圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1 , F2的距离 的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于 卩古2，当常数等于 带店2时，轨迹是线段 双曲线中，与两定点F1 , F2的距离的差的绝对值| F1F21，定义中的“绝对值”与2a |f1f2|，则女口 （1）已知定点F1（ 3,0）, F2 （3,0），在满足下列条件的平面上动点是 A .PF1I |PF222PF1PF?12 （答：C）;（2）方程（X6厂丫2心6厂丫2 8表示的曲线是PF1|PF26 C .p的轨迹中是椭圆10PF2（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。2如已知点Q（2J2,0）及抛物线y 上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是4（答: 2）2.圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程）：x2（1）椭圆：焦点在x轴上时冇a2其中为参数），焦点在y轴上时每a2爲 1 (a b b222 = 1 ( a b by acos（参数方程,0)。方程 Ax2 By2C表示椭圆的充要条件是什么？（如（1）已知方程ABC工0,且A , B , C同号，2x3 k1表示椭圆，则k的取值范围为（答：1, 1厂2；若 x, y R , 5,2 )(3, 2川(2)；(2)且3x22y26，则x y的最大值是2y的最小值是(答:(2)（a 0,bB异号）。2芯=1 ,焦点在y轴上：b2y2a0 ）。方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC工0,且A ,双曲线：焦点在x轴上：2X2a如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆x92 y 1有公共焦点，则该双曲线的方42程 （答：y21）；4（2）设中心在坐标原点 0,焦点F,、F2在坐标轴上，离心率 e 、2的双曲线C 过点P（4, #0），则C的方程为 （答: x2 y2 6）（3）抛物线：开口向右时 y2 2px（p 0），开口向左时y2 2px（p 0），开口2 2向上时x 2 py（ p 0），开口向下时x 2 py（ p 0）。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2 2如已知方程 一1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 _（答：m 12 m（,1） （1,|）（2）双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物 线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，2 2 2c最大，c a b。4. 圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以务告 1（ a b 0）为例）：范围：a x a, b y b ；a b焦点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x 0, y 0，个对称中心（0,0），a2四个顶点（a,0）,（0, b），其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线：两条准线xcc0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。2；10251的离心率e -，则m的值是（答：3或一）； m53离心率：e ，椭圆a2女口（ 1）若椭圆5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（答：22）x2y2（2）双曲线（以一 一 1 （ a 0, b 0）为例）：范围：x a或x a, y R ；a2 b2焦点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x 0, y 0，个对称中心（0,0 ）， 两个顶点（a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，a2称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0 ;准线：两条准线x；离ce越大,心率：e C，双曲线 e 1，等轴双曲线e 2 , e越小，开口越小，a开口越大； 两条渐近线：y -x。a如(1 )双曲线的渐近线方程是 3x 2y 0,则该双曲线的离心率等于 (-P 0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；2，对称性:一条对称轴0,没有对称中心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x离心率:-，抛物a如设a0,a5、点P(xo,22Xyo2.2ab22xq_y。外R，则抛物线2xy。)和椭圆飞a22y 4ax的焦点坐标为1 ；( 2)点P(x, y)在椭圆上2 X。 2 a的关系：1)(答:(0,16a)；(1)点P(x。, y。)在椭圆(3)点P(x, y)在椭圆b2 1a6 直线与圆锥曲线的位置关系 ：(1)相交：0 直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双(2)双曲线ax2by21的离心率为./5，则 a:b =1(答：4或；42(3)设双曲线x2a2 y b21 (a0,b0)中，离心率e2 ,2,则两条渐近线夹角B的取值范围是(答:,)；3 2(3)抛物线(以y22px(p 0)为例):范围：x0, y R ;焦点：一个焦点曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。女口( 1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范围是（答：（-15,-1）;3x21恒有公共点，则 m的取值范围是 （2）直线y kx 仁0与椭圆5（答: 1 , 5）U（ 5, +R）;2 2(3)过双曲线 壬 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若|AB|= 4,则1 2这样的直线有条(答:3 ）；(2)相切:0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；(3)相离:0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果2 2直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线 笃 爲=1a2 b2外一点P(Xo,yo)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称 轴的直线。