高中数学人教A版选修11教学案：第三章 3.3导数在研究函数中的应用 Word版含答案

20192019 届数学人教版精品资料届数学人教版精品资料第 1 课时函数的单调性与导数核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P89P93的内容，回答下列问题(1)观察教材 P89图 3.31，回答下列问题：函数 h(t)4.9t26.5t10 在区间(0，a)上的单调性是什么？h(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h(t)0函数 h(t)4.9t26.5t10 在区间(a，b)上的单调性是什么？h(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h(t)0，y(x)是增函数；在区间(，0)内，y(x)2x0，y(x)是增函数；在区间(，)内，y(x)3x20，y(x)是增函数；在区间(，0)，(0，)内，y(x)1x20单调递增f(x)0，则 f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如 yx3在 R 上为增函数，但其在 x0 处的导数等于零也就是说 f(x)0 是 yf(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件(3)下图为导函数 yf(x)的图象，则函数 yf(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(，3，2，1，3，)；单调递减区间：3，2，1，3课前反思(1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？；(2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系？讲一讲1(1)设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象可能为()(2)已知 f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只可能是()尝试解答(1)由函数的图象可知：当 x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D.(2)从 f(x)的图象可以看出，在区间a，ab2内，导数单调递增；在区间ab2，b内，导数单调递减即函数 f(x)的图象在a，ab2内越来越陡，在ab2，b内越来越平缓，由此可知，只有选项 D 符合答案(1)D(2)D研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时， 注意抓住各自的关键要素， 对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零， 在哪个区间内小于零， 并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致练一练1(1)函数 yf(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：选 D因为函数 f(x)在(0，)和(，0)上都是单调递减的，即 f(x)0 的解集为(，0)(2，)，故 f(x)的递增区间为(，0)，(2，)答案：(，0)，(2，)思考 1若函数 f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则 f(x)满足什么条件？名师指津：f(x)0(或 f(x)0)思考 2若函数 f(x)在(a，b)上满足 f(x)0(或 f(x)0，则 f(x)在(a，b)上为增函数；若 f(x)0.故函数 f(x)在(0，)内为增函数，当 x(，0)时，ex1，即 f(x)ex10.故函数 f(x)在(，0)内为减函数利用导数判断函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f(x)；(2)确定 f(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论练一练2试证明：函数 f(x)ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数证明：由于 f(x)ln xx，所以 f(x)1xxln xx21ln xx2.由于 0 x2，所以 ln xln 20，即函数 f(x)ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数思考f(x)0 或 f(x)0 的解集对应函数 f(x)的单调递增区间；f(x)0，解得33x33.因此，函数 f(x)的单调增区间为33，33 .令 13x20，解得 x33.因此，函数 f(x)的单调减区间为，33 ，33，.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)2x1x（ 2x1） （ 2x1）x.因为 x0，所以2x10，由 f(x)0，解得 x22，所以函数 f(x)的单调递增区间为22，； 由 f(x)0， 解得 x0(或 f(x)0，(x2)20.由 f(x)0 得 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，)；由 f(x)0 得 x0 或 f(x)0 时，令 3x2a0，得 x3a3.当 x3a3或 x0;当3a3x3a3时，f(x)0 时，f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在3a3，3a3上为减函数讨论含有参数的函数的单调性， 通常归结为求含参数不等式的解集问题， 而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论， 但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准练一练4(1)本例中 f(x)不变，若 f(x)为单调递增函数，求实数 a 的取值范围解：由已知得 f(x)3x2a，因为 f(x)在(，)上是单调增函数，所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立，即 a3x2对 xR 恒成立因为 3x20，所以只需 a0.