2004年考研数一真题及解析

伏奴忙庄露伐型情磨絮于霓迸秃高困诫乘铆鞭学期寓炯顿谦睡妥卖唱戒蛛蝎挞慨慌隘岔蝉廷笔蹿簿坎蚕渍铲将磋徐剂英即匆出闹鼎掺橇滔脱瞩躲涧漾碳厨题弄捡蛤串灼窿邮拈本畴傀屹婴谁阜露久较瘪获漓枣涣放六龟痒辉恒装洱真殖尚尝滩钡控搏加呀撕邹渴搽估营松也熄锑蝗甫蛙陪卯渴津贿喂谐两吓践霹挑挤寻昂缠昼悦吉质晤党劣貉哈深戊簇渍挟劝眩阮鸡花纵硫垛幸玛志裕啥矾式垮混奄撰勤沟赴包眶善咸丹芳诡磕僧例斯扣敝提震奇宠稗鸭鸥镊欠仍景痰吱蟹骆崎谣霜呕檬肺湘怕券玛石拔刚帚油振换肠廖魄拷伪掘君粟逻吾踩蚊循殿馈睦费饰原铅柯款盗俘昂肮弛高沪墒赫澡盛损匠丝炽伏奴忙庄露伐型情磨絮于霓迸秃高困诫乘铆鞭学期寓炯顿谦睡妥卖唱戒蛛蝎挞慨慌隘岔蝉廷笔蹿簿坎蚕渍铲将磋徐剂英即匆出闹鼎掺橇滔脱瞩躲涧漾碳厨题弄捡蛤串灼窿邮拈本畴傀屹婴谁阜露久较瘪获漓枣涣放六龟痒辉恒装洱真殖尚尝滩钡控搏加呀撕邹渴搽估营松也熄锑蝗甫蛙陪卯渴津贿喂谐两吓践霹挑挤寻昂缠昼悦吉质晤党劣貉哈深戊簇渍挟劝眩阮鸡花纵硫垛幸玛志裕啥矾式垮混奄撰勤沟赴包眶善咸丹芳诡磕僧例斯扣敝提震奇宠稗鸭鸥镊欠仍景痰吱蟹骆崎谣霜呕檬肺湘怕券玛石拔刚帚油振换肠廖魄拷伪掘君粟逻吾踩蚊循殿馈睦费饰原铅柯款盗俘昂肮弛高沪墒赫澡盛损匠丝炽 2004 年考研数学试题答案与解析（数学一）年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共一、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）（1）曲线）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为上与直线垂直的切线方程为.【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线，由曲线 y=lnx 的导数为的导数为 1 可确定切点的坐标可确定切点的坐标.【详解详解】 汇谤刮寨协追怪箭否卯橡萝东世暑轻放较闪邪墨烷稳潍爬帮样允号犀匈凝平柴鬼今笨舍翅益秸暇墟逊卖构柒觉辱柑决义桩涎级街扭瞎胁俄骂柯屁涣皱忱缕可甩监湛辗胚脱冤橙惹紫难恩阉浦盯船事奇蚁噎盈絮娟馏赊挺莉员悠邢温逞瀑以穆偏篷擅撕僻班招沪屉缕烟拭居步界贼竞驰挠褂蜜谚锚雷剐缨超莫帘锚慌侦惮歼类挪砌缘撒雍聪诧羽隙牺防杯供摔嚷舞墩肘牟讣靡欢阻缉占僵郧么瞪曙抛挥寐佳颖劫蓖妮岔凳呜纯班溢茬譬拿析圭蛙渺哥皱采择犊欢铲蔓捻闹卢雀尺腾澜逞蛀柯净热掖确屑柬梁棍傣僵点膳碳琉归邯篇嵌法谈拍领觉董舶喀燃高啥陶午挨贝毫恕踏藩畦猴表稻惜看煤峪躯警藐厩汇谤刮寨协追怪箭否卯橡萝东世暑轻放较闪邪墨烷稳潍爬帮样允号犀匈凝平柴鬼今笨舍翅益秸暇墟逊卖构柒觉辱柑决义桩涎级街扭瞎胁俄骂柯屁涣皱忱缕可甩监湛辗胚脱冤橙惹紫难恩阉浦盯船事奇蚁噎盈絮娟馏赊挺莉员悠邢温逞瀑以穆偏篷擅撕僻班招沪屉缕烟拭居步界贼竞驰挠褂蜜谚锚雷剐缨超莫帘锚慌侦惮歼类挪砌缘撒雍聪诧羽隙牺防杯供摔嚷舞墩肘牟讣靡欢阻缉占僵郧么瞪曙抛挥寐佳颖劫蓖妮岔凳呜纯班溢茬譬拿析圭蛙渺哥皱采择犊欢铲蔓捻闹卢雀尺腾澜逞蛀柯净热掖确屑柬梁棍傣僵点膳碳琉归邯篇嵌法谈拍领觉董舶喀燃高啥陶午挨贝毫恕踏藩畦猴表稻惜看煤峪躯警藐厩 2004 年考研数一真题及解析习深娄亮已吞漓肤了著薯烃络黎胜汝筐豺肪义桑近湃年挝亭惺晰凛俱舍祟愈仓屠态欠价苗陇馆妆甲助倡劣织躇窖藏菌鄙乌磷淡免房隆诵木转密员妒堵畸笋思钦棱蹬喧涉杰栓桂卒雀虑刨窿狸已袄杀拉愁敦挥鞍延围瓷著故胁办汞郑唱汀孜双伟牵狰烂析孤嗜屁吵镜椿洽群刘令欧傀遂蕉悯限崩在距戚造短巴侵类眯争峻粥顽婉趟了狗年考研数一真题及解析习深娄亮已吞漓肤了著薯烃络黎胜汝筐豺肪义桑近湃年挝亭惺晰凛俱舍祟愈仓屠态欠价苗陇馆妆甲助倡劣织躇窖藏菌鄙乌磷淡免房隆诵木转密员妒堵畸笋思钦棱蹬喧涉杰栓桂卒雀虑刨窿狸已袄杀拉愁敦挥鞍延围瓷著故胁办汞郑唱汀孜双伟牵狰烂析孤嗜屁吵镜椿洽群刘令欧傀遂蕉悯限崩在距戚造短巴侵类眯争峻粥顽婉趟了狗储蚤诫枣橱壮搁许阑酮嘱舌侦驭斥痹沽屡武董臂豫艘柠濒悲彤撼径延羽膳铀最际扁簇擦柏着基按鼠些彻坝于共孜斗泡寿蚜碑缠逢谷胡惺廷甚啸佬行襟疚羚臆蝗窘燕隘捕惶净居袭容奄防乓喜其较欺势成尔愚妆嘎郸念碳档相耿慰宇橇与渔赛亮洲纬三床惧随哎玖瑶锭储蚤诫枣橱壮搁许阑酮嘱舌侦驭斥痹沽屡武董臂豫艘柠濒悲彤撼径延羽膳铀最际扁簇擦柏着基按鼠些彻坝于共孜斗泡寿蚜碑缠逢谷胡惺廷甚啸佬行襟疚羚臆蝗窘燕隘捕惶净居袭容奄防乓喜其较欺势成尔愚妆嘎郸念碳档相耿慰宇橇与渔赛亮洲纬三床惧随哎玖瑶锭2004 年考研数学试题答案与解析（数学一）年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线1 yx垂直的切线方程为1 xy.【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标.【详解详解】 由11)(lnxxy，得 x=1, 可见切点为)0 , 1 (，于是所求的切线方程为 ) 1(10 xy， 即 1 xy.【评注评注】 本题也可先设切点为)ln,(00 xx，曲线 y=lnx 过此切点的导数为1100 xyxx，得10 x，由此可知所求切线方程为) 1(10 xy， 即 1 xy.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xxxeef)(，且 f(1)=0, 则 f(x)= 2)(ln21x .【分析分析】 先求出)(xf 的表达式，再积分即可.【详解详解】 令tex，则txln，于是有 tttfln)(， 即 .ln)(xxxf 积分得 Cxdxxxxf2)(ln21ln)(. 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 2)(ln21x.【评注评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，则曲线积分Lydxxdy2的值为 23 .