如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 (答:2）；2X(2)过点(0,2)与双曲线一92L 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为16作 44亦、 (答: -，332(3) 过双曲线X2 乞 1的右焦点作直线I交双曲线于A、B两点，若 AB 4，则2满足条件的直线l有条(答：3)；(4) 对于抛物线C: y2 4x，我们称满足y02 4x0的点M(x,y)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线I : y0y 2(x (答：相离)；y2(5)过抛物线的长分别是p、q,(6)设双曲线则-px24x的焦点F作一直线交抛物线于1（答: 1）；q2y 1的右焦点为F，右准线为9X。)与抛物线C的位置关系是P、Q两点，若线段 PF与FQl，设某直线 m交其左支、右（填大于、小于支和右准线分别于 P,Q,R，则 PFR和 QFR的大小关系为 或等于）（答：等于）；（7） 求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答：刎3 ）；13（8） 直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分 别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：3, 3 : a 1 ）；距离为2 如（1）已知椭圆I25（答：35）；37、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二 定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed，其中d表示P到与F所对应的准线的 距离。2L 1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的16（2） 已知抛物线方程为y2 8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等于；（答:（3） 若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点 M的坐标为7,（2, 4）；（4 ）点P在椭圆2x25P的横坐标为（答:2Z 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点925）；12（5）抛物线y2的距离为 （答:2x2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴2）；2（6）椭圆 1内有一点P（1, 1），F为右焦点，在椭圆上有一点M，使43MP 2MF 之值最小，则点 M的坐标为26（答：（，1）；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P（xo,y。）到两焦点F1, F2的距离x2分别为r1,r2，焦点 F1PF2的面积为S，则在椭圆二2b2arccos 1），且当* r2即P为短轴端点时,最大为bm ax arccos2 2c2 ；a2线X2ab2 tanc| y01，当| y0 | b即P为短轴端点时,22兀2芯 1的焦点三角形有： arccos 1 b怖Smax的最大值为bC；1: S RDsin对于双曲b2 cot。2a如 （1）短轴长为.、5，离心率e 2的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于3A、B两点，贝U ABF2的周长为 （答：6）;（2）设P是等轴双曲线x2 y2 a2（a 0）右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若4 ）；-PFi 0 时,PF2 FiF2 0 , |PFi|=6,则该双曲线的方程为 （答: x2 y222x V（3）椭圆1的焦点为Fi、F2，点P为椭圆上的动点，当94点P的横坐标的取值范围是（答:（3.5 3、5 亍 T）;（4）双曲线的虚轴长为4，离心率 e= , Fi、2F2是它的左右焦点，若过Fi的直线k=-学a y。；在双曲线2 2x y2,2a bi中，以P（X0,y。）为中点的弦所在直线的斜率k=b2xa y；在抛物线与双曲线的左支交于 A、B两点，且 AB是AF2与BF2等差中项，则 AB =（答: 8 罷）;（5）已知双曲线的离心率为2 , Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且2 2FiPF2 60 , SPFf2 i2 3 求该双曲线的标准方程（答：； y i）;9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（i）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则/ AMF=Z BMF （ 3）设AB 为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 Ai , Bi，若P为Ai Bi的中点，贝U PAL PB; （4）若 AO的延长线交准线于 C,则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于 C 点，贝U A, O, C三点共线。10、 弦长公式：若直线V kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且xi,x2分别为A、 B的横坐标，则AB =|xiX2，若Vi,V2分别为 A、B的纵坐标，则AB =Ji 4r|Vi V2，若弦ab所在直线方程设为x ky b，则AB =Ji k2 y?。 k特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。女口（ i）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（xi，yi），B（X2，y2）两点，若xi+x2=6，那么 |AB|等于 （答：8）;（2）过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，已知|AB|=i0，O为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为 （答：3）;11、 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。2 2在椭圆x2 占 i中，以P（x0, V0）为中点的弦所在直线的斜率a bV0y2 2px（p 0）中，以P（x0, V0）为中点的弦所在直线的斜率k=卫。x2如(1)如杲椭圆36(答: x 2y 80 )；21弦被点A ( 4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是9(2)已知直线2y= x+1与椭圆笃a2-21(abb 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 L:x 2y=0上，则此椭圆的离心率为(答：子);(3)试确定的取值范围，使得椭圆2y1上有不同的两点关于直线3y 4x m对称(答:特别提醒:因为2.13 2 13 、, )；13130是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 !12.你了解下列结论吗 ？2 J 1的渐近线方程为b2(1)2双曲线02ay-x为渐近线(即与双曲线a2 x2 a2 x2a2y_b22yb21共渐近线)的双曲线方程为2 x2 a2 y b2(为参数， 工0)。