又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0.即实数 a 的取值范围为(，0(2)本例中 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，)内为增函数，求 a 的取值范围解：因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，所以 f(x)0 在(1，)恒成立，即 3x2a0 在(1，)恒成立，所以 a3x2在(1，)恒成立，即 a 的取值范围为(，3(3)本例中 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，1)上为减函数，试求 a 的取值范围解：由 f(x)3x2a0 在(1，1)上恒成立，得 a3x2在 x(1，1)恒成立因为1x1，所以 3x23，所以 a3.即 a 的取值范围是3，)(4)本例中 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(1，1)，求 a 的取值范围解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为(3a3，3a3)，3a31，即 a3.(5)本例中 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，1)上不单调，求 a 的取值范围解：f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由 f(x)0，得 x3a3(a0)，f(x)在区间(1，1)上不单调，03a31，即 0a0 且为常数函数；选项 C 中，f(x)0 且 f(x)在(x1，x2)内单调递增；选项 D 中，f(x)0 且 f(x)在(x1，x2)内先增后减故选 B.3如图所示的是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则在2，5上函数 f(x)的递增区间为_解析：因为在(1，2)和(4，5上 f(x)0，所以 f(x)在2，5上的单调递增区间为(1，2)和(4，5答案：(1，2)和(4，5题组 2判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0，3)C(1，4)D(2，)解析：选 Df(x)(x3)ex(x3)(ex)ex(x2)由 f(x)0 得 x2，f(x)的单调递增区间是(2，)5函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1，1B(0，1C1，)D(0，)解析：选 B函数 y12x2ln x 的定义域为(0，)，yx1x（x1） （x1）x，令 y0，则可得 0 x1.6证明函数 f(x)sin xx在2，上单调递减证明：f(x)sin xx，f(x)（sin x）xsin x （x）x2xcos xsin xx2.由于 x2，cos x0，xcos xsin x0.故 f(x)0，f(x)在2，上单调递减题组 3与参数有关的函数单调性问题7函数 f(x)ax3x 在 R 上为减函数，则()Aa0Ba1Ca2Da13解析：选 Af(x)3ax21.f(x)在 R 上为减函数，f(x)0 在 R 上恒成立a0，经检验 a0 符合题意8若函数 f(x)x3bx2cxd 的单调递减区间为(1，2)，则 b_，c_解析：f(x)3x22bxc，由题意知1x2 是不等式 f(x)0 时，f(x)0，函数 f(x)只有单调递增区间为(0，)当 a0，得 x a；由 f(x)xax0，得 0 x a，所以当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间是( a，)，单调递减区间是(0， a)能力提升综合练1yxln x 在(0，5)上是()A单调增函数B单调减函数C在0，1e 上减，在1e，5上增D在0，1e 上增，在1e，5上减解析：选 Cyxln xx(ln x)ln x1，当 0 x1e时，lnx1，即 y0.y 在0，1e 上减当1ex1，即 y0.y 在1e，5上增2已知函数 f(x) xln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0，所以 f(x)在(0，)上是增函数，所以有 f(2)f(e)f(3)3设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()解析：选 D对于选项 A，若曲线 C1为 yf(x)的图象，曲线 C2为 yf(x)的图象，则函数 yf(x)在(，0)内是减函数，从而在(，0)内有 f(x)0.因此，选项 A 可能正确同理，选项 B、C 也可能正确对于选项 D，若曲线 C1为 yf(x)的图象，则 yf(x)在(，)内应为增函数，与C2不相符；若曲线 C2为 yf(x)的图象，则 yf(x)在(，)内应为减函数，与 C1不相符因此，选项 D 不可能正确4 设 f(x)， g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数， 且 f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当 axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)解析：选 C因为f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2，又因为 f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以f（x）g（x）在 R 上为减函数又因为 axf（x）g（x）f（b）g（b），又因为 f(x)0，g(x)0，所以 f(x)g(b)f(b)g(x)5若函数 y43x3bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_解析：若函数 y43x3bx 有三个单调区间，则 y4x2b 有两个不相等的实数根，所以 b0.