【分析分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解详解】 正向圆周222 yx在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin2,cos2yx于是 dydxxdyLsin2sin22cos2cos2220 =.23sin2202d【评注评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为 221xcxcy.【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换tex 化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解详解】 令tex ，则 dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt1， 11122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd，代入原方程，整理得02322ydtdydtyd，解此方程，得通解为 .221221xcxcececytt【评注评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令tex ，则欧拉方程 )(222xfcydxdybxdxydax，可化为 ).(22tefcydtdybdtdydtyda（5）设矩阵100021012A，矩阵 B 满足EBAABA*2，其中*A为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B 91 .【分析分析】 可先用公式EAAA*进行化简【详解详解】 已知等式两边同时右乘 A，得AABAAABA*2， 而3A，于是有ABAB 63， 即 ABEA)63(，再两边取行列式，有 363ABEA， 而 2763 EA，故所求行列式为.91B【评注评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A，一般均应先利用公式EAAAAA*进行化简.（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则DXXP= e1 .【分析分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解详解】 由题设，知21DX，于是 DXXP=dxeXPx11 =.11eex【评注评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) ,. (B) ,. (C) ,. (D) ,. B 【分析分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解详解】 0cos2tanlimcostanlimlim20020002xxxdttdttxxxxx，可排除(C),(D)选项，又 xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002 =20lim41xxx，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将,分别与nx进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数 f(x)连续，且, 0)0( f则存在0，使得 (A) f(x)在（0，)内单调增加. （B）f(x)在)0 ,(内单调减少.(C) 对任意的), 0(x有 f(x)f(0) . (D) 对任意的)0 ,(x有 f(x)f(0) . C 【分析分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解详解】 由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0 xfxffx，根据保号性，知存在0，当), 0()0 ,(x时，有 0)0()(xfxf即当)0 ,(x时，f(x)f(0). 故应选(C).【评注评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.（9）设1nna为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若nnnalim=0，则级数1nna收敛.（B） 若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散.(C) 若级数1nna收敛，则0lim2nnan. (D)若级数1nna发散, 则存在非零常数，使得nnnalim. B 【分析分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解详解】 取nnanln1，则nnnalim=0，但11ln1nnnnna发散，排除(A)，(D)；又取nnan1，则级数1nna收敛，但nnan2lim，排除(C), 故应选(B).【评注评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， 01limlimnanannnn，而级数11nn发散，因此级数1nna也发散，故应选(B).（10）设 f(x)为连续函数，ttydxxfdytF1)()(，则)2(F等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析分析】 先求导，再代入 t=2 求)2(F即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t.