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参数方程)圆锥曲线的参数方程)直线的参数方程参数t的几何意义及应用渐开线与摆线)圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角的意义，要分清椭圆上一点的离心角和这点与坐标原点连线倾斜角的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求Sxy的最大值和最小值【解】椭圆y21的参数方程为(为参数)故设动点P(cos ，sin )，其中0,2)因此Sxycos sin 2(sincos cossin )2sin()当时，S取得最大值2.当时，S取得最小值2.直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义直线l过点P0(4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2y27相交于A，B两点，(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长【解】将直线l的参数方程代入圆的方程，得(4t)2(t)27，整理得t24t90.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29.故|AB|t2t1|2.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9，切线长|P0T|3.参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围(2013三门峡质检)如图21，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：图21(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.【解】(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为，tan ，sin ，cos ，直线l的参数方程为(t为参数)直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，则(15)248(50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|.(2)|AB|t2t1|.因此线段AB的长为.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数，且00)，求点P到直线l距离的最大值【解】(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x(04cos )2cos ，y(04sin )2sin ，所以点P的坐标为(2cos ，2sin )，因此点P的轨迹的参数方程为(为参数，且02)，消去参数，得点P轨迹的直角坐标方程为x2y24.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为xy10.又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线xy10的距离为，所以点P到直线l距离的最大值为2.曲线的参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用求方程4x2y216的参数方程 .(1)设y4sin ，为参数；(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数【解】(1)把y4sin 代入方程，得到4x216sin216，于是4x21616sin216cos2.x2cos .由于参数的任意性，可取x2cos .因此4x2y216的参数方程是(为参数)(2)设M(x，y)是曲线4x2y216上异于A的任一点，则k(x0)，将ykx4代入方程，得x(4k2)x8k0.易知A(0,4)也适合此方程另有一点所求的参数方程为(k为参数)和综合检测(二)第二讲参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013周口质检)下列点不在直线(t为参数)上的是()A(1,2)B(2，1)C(3，2) D(3,2)【解析】直线l的普通方程为xy10，因此点(3,2)的坐标不适合方程xy10.【答案】D2圆的参数方程为，(为参数，02)，若Q(2,2)是圆上一点，则对应的参数的值是()A.B.C.D.【解析】点Q(2,2)在圆上，且02，.【答案】B3直线(t为参数)的斜率为()A2 B2 C. D【解析】直线的普通方程为2xy80，斜率k2.【答案】B4已知O为原点，当时，参数方程(为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为()A. B. C. D.【解析】当时，x，y，kOAtan ，且00.解之得2b0.由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|AP2|t1|t2|t1t2|4(2)【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13双曲线(是参数)的渐近线方程为_【解析】化参数方程为普通方程，得y2x21.故其渐近线为yx，即xy0.【答案】xy014直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：，(为参数)和曲线C2：1上，则|AB|的最小值为_【解析】消参数得曲线C1的标准方程为(x3)2(y4)21，将1化为直角坐标方程为x2y21，两圆的圆心距为5，故|AB|的最小值为5113.【答案】315(2013焦作调研)直线(t为参数，且0)，与圆(为参数)相切，则此直线的倾斜角_.【解析】将参数方程化为普通方程，直线yxtan ，圆(x4)2y24，如右图所示，sin ，则或.【答案】或16(2013湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_【解析】由已知可得椭圆标准方程为1(ab0)由sin()m可得sin cos m，即直线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22(a2c2)整理，得，故椭圆C的离心率为e.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(为参数，02)(1)求圆心和半径；(2)若圆O上点M对应的参数，求点M的坐标【解】(1)由(02)，平方得x2y24，圆心O(0,0)，半径r2.(2)当时，x2cos 1，y2sin .点M的坐标为(1，)18(本小题满分12分)已知曲线C：(为参数)(1)将C的方程化为普通方程；(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2xy的取值范围【解】(1)由C：得()2()21即1.(2)2xy8cos 3sin sin()，(由tan 确定)2xy，2xy的取值范围是，19(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长【解】(1)由曲线C：得x2y216.曲线C的普通方程为x2y216.(2)将代入x2y216，整理，得t23t90.设A，B对应的参数为t1，t2，则t1t23，t1t29.|AB|t1t2|3.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1，C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2 B1的面积【解】(1)C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x. 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形故四边形A1A2B2B1的面积为.21(本小题满分12分)(2013新课标全国卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点【解】(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点22(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角，且)与曲线1交于A，B两点(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；(2)求|PA|PB|的最大值【解】(1)，(t为参数，为倾斜角，且)，tan ，直线l的普通方程为xtan y2tan 0.直线l通过的定点P的坐标为(2,0)(2)l的参数方程为椭圆的方程为1，右焦点坐标为P(2,0)，3(2tcos )24(tsin )2480，即(3sin2)t212cos t360.直线l过椭圆的右焦点，直线l恒与椭圆有两个交点，t1t2，由直线参数方程t的几何意义，|PA|PB|t1t2|，0，且，则0sin21，因此|PA|PB|的最大值为12.最新精品语文资料
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