基础之上，提出了一种基于傅里叶-DNST的图像去卷积优化算法，并仿真分析了算法性能和一些重要参数对于图像恢复的影响，并与维纳滤波和ForWaRD两种经典算法进行了比较。第四章是在第三章的基础之上，对算法的正则化部分进行了改进，提出了一种将目前较为先进的直接去卷积方法LPA-ICI与DNST相结合的算法，并进行仿真与分析，验证算法的可行性。 第五章是对全文内容的总结，并对本人今后的研究工作进行了展望。2剪切波变换理论2 剪切波变换理论小波变换能够高效地对一维分段连续信号进行稀疏表示，特别是能够很好地表示信号中的点状奇异。然而，在高维空间中通常会出现其他类型的奇异性，由一维小波所生成的高维小波不能很好地处理这些奇异性。为了克服传统小波的缺陷，近年来学者们提出了许多新的图像表示方法，包括楔形波、曲线波、轮廓波、复小波以及条带波等，其中以曲线波影响最广。然而，曲线波和多分辨理论没有直接关联，这使得曲线波的离散实现非常有挑战性。此外，在频率空间中曲线波是隔层细分的，这在一定程度上也影响了它对图像稀疏表示的性能。Guo及其合作者于2007年通过特殊形式的具有合成膨胀的仿射系统构造了一种接近最优的多维函数稀疏表示方法：剪切波变换。与曲线波不同，剪切波具有简单的数学结构，它可以通过对一个函数进行伸缩、平移、旋转而生成一组基函数，这使其可以和多分辨分析关联起来。剪切波变换不仅具有与曲线波相同的接近最优的非线性误差逼近阶，而且在频率空间中剪切波是逐层细分的，这使其具有更好的性能。2.1 剪切波的定义及离散算法首先介绍Hilbert空间中框架的基本定义。定义1：在Hilbert空间中的一个序列叫做一个框架，如果存在常数，那么对于所有的信号有：框架的概念保证了当被分解为框架系数以后可以稳定重构。与框架相关的主要算子就是框架算子：总体来说，信号可以根据如下的重构公式从它的框架系数中恢复出来： （2.1）框架的N阶逼近可由指标集给出，与在幅度上的N个最大框架系数有关： 有了上述表述系统的总体概念，我们就可以定义剪切波系统了。定义2：对于和，定义，同样地，令。对于，我们定义： 然后，由尺度函数和剪切波生成的离散剪切波系统可以定义为：其中 剪切波系统的一个主要特点就是其方向性是依靠剪切矩阵达到的，它不仅提供了方向性，而且使得整数网格保持不变。事实上，这种不变性使得剪切波变换可以在连续域和数字域统一数字化。下面的定理为剪切波算子和产生框架提供了充分的条件。定理1：令，使 （2.2）对 于 正 常 数 ，有 。 定义，另假设存在一个正常数使得 （2.3）那么即存在一个采样参数使得剪切波系统可以形成一个框架。 （a） （b）图2.1 在空域和频域的剪切波：（a）（b）值得注意的是，有很多紧支撑函数满足条件（2.2）。尤其是，我们可以选择一个紧支撑小波作为剪切波算子。这种选择可以保证（2.1）式从剪切波系数中的平稳重构，并且是充分光滑的，且具有足够的消失矩。图2.1所示为剪切波的频域覆盖，除了低频部分，剪切波覆盖了全部的频率平面。低频部分是由尺度函数像小波系统那样覆盖的。如图2.1（a）所示，的支撑覆盖了水平锥的区域。在这种情况下，由于剪切参数满足 并 且，因此覆盖的角度在和之间。相似地，如图2.1（b）所示，的支撑覆盖了垂直锥的区域。值得注意，剪切矩阵和在对旋转给出方向性时表现相似。2.2 离散不可分离剪切波2.2.1 剪切波算子的离散化在这一部分中，将会给出一种计算剪切波系数的快速算法，重点说明剪切算子是如何适应于数字域的。首先，定义的离散时间傅里叶变换为：对于，使。使和为小波，一个相关的尺度函数满足下面两个尺度等式： （2.4） （2.5）那么小波就定义为：对于，令和为下列三角多项式的傅里叶系数： 和 （2.6）。假定，那么小波系数可以通过下面的离散公式计算： （2.7）其中，。