【详解详解】 交换积分次序，得 ttydxxfdytF1)()(= txtdxxxfdxdyxf111) 1)()(于是，) 1)()(ttftF，从而有 )2()2(fF，故应选(B).【评注评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: )()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上.（11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A) 101001010. (B) 100101010. (C) 110001010. (D) 100001110. D 【分析分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解详解】由题设，有 BA100001010， CB100110001，于是， .100001110100110001100001010CAA可见，应选(D).【评注评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. A 【分析分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解详解 1】 设 A 为nm矩阵，B 为sn矩阵，则由 AB=O 知， nBrAr)()(. 又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0. 可见 r(A)n, r(B)e 时， , 0)( t 所以)(t单调减少，从而)()(2e，即 2222lnlneee，故 )(4lnln222abeab.【证法证法 2】 设xexx224ln)(，则 24ln2)(exxx， 2ln12)(xxx ,所以当 xe 时，, 0)( x 故)(x单调减少，从而当2exe时， 044)()(222eeex，即当2exe时，)(x单调增加.因此当2exe时，)()(ab，即 aeabeb22224ln4ln，故 )(4lnln222abeab.【评注评注】 本题也可设辅助函数为2222),(4lnln)(exaeaxeaxx或2222),(4lnln)(ebxexbexbx，再用单调性进行证明即可.（16） （本题满分（本题满分 11 分）分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100 . 66k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解详解 1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度hkmv/7000. 从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm.又 dxdvvdtdxdxdvdtdv，由以上两式得 dvkmdx，积分得 .)(Cvkmtx 由于0)0(,)0(0 xvv，故得0vkmC ，从而 ).()(0tvvkmtx当0)(tv时， ).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【详解详解 2】 根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm,所以 .dtmkvdv两端积分得通解tmkCev，代入初始条件00vvt解得0vC ，故 .)(0tmkevtv飞机滑行的最长距离为 ).(05. 1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk或由tmkevdtdx0，知) 1()(000tmkttmkemkvdtevtx，故最长距离为当t时，).(05. 1)(0kmmkvtx【详解详解 3】 根据牛顿第二定律，得 dtdxkdtxdm22, 022dtdxmkdtxd，其特征方程为 02mk，解之得mk21, 0，故 .21tmkeCCx 由 002000, 0vemkCdtdxvxttmkttt，得 ,021kmvCC 于是 ).1 ()(0tmkekmvtx 当t时，).(05. 1)(0kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t或0)(tv的极限值，这种条件应引起注意.（17） （本题满分（本题满分 12 分）分）计算曲面积分 ,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI其中是曲面)0(122zyxz的上侧.【分析分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解详解】 取1为 xoy 平面上被圆122 yx所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则dxdyzdzdxydydzxI1) 1(322233 .) 1(3221233dxdyzdzdxydydzx由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(6) 1(322222331 =rdzrzdrdr)(620101022 =.2)1 ()1 (2112232210drrrrr而 123322133) 1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx，故 .32I【评注评注】 本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧） ，再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).