答案：(0，)6如果函数 f(x)2x2ln x 在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是_解析：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x1x4x21x.由 f(x)0，得函数 f(x)的单调递增区间为12，；由 f(x)0，得函数 f(x)的单调递减区间为0，12 .由于函数在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以k112k1，k10.解得：1k0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0，右侧 h(t)0(2)观察教材 P94图 3.310 和图 3.311，函数 yf(x)在 a，b，c，d，e，f，g，h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？yf(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？提示：函数 yf(x)在 a，c，e，g 的函数值比它附近的函数值都小，在 b，d，f，h 处的函数值比它附近的函数值都大；yf(x)在这些点的导数值都是 0；在 a，c，e，g 点的左侧f(x)0；在 b，d，f，h 点的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值问题思考(1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本 P94图 3.311 中 c 处的极小值大于 f 处的极大值(2)函数 f(x)的定义域为开区间(a， b)， 导函数 f(x)在(a， b)内的图象如图所示， 则函数 f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：一个x1，x2，x3是极值点，其中 x2是极小值点_x1、x3是极大值点(3)已知 x0是函数 f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是 f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是 f(x)的极小值？提示： 当 f(x0)0， 且在 x0附近的左侧 f(x)0， 右侧 f(x)0 时， f(x0)是极大值； 当 f(x0)0，且在 x0附近的左侧 f(x)0 时，f(x0)是极小值(4)导数为 0 的点都是极值点吗？提示：不一定，如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是 f(x)x3的极值点所以，当 f(x0)0 时，要判断 xx0是否为 f(x)的极值点，还要看 f(x)在 x0两侧的符号是否相反(5)函数 yf(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数 yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点课前反思(1)函数的极大值、极小值的定义是：；(2)函数的极大值点、极小值点的定义是：；(3)求函数 yf(x)的极值的方法是什么？讲一讲1(链接教材 P94例 4)求下列函数的极值：(1)f(x)x2ex;(2)yln xx.尝试解答(1)函数的定义域为 R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当 x0 时，函数有极小值，且 f(0)0.当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)4e2.(2)函数 yln xx的定义域为(0，)，y1ln xx2.令 y0，即1ln xx20，得 xe.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)y0y1e由表可知，当 xe 时，函数有极大值1e.求可导函数 f(x)的极值的步骤为：(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数 f(x)；(3)令 f(x)0，求出全部的根 x0；(4)列表：方程的根 x0将整个定义域分成若干个区间，把 x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在 x0附近左正右负，则在 x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值练一练1求下列函数的极值：(1)f(x)13x3x23x3；(2)f(x)2xx212.解：(1)函数的定义域为 R，f(x)x22x3.令 f(x)0，得 x3 或 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值143极小值6x1 是 f(x)的极大值点，x3 是 f(x)的极小值点f(x)极大值143，f(x)极小值6.(2)函数的定义域为 R，f(x)2（x21）4x2（x21）22（x1） （x1）（x21）2.令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值3极大值1由表可以看出：当 x1 时，函数 f(x)有极小值，且 f(1)2223；当 x1 时，函数 f(x)有极大值，且 f(1)2221.讲一讲2已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0，求常数 a，b 的值尝试解答yf(x)在 x1 时有极值为 0，且 f(x)3x26axb，f（1）0，f（1）0，即36ab0，13aba20.解得a1，b3或a2，b9.当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，yf(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)40由表可知，f(x)在 x1 处取极小值且 f(1)0.a2，b9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件， 所以必须对求出的参数值进行检验， 看是否满足函数取得极值的条件练一练2已知 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x1 处取得极值，且 f(1)1.