尤其是当是一个标准正交尺度函数时，有： （2.8）由（2.7）式和（2.8）式给出的离散小波变换将连续域的小波变换和离散域的滤波器组结合起来，这样的结合使得起初定义在连续域上的小波变换得以用基于滤波器组的快速算法计算出来。这样的结合是由多分辨分析建立起来的，使得小波在许多领域的影响逐渐扩大。在这一部分中，我们将介绍连接连续和数字剪切波变换的一种快速算法。我们只考虑用于水平锥的剪切波，也就是属于。同样的步骤除了改变变量的顺序以外，均可以用于计算垂直锥的剪切波系数，也 就 是 属 于。首先我们选择尺度函数和小波，和。 ， （2.9）其中。的选择满足（2.2）式，能够保证产生的剪切波框架中和是充分光滑的，并且有足够的消失矩。我们假设 （2.10）其符合下式： （2.11）假设为整数，式（2.11）阐述了如何在数字域计算剪切波系数：把和各向异性采样矩阵有关的小波变换应用到数据的剪切版本。因此，主要的任务就集中于如何使剪切波算子离散化，它可以提供在离散域的计算，接下来重新定义离散剪切波算子：从：由定义。这其中一个主要的问题是剪切矩阵不能保留，也就是。为了解决这个问题，我们用一个因子沿着水平轴修正。有了这种修正，剪切波算子可以使得新的保持不变，因为，这表明剪切算子在修正以后的格点上可以被很好地定义，这就给予自然的离散化。由这个简单的准则，我们可以采用如下的步骤从采样数据中计算出采样值。步骤1： 对于给定的输入数据，通过因子把1D上采样算子 应用到水平轴上；步骤2：沿着水平轴对上采样输入数据和1D低通滤波器做1D卷积， 得到；步骤3：根据剪切采样矩阵重新采样得到；步骤4：对和做1D卷积，接着沿着水平轴用因子做1D下采 样。这里的低通滤波器在式（2.6）中做了定义。在步骤1-2中，我们基本上在下不变的修正格点上计算了，是从得到的内插采样值。注意在上，剪切算子变成了，这就要求需要通过被重新采样。令，和分别为沿着水平轴的上采样、下采样和卷积算子，现在定义在步骤1-4中计算的离散剪切波算子。对于，定义： （2.12）其中。下面开始分析剪切算子和相关的离散剪切算子之间的关系，考虑下面的例子：设，通过设置离散化从而得到函数。对于固定的剪切参数，把剪切波变换应用到从而得到剪切波函数。接下来，通过离散化这个函数。当时，函数和如图2.2所示。我们现在把问题集中在整数集在剪切波矩阵下并非不变上，这阻止了采样点，位于整数格点，这将导致如图2.3（a）所示的数字化图像发生混叠。为了避免这种混叠效应，格点需要沿着水平轴用因子4进行修正，接着在修正的格点上计算采样值。 （a） （b） 图2.2 （a）原始图像 （b）剪切图像 （a） （b） （c） 图2.3 （a）混叠图像的DFT；（b）;（c）的DFT 更广泛的说，当剪切波系数为时，就可以用因子沿着水平轴修正格点从而避免混叠效应，然后就可以在这个修正的格点上计算内插采样值。这就保证了格点上对于任意的都包含有采样点，其通过剪切算子保留。这个过程与数字剪切波算子的应用完全一致。最后，我们来解释离散剪切波算子如何在离散域中计算剪切波系数。首先定义如下的2D可分离小波滤波器： （2.13）其中1D滤波器和在式（2.6）中做了定义。定理2：和在（2.9）式定义，假设在（2.10）式中给出，然后就可得到 （2.14）其中，。在这里，我 们 需 要 选 择使得。当是标准正交的尺度函数并且时，式（2.14）就变为2D离散小波变换，它是（2.8）式的2D形式。同样地，如果我们像低通滤波器那样去掉，那么（2.14）式就可以变为 （2.15）这就很自然地把式（2.8）中的离散小波变换扩展到了用离散剪切波算子计算剪切波系数中。注意式（2.15）是通过下列两个基本的离散化步骤来计算数字域中（2.11）式的剪切波系数：1）是通过与公式（2.4）和（2.5）有关的小波滤波器进行离散化的；2）剪切波算子是通过进行离散化的。