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本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、 设 f ( x 0 )0 ， f ( x 0 )0 ， f(x 0 ) 存在 ，且 f( x 0 )f (x 0 )1,则 （）2、 函数 yf ( x ) 在点 xx 0处连续且取得极大值，则 f (x ) 在 x 0 处必有 （）3、 yxex的凸区间是（）4、在区间 -1 ，1上满足罗尔定理条件的函数是（）sin x2(A) f ( x)(B) f (x )(x1) 2(C) f (x )x 3(D) f ( x)x 21x5、设 f (x)和 g (x)都在 x=a 处取得极大值， F (x)=f (x)g (x) ，则 F(x)在 x=a 处（）(A) 必取得极大值(B) 必取得极小值(C)不取极值(D) 不能确定是否取得极值6、使函数 y3x 2 (1 x 2 )满足罗尔定理的区间是 （）(A) -1,1(B) 0,1(C) -2,2(D)3 ,4 557、 yx e2 x 的凹区间是（）(A) (,2)(B)(,2)(C)(1，)(D)( 1，)8、函数 f ( x ) 在 xx 0 处连续，若 x 0 为 f (x) 的极值点，则必有（） (A)f( 0 )0(B)0)0(C)f0)0或0)不存在(D)0不存在xf (x( xf (xf ( x )9、当 a= ()时， f(x)asinxsin3x在 x3处取到极值 （）3(A) 1(B) 2(C)3(D) 010、使函数 f (x )3 x 2 (1x 2 )适合罗尔定理条件的区 间是 （）11、 若 x 0， f (x 0 )为连续曲线 yf (x) 上的凹弧与凸弧分界点，则 （）二、填空题x 21、曲线 ye8的凸区间是 _ _ 2、 函数 yx 2 x 的极小值点是 _ _ 3、曲线 yex的凸区间为_ 3x4、函数 （f x）x3x 在0,3 上满足罗尔定理的条件， 由罗尔定理确定的罗尔中值点1本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！5、设曲线 ya x 3bx 2 以点（ 1， 3）为拐点，则数组（ a，b）6、函数 yx 33x1在区间 2,0上的最大值为，最小值为7、函数 yln sin x 在 ,5 上的罗尔中值点=668、 yx1在区间 1，3 的拉格朗日中值点 = _9、 函数 yx 2 x 的极小值点是_ _ 10、 函数 yx2x 的极小值点是 _ 。11、 y x1x， 5x1 的最小值为12、 yxx的单调减区间是13、 yxarctanx在且仅在区间 _上单调増14、函数 f(x) x2cosx 在区间 0 , 上的最大值为215、函数 y 2x 3x 24x3的单调减少区间是16、已知点（ 1， 3）是曲线 yax 3bx 2 的拐点，则 a=， b=17、 f (x )2 exex的单调递减区间为.三、计算题1、 求函数 yx 36x 29x4 的极值和单调区间 。2、求极限 lim (1x) ln xx1x13、求函数 y 2x3x 24x3 的单调区间、凹凸区间、拐点4、设常数 k0，试判别函数 f ( x)ln xx内零点的个数k 在 0,3 x 2e5、求函数 yx 36x10 的单调区间和极值。112) 6 lim (ex-1x 0 x7 求函数 y54x 在 1, 1 上的最大值与最小值 ln x8求曲线 y的单调区间和凹凸区间 .9. 求曲线 y 2x3 x2 4x 3的单调区间和凹凸区间 . 10求函数 y xe x 图形的凹凸区间及拐点2本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！xt 2的拐点 .11、 求曲线 3tt 3y12、求函数 y x 36x 29x4的单调区间、极值、凹凸区间和拐点13、 求函数 y2x 36x 218x27 在 1，4 上的最大值、最小值 14、 讨论函数 f(x)ln (1x 2 )的单调性和凹凸性15、讨论函数 f (x )ln x的单调性和凹凸性x16、 求曲线 yln(1x2 ) 的凹凸区间和拐点17.求函数yx48 22在区间1,3上的最大值与最小值x18.求函数 yx33x1在区间 -2，0上的最大值和最小值19.试确定常数 a、b 、 c的值，使曲线yx 3ax 2bx c 在 x= 2 处取到极值，且与直线 y3x 3相切于点（ 1 ， 0）四 . 综合题 (第 1-2 题每题 6 分，第 3 题 8 分，总计 20 分)1证明：当 x (0,) 时， x (sin x)(cos x)22、当 x0 时，1 x ln ( x1 x 2 )1 x 2 3、证明： arctan xarc cot x24、设(x) 在 0,1上可导， f(x) (x 1)( x) ，求证：存在 x 0(0，1)，使 f (x 0 )(0) 5、 试用拉格朗日中值定理证明：当ab0 时， a bln aa b abb6 、 证明：当 x0 时， ln(1x)arctanx 1x7、 证明：当 x0 时,xln(1x ) x 1 x8、证明：当 x0 时，有 1+ 1 x1x 2x 3sin x 9、证明当 x 0 时， x610、 证明：若 x 0，则 l n ( 1 x )x1x11、 证明：当 xx2ln(1 x)1时， x23本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！