(1)试求常数 a，b，c 的值；(2)试判断 x1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解：f(x)3ax22bxc，(1)法一：x1 是函数的极值点，x1 是方程 3ax22bxc0 的两根由根与系数的关系知2b3a0，c3a1，又 f(1)1，abc1，由解得 a12，b0，c32.法二：由 f(1)f(1)0，得 3a2bc0，3a2bc0，又 f(1)1，abc1，由解得 a12，b0，c32.(2)f(x)12x332x，f(x)32x23232(x1)(x1)当 x1 时 f(x)0，当1x1 时，f(x)0.函数 f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数当 x1 时，函数取得极大值，x1 为极大值点；当 x1 时，函数取得极小值，x1 为极小值点讲一讲3求函数 f(x)x33axb(a0)的极值思路点拨分类讨论 a 取不同值时，函数的单调性，进而求极值尝试解答f(x)3(x2a)(a0)，当 a0 恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值；当 a0 时，令 f(x)0，得 x a或 x a.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(， a) a( a，a)a( a，)f(x)00f(x)f( a)f( a)f(x)的极大值为 f( a)2a ab，极小值为 f( a)2a ab.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论练一练3设函数 f(x)13x3x2(m21)x(xR)，其中 m0.(1)当 m1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解：(1)当 m1 时，f(x)13x3x2，f(x)x22x，故 f(1)1.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 1.(2)f(x)x22xm21.令 f(x)0，解得 x1m 或 x1m.因为 m0，所以 1m1m.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数 f(x)的单调递减区间为(，1m)，(1m，)，递增区间为(1m，1m)函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m)，且 f(1m) 23m3m213.函数 f(x)在 x1m 处取得极大值 f(1m)，且 f(1m)23m3m213.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数难点是含参数的函数的极值问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)求函数的极值，见讲 1；(2)已知函数的极值求参数，见讲 2；(3)含参数的函数极值问题的求解，见讲 3.3函数的极值是函数的局部性质可导函数 f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f(x0)0 且在 x0两侧 f(x)符号相反，这是本节课的易错点课时达标训练（十七）即时达标对点练题组 1求函数的极值1函数 f(x)13x312x22x 取极小值时，x 的值是()A2B1 和 2C1D3解析：选 Cf(x)x2x2(x1)(x2)，则在区间(，1)和(2，)上，f(x)0，故当 x1 时，f(x)取极小值2函数 yx33x29x(2x2)有()A极大值 5，极小值27B极大值 5，极小值11C极大值 5，无极小值D极小值27，无极大值解析：选 C由 y3x26x90，得 x1 或 x3.当 x3 时，y0；当1x3 时，y0.当 x1 时，函数有极大值 5；3(2，2)，故无极小值3如果函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数 yf(x)在区间3，12 内单调递增；函数 yf(x)在区间12，3内单调递减；函数 yf(x)在区间(4，5)内单调递增；当 x2 时，函数 yf(x)有极小值；当 x12时，函数 yf(x)有极大值其中正确的结论为_解析：由图象知，当 x(，2)时，f(x)0，所以 f(x)在(，2)上为减函数，同理，f(x)在(2，4)上为减函数，在(2，2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在 x2 的左侧递增，右侧递减，所以 x2 时，函数有极大值；而在 x12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在 x12的左右两侧均为增函数，所以 x12不是函数的极值点排除和.答案：题组 2已知函数的极值求参数4函数 f(x)ax3bx 在 x1 处有极值2，则 a，b 的值分别为()A1，3B1，3C1，3D1，3解析：选 Af(x)3ax2b，由题意知 f(1)0，f(1)2，3ab0，ab2，a1，b3.5若函数 f(x)x22bx3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数 b 的取值范围是()Ab1C0b1Db12解析：选 Cf(x)2x2b2(xb)，令 f(x)0，解得 xb，由于函数 f(x)在区间(0，1)内有极小值，则有 0b1.当 0 xb 时，f(x)0；当 bx0，符合题意所以实数 b 的取值范围是 0b0.即 a2a20，解之得 a2 或 a0)，f(x)1x12x2323x22x12x2（3x1） （x1）2x2.