2.2.2 离散不可分离剪切波 尽管式（2.9）中的可分离剪切波算子生成了一个剪切波框架并且简化了实现过程，但是剪切波算子的选择对于方向表述来说并不是一个好的选择。图2.4（a） 展示了由可分离函数生成的剪切波是如何覆盖2D频域的。由于剪切波算子的可分离性，在supp和supp之间存在交叠。事实上，这使得框架界之比很大。另一方面，如图2.4所示，利用剪切和尺度算子，楔形支撑不仅能够完好的覆盖频域范围，同时也能够提高方向选择性。Wang受此启发，提出一种不可分离剪切波算子，它不但能够提供更好的框架界，而且具有更好的方向选择性。下面介绍不可分离剪切波算子： （2.16）其中三角多项式P是一个2D扇形滤波器。满足式（2.2）并且由定理1可知不可分离剪切波算子能生成一个剪切波框架。其中对于，扇形滤波器P满足，这反过来定义了通过设置生成的剪切波，其中一个采样矩阵，和是用于变换的采样常数。 （a） （b）图2.4 剪切波和的频域覆盖（a）可分离算子（b）不可分离算子接下来，对于式（2.10）中给出的函数，我们介绍计算剪切波系数的离散公式。在此，我们只讨论与和相关的剪切波系数，相同的步骤除了需要改变变量和的顺序以外，同样可以用在计算与和相关的剪切波系数中。首先，需要指出离散算法式（2.15）的一个主要缺点就是上采样数据需要滤波，这就要求对每个剪切参数和尺度参数有额外的计算量。为了避免额外的计算量，现在用代替公式（2.11）从而使得剪切算子可以直接用于剪切波。使用公式（2.13）和（2.16），我们有其中是由给出的2D扇形滤波器的傅里叶系数。这就通过定义了的离散化。通过使用离散剪切算子，现在就可以定义数字剪切波滤波器了，它可以使得最初在连续域定义的离散化。 （2.17）对于，与不可分离剪切波算子相关的离散不可分离剪切波变换（DNST）由下式给出： （2.18）在式（2.17）中，如果用可分离滤波器代替，就得到了由可分离剪切波算子生成的剪切波，那么式（2.18）中与可分离滤波器相关的离散变换就成为离散可分离剪切波变换（DSST）。在所有情况中，剪切波滤波器可以预先计算，这样一来式（2.18）就可以基于2D FFT从而被高效计算出来，另外在计算离散剪切算子时也不需要额外的计算代价。实验表明当DNST和DSST在根据支撑的尺寸选择滤波器时，DNST能够得到更好的框架界。除此之外，由不可分离剪切波算子生成的剪切波的一个主要优点就是扇形滤波器在频域的每个尺度上都提高了方向选择性。通过设置和，DNST就变为与剪切波滤波器的2D卷积，这是一个移不变线性变换。正如先前说明，数字剪切波滤波器也可以通过改变变量的顺序得到。最后，定义可分离低通滤波器为，令 （2.19）如果在式（2.18）中，那么二元剪切波滤波器就可以很容易地计算出来， ， （2.20）接下来就可得到重构公式 （2.21）这样重构公式就由剪切波的框架特性被完整地定义出来。2.2.3 复杂度计算 命题：离散不可分离剪切波变换的计算复杂度为 证明：根据卷积定理，公式（2.18）可以通过与共轭数字剪切波滤波器相乘计算出来，这就表示分解和重构算法都减少为快速傅里叶的乘法运算，因此其复杂度为，其中是特定离散剪切波系统的冗余度，也就是滤波器的数目。2.3 本章小结本章引入了一种新型剪切波变换-离散不可分离剪切波变换（DNST），系统地描述了其数学理论以及推导过程，从理论上清晰地阐述了这种新型剪切波变换相较于其他类型的剪切波变换具有更好的方向选择性和框架界。基于傅里叶-剪切波变换的图像去卷积算法3 基于傅里叶-剪切波变换的图像去卷积算法3.1 基于傅里叶-DNST的图像去卷积算法3.1.1 引言 在很多去卷积的问题中，使用单一变换收缩的处理通常得不到良好的估计，因为没有单一的变换域既能够表示任意模糊造成的有色噪声，又能够表示任意平滑的信号25。