12、证明：多项式 f ( x)x33x1 在 0，1 内不可能有两个零点13、证明当 x1时，2x31 .x14、 证明：当0 x时 x sin x cosx2答案：一、选择1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、 B10、A11、 A二、填空1、 2,22、 x1ln 23、,33,24、25、39,226、2,17、238、 1219、ln 2110、ln 211、56112、 x413、-1414、36215、 在（1，）上单调递减316、3 , 92217、（， 1 ln 2)2三、计算题1、解：令 y 3x212x 9 3( x 3)( x 1)0, 可得驻点： x1 1, x2 32 分4本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！列表可得函数的单调递增区间为 (,1)(3,) ，单调递减区间为 (1,3)5 分极大值为 y |x 10, 极小值 y |x347 分2、解：原式 lim x1x ln xlimln xlimx ln x16 分x 1 ( x 1)ln xx 111 x 1 ln x x 12ln xx3、解：令 y6x22 x42(3x 2)( x1)0, 可得驻点： x11, x222 分3列表可得函数的单调递增区间为 (,1)2) ，单调递减区间为(2)4 分(,1,1 .33又令 y12x20 得 x35 分6所以凸区间为 (,1) ,凹区间为 (1 ,) .拐点为 (1,319).7 分666274、解： f ( x)111 分xe当 x(0, e) 时 ,f ( x)0, 所以 f (x) 在 0, e 上单调增加 ;2 分又 f ( e)k 0 ,x 充分接近于 0 时 ,f (e) 0 ,3 分故 f ( x) 在 (0, e) 内有且仅有一个零点 .4 分同理 ,f (x) 在 ( e,) 内也有且仅有一个零点 .6 分5、解：解 y3x23x6 3( x2)( x1)0, 可得驻点： x11,x2 22 分列表可得函数的单调递增区间为 (,1)(2,) ，单调递减区间为 (1,2)5 分极大值为 y |x 127 , 极小值 y |x 207 分26、解：原式limexx12 分xexxx 0 limex14 分ex1x0 xex limex16 分2ex2x0 xex7、解 ： 当 x 单调增加时，函数 g( x)54x 单调减少，所以函数 y( x)54x 也是单调减少。2 分在区间 1,1函数 y( x)54x 是单调的减函数。5本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！所以当 x1 时，函数取得最大值 yymax3 ；4 分所以当 x1 时，函数取得最小值 yymin1。6 分8、解 ： y1ln x , 令 y 0 ，于是 xe 。x2当 0xe 时， y0 ，函数单调增加；当 ex 时， y0 ，函数单调减少。2 分所以函数的单调增区间为：(0, e) ；函数的单调减区间为： (e,) 。4 分而 y2ln x 3 , 令 y30 ，于是 xe2 。5 分x333函数的凸区间为： (0, e2 ) ；函数的凹区间为： (e2 ,) 。6 分9、解： 因为y6x22x42( x 1)(3x2) ，所以令 y0, 得到 x11,x22 。2 分32函数的单调增区间为：(, ； )1),(23函数的单调减区间为：(。)4 分1 ,3又由于y12 x2 ，于是函数的凸区间为： (,1);6函数的凹区间为： (1 ,) 。6 分10、解：因为：6yexx xx e, y ( x 2 )，e2 分令 y0, y0 ，得到：y11,y22 。所以函数的单调增区间为：(,1)，函数的单调减区间为： (1,) 。4 分6本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！函数的凸区间为：(,2) ，函数的凹区间为：(2,) 。函数的拐点为： (2, 2e 2 ) 。6 分11、解： dy33t 2,d 2 y3(t 21) 3分dx2tdx 24t 3令d 2y3 ( t 21 )0 得 t11, t2 1 从而得曲线的可能 拐点 为dx24 t 3(1, 2) 和 (1,4) ，又二阶导数在该两点左右异号。所以(1,2) 和 (1, 4) 为曲线的拐点6 分12、解： 令y3x 212 x 93(x 1)( x3) 0, 得 x 11, x23.令 y 6x120,得 x32.3 分列表如下xx=1(1, 2)x=2(2, 3)x=3+0-0+-0+y=f(x)单调极大值单调拐点单调极小值单调增，凹f(1)=0减，凹（2，-2） 减，凸f(3)=-4增，凸7 分13、解： 令 y 6x212 x 186(x1)( x3)0，得驻点 x11 1,4（舍去）， x2 33 分比较函数在端点和驻点处的函数值，得函数 y2x36 x218x27 在 1，4上的最大值、最小值 为ymin27, ymax326 分14、解： 令 f (x)2 x0, f ( x)2(1x2 )0 ， 得 x11, x2 0, x31 ，.3 分x2(1x2 )21列表如下x-1(-1, 0)0-0-0+单调递减拐点单调递减极小值点凹区间凸区间15、解：1ln x0,得 13ln x0,得2f ( x)x 2xe, f (x)x3x(0,1)1+0-单调递增拐点单调递增凸区间凹区间7 分e37本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！