令 f(x)0，解得 x11，x213(因 x213不在定义域内，舍去)当 x(0，1)时，f(x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值，且 f(1)3.8已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa，又当 x(0，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值能力提升综合练1函数 f(x)x3x2x2 的零点个数及分布情况为()A一个零点，在，13 内B二个零点，分别在，13 ，(0，)内C三个零点，分别在，13 ，13，1，(1，)内D三个零点，分别在，13 ，(0，1)，(1，)内解析：选 A利用导数法易得函数在，13 内递减，在13，1内递增，在(1，)内递减，而 f13 59270，f(1)10，故函数图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在，13 内2.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：选 D由图可知，当 x0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值3 若函数 yx32axa 在(0， 1)内有极小值没有极大值， 则实数 a 的取值范围是()A(0，3)B(，3)C(0，) D.0，32解析：选 Df(x)3x22a，f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，f（0）02a0.即 0af33 ，排除A.取函数 f(x)(x1)2， 则 x1 是 f(x)的极大值点， 但1 不是 f(x)的极小值点， 排除 B；f(x)(x1)2，1 不是f(x)的极小值点，排除 C.故选 D.5已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c_解析：设 f(x)x33xc，对 f(x)求导可得，f(x)3x23，令 f(x)0，可得 x1，易知 f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减若 f(1)13c0，可得 c2；若 f(1)13c0，可得 c2.答案：2 或 26.已知函数 f(x)ax3bx2cx 的极大值为 5，其导函数 yf(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则 a_，b_，c_.解析：由题图得依题意，得f（1）5，f（1）0，f（2）0.即abc5，3a2bc0，12a4bc0.解得 a2，b9，c12.答案：29127已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得 f(0)4，f(0)4，故 b4，ab8，从而 a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12 .令 f(x)0，得 xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当 x(2，ln 2)时，f(x)0，f（2）0或f（0）0，f（2）0，4a0或a0，4a0，解得 a0，所以当 a0 或 a4 时，函数 f(x)恰有一个零点第 3 课时函数的最大(小)值与导数核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P96P98的内容，回答下列问题(1)观察教材 P96图 3.313，回答下列问题：你能找出函数 f(x)在区间a，b上的极大值和极小值吗？提示： 极大值有 f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有 f(x1)，f(x3)，f(x5)你能找出函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值吗？提示：最大值为 f(a)，最小值为 f(x3)(2)观察教材 P97图 3.314，函数 f(x)在a，b上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为 f(b)，最小值为 f(a)(3)观察教材 P97图 3.315，函数 f(x)在a，b上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为 f(x3)，最小值为 f(x4)(4)通过以上观察，你认为函数 f(x)在a，b上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值(5)怎样确定函数 f(x)在a，b上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值2归纳总结，核心必记(1)函数 yf(x)在区间a，b上的最值一般地，如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)函数最值的求法求函数 yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤如下：求函数 yf(x)在区间(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值问题思考在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a，b上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间a，b上一定有最值，但不一定有极值如果函数 f(x)在a，b上是单调的，此时 f(x)在a，b上无极值；如果 f(x)在a，b上不是单调函数，则 f(x)在a，b上有极值当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值课前反思(1)如何求函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值？(2)函数 f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？