而ForWaRD（Fourier-Wavelet Regularized Deconvolution）算法使用傅里叶变换与小波变换联合去卷积的方法，克服了上述限制，而且为各种去卷积问题中鲁棒性的解决提供了方法，具有重大意义。下图是ForWaRD算法的系统框图：图3.1 ForWaRD算法的系统框图 ForWaRD算法26简单来说就是在傅里叶域选取收缩参数，利用正则化的方法从模糊图像中估计出含噪图像，接着在小波域选取阈值参数，利用软硬阈值法或者是维纳滤波法去除噪声从而得到对原始图像的估计（原始图像表示为）。因此在这类算法中阈值和收缩参数的优化选择是影响去卷积性能的关键。受到ForWaRD方法的启发，2009年美国马里兰大学的Vishal M.Patel博士18等人提出了基于剪切波变换的去卷积算法，该算法首先将模糊含噪图像通过剪切波变换分解到各个尺度上，通过使代价函数最小化可以得到每个尺度上最优的正则化参数，将其代入正则反算子进行傅里叶正则反变换以达到去模糊的目的，然后在噪声收缩过程中使用广义交叉验证的方法（GCV，generalized cross validation）选取最优的阈值，GCV方法的优点是即使不明确噪声方差，也可以根据数据进行自动调整从而得到最优的阈值，之后再进行剪切波合成反变换即可得到最终的估计图像。 在上述算法的基础上，2012年加拿大阿尔伯塔大学的Amirhossein19等人提出了另一种基于剪切波变换的去卷积算法，该算法首先对整幅模糊图像使用傅里叶正则化去卷积，从而得到含噪估计，再次进行剪切波分解得到剪切波系数，在剪切波域，噪声的去除既可以通过阈值收缩也可以通过使用维纳滤波器，为了得到更好的效果，可以同时使用上述两种方法。2013年，Wang-Q Lim20提出了离散不可分离剪切波变换（DNST，discrete nonseparable shearlet transform）。尽管之前的可分离剪切波变换简化了实现的步骤，但是它的产生函数对于方向性的表述并不是最优的选择。而不可分离剪切波变换的频域支撑不仅提供了更好的框架界，也提供了比离散可分离剪切波变换更好的方向指向性。文中的实验数据表明，离散不可分离剪切波变换在2D图像去噪、图像修复甚至是3D视频去噪方面都体现出卓越的性能。3.1.2 本文提议的改进去卷积算法描述虽然上述两种基于剪切波的去卷积方法相比于ForWaRD已经有了很大提高，但是仍然存在以下的一些问题：1 GCV方法虽然省去了估计噪声的步骤，仅依赖于剪切波系数进行优化，但是它并不是最优的。因为GCV选择的只是输入数组值中最优的阈值，但对于含噪图像本身来说也许并不是最优的。即它的准确性依赖于输入数组的质量。并且输入的数组长度越长，它循环的次数就越多。2 同理，通过把一组常数代入代价函数，使代价函数最小化选取一个合适的正则化参数，其准确性也依赖于输入数组的质量。对于不同图像，即使加入了相同的模糊函数和噪声，最优的正则化参数也会相差很多。3 上述两种算法所使用的离散剪切波的方向选择性均不如DNST，影响了图像重构的效果。本文将结合上述两种算法的优点以及新型剪切波变换DNST，提出一种改进的去卷积算法，解决上述缺陷。 下图是本章改进算法的系统框图。图3.2 基于傅里叶-DNST的图像去卷积算法框图首先，我们对整幅图像进行傅里叶正则去卷积。在这一部分中最重要的就是选取一个合适的正则化参数，它直接关系到图像去卷积的质量。因此，本文的正则化参数选取采用文献19中的方法，即将式（1.4）中的值设置为： （3.1）其中是一个参数，n是图像尺寸，是噪声方差，是模糊算子的L1-范数，y即前面提到的模糊图像，表示均值。