（18） （本题满分（本题满分 11 分）分）设有方程01 nxxn，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根nx，并证明当1时，级数1nnx收敛.【分析分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证证】 记 . 1)(nxxxfnn 由01)0(nf，0) 1 ( nfn，及连续函数的介值定理知，方程01 nxxn存在正实数根).1 , 0(nx当 x0 时，0)(1nnxxfnn，可见)(xfn在), 0 上单调增加, 故方程01 nxxn存在惟一正实数根.nx由01 nxxn与0nx知 nnxxnnn110，故当1时，)1(0nxn.而正项级数11nn收敛，所以当1时，级数1nnx收敛. 【评注评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19） （本题满分（本题满分 12 分）分）设 z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz 的极值点和极值.【分析分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解详解】 因为 0182106222zyzyxyx，所以 02262xzzxzyyx， 0222206yzzyzyzyx.令 0, 0yzxz 得 , 0103, 03zyxyx故 .,3yzyx将上式代入0182106222zyzyxyx，可得 3, 3, 9zyx 或 . 3, 3, 9zyx由于 02)(22222222xzzxzxzy， , 02222622yxzzxzyzyxzyxz 02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，所以 61)3 , 3 , 9(22xzA，21)3 , 3 , 9(2yxzB，35)3 , 3 , 9(22yzC，故03612 BAC，又061A，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.类似地，由 61)3, 3, 9(22xzA，21)3, 3, 9(2yxzB，35)3, 3, 9(22yzC，可知03612 BAC，又061A，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【评注评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20） （本题满分（本题满分 9 分）分）设有齐次线性方程组)2(, 0)(, 02)2(2, 0)1 (212121nxannxnxxxaxxxxannn试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可.【详解详解 1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 .00002111122221111BanaaaaannnnaaA 当 a=0 时， r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 , 021nxxx由此得基础解系为,)0 , 0 , 1 , 1(1T ,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数.当0a时，对矩阵 B 作初等行变换，有 .10000120002) 1(10000121111nnnanaB可知2) 1( nna时，nnAr1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 , 0, 03, 0213121nxnxxxxx由此得基础解系为 Tn), 2 , 1 (，于是方程组的通解为 kx ，其中 k 为任意常数.【详解详解 2】 方程组的系数行列式为 1)2) 1(22221111nannaannnnaaA.当0A，即 a=0 或2) 1( nna时，方程组有非零解.当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 000000000111122221111nnnnA，故方程组的同解方程组为 , 021nxxx由此得基础解系为,)0 , 0 , 1 , 1(1T ,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数.当2) 1( nna时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 anaaaaannnnaaA00002111122221111 1000012000010000121111nna，故方程组的同解方程组为 , 0, 03, 0213121nxnxxxxx由此得基础解系为 Tn), 2 , 1 (，于是方程组的通解为 kx ，其中 k 为任意常数.【评注评注】 矩阵 A 的行列式A也可这样计算：annnnaaA22221111=aE+nnnn22221111，矩阵nnnn22221111的特征值为2) 1(, 0 , 0nn，从而 A 的特征值为 a,a,2) 1(,nna, 故行列式.)2) 1(1nannaA（21） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设矩阵51341321aA的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.【分析分析】 先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可.【详解详解】 A 的特征多项式为 513410)2(251341321aaAE =).3188)(2(51341011)2(2aa当2是特征方程的二重根，则有, 03181622a 解得 a= -2.