讲一讲1(链接教材 P97例 5)求下列各函数的最值(1)f(x)x33x，x 3，3；(2)f(x)x254x(x0)尝试解答(1)f(x)33x23(1x)(1x)令 f(x)0，得 x1 或 x1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以 x1 和 x1 是函数在 3，3上的两个极点，且 f(1)2，f(1)2.又因为 f(x)在区间端点处的取值为f( 3)0，f(3)18.所以 f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x54x2.令 f(x)0 得 x3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以 x3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(3)27，无最大值(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得练一练1求下列各函数的最值(1)f(x)x33x26x2，x1，1；(2)f(x)12xsin x，x0，2解：(1)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，因为 f(x)在1，1内恒大于 0，所以 f(x)在1，1上为增函数故 x1 时，f(x)取最小值为12，x1 时，f(x)取最大值为 2.(2)f(x)12cos x，令 f(x)0，又 x0，2，解得 x23或 x43.计算得 f(0)0，f(2)，f23332，f432332.所以当 x0 时，f(x)有最小值 f(0)0；当 x2时，f(x)有最大值 f(2).讲一讲2设23a0，且 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值，也就是函数在1，2上的最大值，f(0)3，即 b3.又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得 a2.(2)当 af(1)，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.思考若 af(x)恒成立，则 a 的取值范围是什么？若 af(x)恒成立，则 a 的取值范围是什么？名师指津：(1)af(x)恒成立af(x)max.(2)af(x)恒成立af(x)min讲一讲3已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数 f(x)的最小值；(2)对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围思路点拨2f(x)g(x)恒成立，可转化为 2f(x)g(x)0 恒成立，然后利用分离参数法求 a 的取值范围尝试解答(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当 x0，1e 时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)minf1e 1e.(2)2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)（x3） （x1）x2，x(0，1)，h(x)0，h(x)单调递增；所以 h(x)minh(1)4，对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x)min4，即 a 的取值范围是(，4不等式恒成立问题的转化技巧(1)af(x)(或f(x)恒成立af(x)max(或f(x)min);(2)af(x)(或f(x)恒有解af(x)min(或f(x)max)；(3)f(x)g(x)恒成立F(x)min0(其中 F(x)f(x)g(x);(4)f(x)g(x)恒有解F(x)max0(其中 F(x)f(x)g(x)练一练3设函数 f(x)xexxa2x12.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)当 x0 时，f(x)x2x2 恒成立，求 a 的取值范围解：(1)a1，f(x)xexx12x12xex12x2x2，f(x)(ex1)(x1)，当1x0 时，f(x)0;当 x0 时，f(x)0，f(x)在(1，0)上单调递减，在(，1)，(0，)上单调递增(2)由 f(x)x2x2，得 xexa22x0，当 x0 时，显然成立；当 x0 时，即exxa22恒成立记 g(x)exx，则 g(x)ex（x1）x2，当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，g(x)是增函数g(x)的最小值为 g(1)e，a22e，得 a2e2.即 a 的取值范围是(，2e2课堂归纳感悟提升1本节课的重点是函数最值的求法及与最值有关的不等式恒成立问题，难点是由函数的最值求参数及不等式的恒成立问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)求函数最值的方法，见讲 1；(2)由函数最值求参数的方法，见讲 2；(3)与函数最值有关的不等式恒成立问题的解法，见讲 3.课时达标训练（十八）即时达标对点练题组 1求函数的最值1函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值解析：选 Af(x)2sin x0，f(x)在(，)上是增函数，f(x)在(，)上无最值2函数 f(x)x2ex在区间(3，1)上的最大值为()A9e3B4e2Ce1D4e2解析：选 Bf(x)ex(x22x)，令 f(x)0 得 x2 或 x0(舍)f(x)在(3，2)上递增；在(2，1)上递减f(x)在(3，1)上的最大值为 f(2)4e2.3已知函数 f(x)x312x8 在区间3，3上的最大值与最小值分别为 M，m，则 Mm_解析：令 f(x)3x2120，解得 x2.计算得 f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以 M24，m8，所以 Mm32.答案：324已知函数 f(x)ln xx.(1)求 f(x)在点(1，0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在1，t上的最大值解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数 f(x)1ln xx2.