因此，正则化参数的选取就转化为的选取。并且由式中可以看出，正则化参数的选取可以依据具体的模糊图像选取，具有适应性。进行正则化之后，图像的模糊现象已经基本消失，接下来要对加性高斯白噪声进行处理。我们使用DNST将含噪图像进行分解，然后使用阈值函数对有色噪声进行收缩。值得注意的是，在正则化过程中，噪声并非保持不变，其在傅里叶域与相乘之后被放大，因此必须对噪声重新进行估计，获取新的噪声方差。在本文中，我们使用文献19中提到的噪声估计方法，即把分解到剪切波的各个尺度和方向上进行估计。将得到的噪声标准差带入阈值函数，对噪声进行收缩。 3.2 各类去卷积算法仿真与结果分析3.2.1 基于DNST的图像去噪算法仿真与分析 首先，我们将在仅存在噪声的情况下，用大量的实验来验证DNST在图像去噪方面的优势。在实验中，对于我们使用Symmlet 8抽头小波滤波器，使用最大平坦扇形滤波器。另外，我们使用两种类型的4尺度DNST1和DNST2，对于DNST1，在各个尺度上依次有8，8，16，16个方向，对于DNST2，在各个尺度上依次有4，4，8，8个方向。 使用加性高斯白噪声对图像进行加噪处理。我们将DNST、DSST（ the Discrete separable shearlet transform）与其他方向变换相比较，比如快速离散曲波变换（FDCT）、非下采样轮廓波变换（NSCT）、平稳小波变换（SWT）。同时，DNST也将于其他剪切波变换进行比较，比如非下采样剪切波变换（NSST）和离散剪切波变换（DST）。为了使对比简单一些，我们使用和文献20中同样的硬阈值处理法，下列参数的选取也与文献20一致。对于每个尺度，我们选择阈值参数为： （3.2）其中是高斯噪声的标准差，对于所有的方向性变换NSCT，NSST，DST，DSST，DNST1，DNST2，当=0,1,2时我们选择=2.5，当=3时我们选择=3.8。对于SWT，当=0,1,2时我们选择=3，当=3时我们选择=4。如图3.3和表3.1所示，剪切波变换无论是在视觉效果还是PSNR值都要优于其他的去噪算法。它对含噪图像的处理更加精确，能保留更多的细节和边缘。当噪声强度逐渐增强时，DNST1要比DNST2的去噪效果更好。图3.4是当boat图像取不同噪声强度时，使用四种不同的变换（NSCT、SWT、FDCT、DNST1）分别进行去噪的对比，从图中可以看出，DNST1在任何时候PSNR值都是最高的。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）图3.3 使用不同变换进行图像去噪的结果。（a）含噪图像（=30）；（b）FDCT（27.72dB）；（c）NSST（28.65dB）；（d）NSCT（28.61dB）；（e）SWT（27.27dB）；（f）DNST1（29.02dB）。表3.1 PSNR results in dB for different denoising algorithmsLenaBarbaraPeppers102030401020304010203040NSCT35.4332.3530.5129.1733.0729.1627.0125.5433.9931.5729.9728.73SWT34.5231.0529.0027.5731.9627.5725.3624.0533.4830.6728.6927.32FDCT34.0031.3129.5428.2429.1425.6224.5824.0232.6029.9328.4527.43NSST35.5032.5730.7129.3132.9729.4527.3125.8434.1231.8630.2328.98DNST135.9432.7530.86