x(0,e)+0-0+单调递增，凹函极大值单调递减，凹函拐点 (e3 ,33 )单调递减，凸函e数数数.6 分16、解：2x2(1x2 )y1x2 , y(1x2 ) 2 ，拐点为 (1, ln 2),(1, ln 2)凹区间为 (,1)和(1,), 凸区间为（ -1，1）17、解：y 4x3 16x4x( x2)(x2)所以，函数在 -1，3 上的驻点为 x 0, x 2。分4 分6 分由于 2分3当 x=0 时， y=2,x=2 时， y=-14 5分而 x=-1时， y=-2, x=3 时， y=117分所以函数的最大值为11，最小值为 -148 分18、解：由于y 3x23 3(x1)( x 1) 2分所以，函数在 -2，0 上的驻点为 x1 。 3分当 x=-1时， y=3，而 x=-2 时， y=-1, x=0时， y=1 5分所以函数的最大值为3，最小值为 -1 6分dy |x 2 (3x22ax b) |x2124ab 0dx19、解：根据已知条件得dy4dx |x132ab31ab c0分8本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！a3解上面方程组得b07 分c2四、综合题（1）证：令F ( x)x1，)s i nx c oxs xs i nxx2 (0,22显然 F ( x) 在区间 (0,) 上连续的，可导的。并且F (0) 0.2 分2由于F ( x) 1 c o sx2，对于任意的 x (0,2) ， F ( x)0 。所以函数 F (x) 在区间 (0,) 上单调增函数。4 分2于是对于任意的x(0,) ，有2F ( x)F ( 0 ) ，0即为：xs i nx c oxs6 分（2）证： 令f( )1xln(x1x2 )1x2,则(0)0,f()ln(x1x2)0(x0)xfx所以当 x0 时，1 x ln (x1 x 2 )1 x 2（3）证： 令f ( x)arctan xarc cot x,则 f (x)04 分所以 f(x) 恒为常数，又 f (1)42，从而 f (x) arctan x arc cot x6 分42（4）证： 因为( x ) 在 0,1上可导，所以 f(x) (x 1)( x) 在0，1上连续，在（ 0，1）内可导。 4 分根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x 0(0，1)，使 f ( x0 )（5）证：设 f (x)ln x ，则 f(x)1x对 ln aln b 用拉格朗日中值定理得ln a ln bf( )( ab) ，其中而 a bf ( )(ab)a bab ，所以 abln aa bababb（6）证：令 f ( x)(1x) ln(1x)arctan xf (1)f (0)8 分1(0)0 1分(b, a) 4分 6分9本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！1f (x)ln(1x)111 x2x0f(x) ln(1x)11x)0ln(11x2f ( x) (0,)f (0)0x 0f ( x)0ln(1x)arctanx1x7f (x)ln(1x), f ( x)11x1 3 4 56f (x)ln(1x)ln 1（0，x)f (x)ln(1x)ln 1f ()(1x 1)3ln(1x)x41（0，x)xxx1xln(1 x) x61 x1x8f ( x)(11x)2(1x)2x0,( x0)2f ( x)2(1 1 x)2x 0 ,f ( x)f (0)0(1x),( x0)5211x1x629f ( x)xx3sin x6f ( x)1x2cos x2sin 2 xx22( x)2x20,( x0)422222x 0 ,f ( x) f(0)0, xx3sin x6610F ( x)ln(1x)x,( x0)21xF ( x) x0F (0)010本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！F ( x)11x，1x (1x)2(1 x)2对于任意的 x0 ，有 F ( x) 0 。所以函数 F (x) 在 x0 的范围中是单调上升的。4 分于是，对于任意的x0 ，有F ( x)F (0)0 ，即：ln(1 x)x。6 分1x（11）证：令F ( x) l n ( 1 x) x x2, ( x1)2显然函数 F (x) 在区间 1,) 上连续并且可导。2 分且有： F (1)ln 21。02而且对于任意的 x( x)1x20,4分1 ， F1x1x1x所以对于任意的 x1 ，F ( x) ln(1 x) xx2F(1) 0，2于是原不等式成立。（12）证：假设函数f ( x) 在区间 0,1 上至少存在两个不同的零点 x1 , x2 (x1x2 ) 。函数 f ( x) 在区间 0,1上连续，可导。于是有f ( x1 )f ( x2 ) 0 。根据罗尔中值定理，则存在一点( x1 , x2 ) 0,1 ，使得f ( )3( 21)0 ，显然这是不可能的。所以假设不成立。（13）证： 令 f(x) 2 x 31, 则当 x 1时f (x)x所以 当 x1 时， f(x)f(1)=0 ,即有x 1时，2 x 36 分2 分4 分6 分311x 214 分xx 2x 2016分x11本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！14f ( x) x sin x cosx,则f (0) 0, f ( x) 1 cos2x 0(0 x ) 2当 0 x时 , f (x)f (0) 0当 0 x时 x sin x cosx223.612
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