(1)f(1)1，所以切线方程为 yx1.(2)令 f(x)1ln xx20，解得 xe.当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，当 1te 时，f(x)在1，t上单调递增，f(x)maxf(t)ln tt，当 te 时，f(x)在1，e上单调递增，在e，t上单调递减，f(x)maxf(e)1e，f(x)maxln tt，1te，1e，te.题组 2由函数的最值确定参数的值5若函数 yx332x2m 在2，1上的最大值为92，则 m 等于()A0B1C2D.52解析：选 Cy3x23x3x(x1)，令 y0，得 x0 或 x1.因为 f(0)m，f(1)m12，又 f(1)m52，f(2)m2，所以 f(1)m52最大，所以 m5292，所以 m2.6设 f(x)13x312x22ax.当 0a2 时，f(x)在1，4上的最小值为163，求 f(x)在该区间上的最大值解：令 f(x)x2x2a0，得两根 x11 18a2，x21 18a2.所以 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 0a2 时，有 x11x24，所以 f(x)在1，4上的最大值为 f(x2)又 f(4)f(1)2726a0，即 f(4)0，恒有 ln xpx1(p0)，则 p 的取值范围是()A(0，1B(1，)C(0，1)D1，)解析：选 D原不等式可化为 ln xpx10，令 f(x)ln xpx1，故只需 f(x)max0，由 f(x)1xp 知 f(x)在0，1p 上单调递增； 在1p，上单调递减 故 f(x)maxf1p lnp，即ln p0，解得 p1.8已知函数 f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x2，6时，f(x)2|c|恒成立，求 c 的取值范围解：(1)f(x)3x22axb，函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，1，3 是方程 3x22axb0 的两根1323a，13b3，a3，b9.(2)由(1)知 f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：而 f(2)c2，f(6)c54，x2，6时，f(x)的最大值为 c54，要使 f(x)2|c|恒成立，只要 c542|c|即可，当 c0 时，c5454；当 c0 时，c542c，c18，c 的取值范围为(，18)(54，)能力提升综合练1函数 f(x)13x32x2在区间1，5上()A有最大值 0，无最小值B有最大值 0，最小值323C有最小值323，无最大值D既无最大值也无最小值解析：选 Bf(x)x24xx(x4)令 f(x)0，得 x0 或 x4，f(0)0，f(4)323，f(1)73，f(5)253，f(x)maxf(0)0，f(x)minf(4)323.2函数 f(x)x2x，则下列结论正确的是()A当 x1ln 2时，f(x)取最大值B当 x1ln 2时，f(x)取最小值C当 x1ln 2时，f(x)取最大值D当 x1ln 2时，f(x)取最小值解析：选 Df(x)2xx(2x)2xx2xln 2.令 f(x)0，得 x1ln 2.当 x，1ln 2 时，f(x)0，故函数在 x1ln 2处取极小值，也是最小值3对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 x1 时(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)1 时， f(x)0， 函数 f(x)在(1， )上是增函数；当 x1 时， f(x)f(1)，f(2)f(1)，得 f(0)f(2)2f(1)4设直线 xt 与函数 f(x)x2，g(x)ln x 的图象分别交于点 M，N，则当|MN|达到最小值时 t 的值为()A1B.12C.52D.22解析：选 D|MN|的最小值，即函数 h(t)t2ln t 的最小值，h(t)2t1t2t21t，显然 t22是函数 h(t)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故 t22.5已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是_解析：f(x)ex2.由 f(x)0 得 ex20，xln 2.由 f(x)0 得，x0)若当 x(0，)时，f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)2，即 a2x22x2ln x.令 g(x)2x22x2ln x，x0，则 g(x)2x(12ln x)由 g(x)0 得 xe12，且当 0 x0；当 xe12时，g(x)0，当 xe12时，g(x)取最大值 g(e12)e，ae.答案：e，)7已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值解：(1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11 时，即 k2，函数 f(x)在0，1上单调递减，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e.8设函数 f(x)2axbxln x，若 f(x)在 x1，x12处取得极值，(1)求 a、b 的值；(2)在14，1上存在 x0使得不等式 f(x0)c0 成立，求 c 的取值范围解：(1)f(x)2axbxln x，f(x)2abx21x.f(x)在 x1，x12处取得极值，f(1)0，f12 0，即2ab10，2a4b20，解得a13，b13.所求 a、b 的值分别为13、13.(2)在14，1上存在 x0，使得不等式 f(x0)c0 成立，只需 cf(x)min，x14，1，由 f(x)2313x21x2x23x13x2（2x1） （x1）3x2，当 x14，12 时，f(x)0，f(x)是增函数；f12 是 f(x)在14，1上的最小值而 f12 13ln1213ln 2，c13ln 2.c 的取值范围为13ln 2，.