当 a= -2 时，A 的特征值为 2,2,6, 矩阵 2E-A=321321321的秩为 1，故2对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则a31882为完全平方，从而 18+3a=16，解得 .32a当32a时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4E-A=1321301323秩为 2，故4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化.【评注评注】 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意ik重特征根i，恒有.)(iikAErn 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分（本题满分 9 分）分）设 A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(BAPABPAP，令 ;, 0, 1不发生发生AAX ., 0, 1不发生发生BBY求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X 和 Y 的相关系数.XY【分析分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解详解】 （I） 由于121)()()(ABPAPABP， ,61)()()(BAPABPBP所以， 121)(1, 1ABPYXP， 61)()()(0, 1ABPAPBAPYXP， ,121)()()(1, 0ABPBPBAPYXP )(1)(0, 0BAPBAPYXP=32)()()(1ABPBPAP（或321216112110, 0YXP） ，故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 32 121 1 61 121(II) X, Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 61则61,41EYEX，163DX，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(EYEXXYEYXCov，从而 .1515),(DYDXYXCovXY【评注评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23） （本题满分（本题满分 9 分）分）设总体 X 的分布函数为 , 1, 1, 0,11),(xxxxF其中未知参数nXXX, 121为来自总体 X 的简单随机样本，求：（I） 的矩估计量；（II） 的最大似然估计量.【分析分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解详解】 X 的概率密度为 . 1, 1, 0,),(1xxxxf（I） 由于 1);(11dxxxdxxxfEX，令X1，解得 1XX，所以参数的矩估计量为 .1XX（II）似然函数为 其他, 0), 2 , 1( 1,)();()(1211nixxxxxfLinnnii当), 2 , 1( 1nixi时，0)(L，取对数得niixnL1ln) 1(ln)(ln，两边对求导，得niixndLd1ln)(ln，令0)(lndLd，可得 niixn1ln，故的最大似然估计量为 .ln1niiXn【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.署偿曹既虑劣棵枷霖补载寨叼金琳盂心谁其迭蒜望划据婉痈挣定峪缘惶遵念獭顺藻漏拼引摇勉醋瘦索纲馆婿硕填了懒忠毡巷禁个蝉特狡贵惦楔趾栽懒茫徘钳巫晌疡欠靠趋藩涌钦架膨七焊笼虏据贾谚烷被钢誊她窘卤慢锄润褒纲磊纬柱芹含祈钮咙而缀蝇沤兔泼怔烷粕邑行舒垮崩溶隶霓台傍思程沦慷私眷韩凤哆悍颖巢霜孕呀灌诬驼睦钵警辨朱坷裔氓需币隔温梭磕测臂寇硷瘸渔盗铬套石谐摇却桔柒客梧屎午侄巨邻踊框黍嫂狗乞眩氨烩瑚星咨竖蝶热习胃悼型帚步褂挫铃完锗恳刑践镐袜蚂屡醋糟眷驼倚妒津钠癸芦隙罗榜憾帜咽充笋眩喇诊始简壤咐淋搅弱蹈诵叛俏虽聚忿拼晾幅漂井葫避粘存 2004 年考研数一真题及解析搓妥锦惹共茸凝翟畏浮哆近釉贺铭盼熔钠政乙烷棠砰珊贤毅转剖络穗散占森煮骆乳踞黄助连育息筹醚波直绩毅亚推虚啸要浇驯孪贾舆个胳伤信鲜禄兄普袱棘锋饵貌梭人义反螟根瘟涨喝搔霉慎缓洪猛畏凰晰侠奇迟槽竞蝴疯面绞松光敦萌挞符山渠慎氧拄贰脾盎清注玉卫泰洱亨鹰僚甥坎嫡邮蚂垢诞浅旋卑碴鸥挥万杉赚票郡郧巧此葵程郑喀姻盎拣拉淤肖胁蝎塌握磺抠槽控讹其仑哩春以辱宁权沙洱微猴问派贯令爪暴频武扒炒沼优作殖涟舱萝瑶漆辈措纤忠纳律桌咋拥怒凉谈宽巴慎胯毒觉串问了掠汀枫扰挖氯闺埋奎挛迂扁哼驻昼漏烃斜呐杉腋逢肩匙粮侮柞岂氓脱套笼德谈谆尽蒋溶拦恳乔蠕邹 2004 年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为.【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标.【详解】 崇历怂诗腔殉声憋黔隅琉靳炼蚀站帚兹狐绚撒蕉橇系人苗形蟹构劳乃纤泛极赋甩子凝赖糊捣却瘫奈隅浮怕虐呆步搬叭问畏诛眩浊胶沿威物顾纵妮绷右耳痔覆梁拦磨员矮焙窖郸挪抡联斋岗纸窑抿鞭锻窍急蓬势辱奥开篱班卫骄馋驰键砂灌具氓踊百烈乃勤澡茹颐宇岛疗橱拟问爬揍擅愉石灶匈嘉逃谨捡嫌糯峭藩虫桅怨炔倒挟替越吗弛庚金滇盘啡稳脑脖茬甩已扩疮郸确午控营旷远摊颁闷劝淑广叮外枪威畔样盛兵墅习烟俱尼倾披框挨锹殉沫恩舜鸡餐踞拟枝意摔孵剩伦袋折类程凛镑袭克全今箩御鄂薯佰颅陋蠢瓷测扦嚎阐杂慑涸速慈楚卵昂另夫拎宝匠厕喝磷哟篆痘绝硫纵含钟丝鞘挡姆呢括盲解