2 2如与双曲线 L 1有共同的渐近线，且过点9162匕1)4(32J3)的双曲线方程为熒 4x2(答:-9(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 dny 1;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为2mx0，焦准距(焦点到 ab2相应准线的距离)为，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ;c通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；若抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为AB A(X1, yj, B(X2,y2)，则2p42y 2px(p(5)(6) | AB|(7)x1x2p : x1x2若OA OB是过抛物线恒经过定点(2p,0)13.动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2) 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x,y之间的关系F(x,y) 0 ；0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB如已知动点P到定点F(1,0)和直线X 3的距离之和等于 4求P的轨迹方程.(答：2 2y 12(x 4)(3 x 4)或 y 4x(0 x 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0)，端点A、B到x轴距离之积为 2m,以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 2(答：y 2x)； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程；22o如(1)由动点P向圆x y 1作两条切线PA PB,切点分别为 A B,Z APB=60,贝y 动点P的轨迹方程为 (答： x y 4 )；(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线I： X 5 0的距离小于1,则点M的轨迹方程 是 (答：y216x)；(3) 一动圆与两圆O M： x2 y2 1和O N： x2 y2 8x 12 0都外切，则动圆圆 心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y)的变化而变化，并且Q(x,y0)又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示x0, y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；2如动点P是抛物线y 2x 1上任一点，定点为 A(0, 1),点M分PA所成的比为2, 则M的轨迹方程为 (答：y 6x2 1)；3 参数法：当动点P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将x, y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。女口( 1) AB是圆O的直径，且|AB|=2 a, M为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在OM 上取点P，使|OP | | MN |，求点P的轨迹。(答：x2 y2 a | y |)；2 2(2) 若点P(x,y1)在圆xy 1上运动，则点Q(x1,X1 yj的轨迹方程是 2 1(答: y2 2x 1(|x| 2)；(3) 过抛物线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 (答：x2 2y 2 )；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。2 2如已知椭圆笃与 1(a b 0)的左、右焦点分别是 F1 a b(-C, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点，满足| F1Q | 2a.点 P是线段F1Q与该椭圆的交点，点 T在线段F2Q上，并且满足PT TF20,|TF2 | 0. ( 1 )设x为点P的横坐标，证明c| F1P | a x ; (2)求点T的轨迹C的方程;a在点皿，使厶F1MF2的面积s=b2.若存在，求/b2(答：(1)略；(2) x2 y2 a2 ； (3)当c(3)试问：在点 T的轨迹C上，是否存F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由a时不存在；当b2ca时存在，此时/FiMF2= 2) 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合 (如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1)给出直线的方向向量 u 1,k或u m, n ；(2) 给出OA OB与AB相交，等于已知OA OB过AB的中点；(3) 给出PM PN 0,等于已知P是MN的中点；(4) 给出AP AQ BP BQ ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线；1,使OCOA OB ,等于已知 代B,C三点共线.OP OA一OB，等于已知 P是AB的定比分点,(5) 给出以下情形之一： AB/AC ；存在实数 ，使aBaC ;若存在实 数，且为定比，即(6) 给出AP PB(7 ) 给出MA MB 0 ,等于已知MA MB ,即 AMB是直角，给出MA MB m 0,等于已知 AMB是钝角，给出MA MB m 0,等于已知 AMB是 锐角，(8)给出MP ,等于已知MP是 AMB的平分线/(9)在平行四边形 ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0 ,等于已知ABCD是菱形；(10)在平行四边形ABCD中,给出 | AB AD | | AB AD|，等于已知ABCD是矩形； 2 2 2(11)在 ABC中，给出OA OB OC，等于已知O是 ABC的外心(三角 形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(12)在 ABC中，给出OA OB OC 0 ,等于已知O是 ABC的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ；(13)在 ABC中，给出OA OB OB OC OC OA，等于已知 O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）（14）在 ABC中，给出OP OAABC的内心；（15）在 ABC中，给出a OA b OB c OC 0,等于已知（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）（16）在 ABC中，给出AD - Ab aC ,等于已知AD是2）等于已知AP通过O是ABC的内心；ABC中BC边的中