知识讲解正态分布理

正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1 概念：对于连续型随机变量 X，位于x轴上方，X落在任一区间（a, b内的概率等于它与 x轴、直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其作为图象的函数f （x）叫做X的概率密度函数。2、 概率密度函数所取的每个值均是非负的。 夹于概率密度的曲线与 x轴之间的 平面图形”勺面积为1P（a ： X : b）的值等于由直线 x = a , x = b与概率密度曲线、x轴所围成的 平面图形的面积。要点二、正态分布1. 正态变量的概率密度函数,（x-P）21 - 2 2 .一 正态变量的概率密度函数表达式为：甲Rq/x）二-e （XJ R） , （口七c）yj2G其中x是随机变量的取值；为正态变量的期望；二是正态变量的标准差.2 .正态分布（1）定义b如果对于任何实数 a,b（avb）随机变量X满足：P（a 0,卩 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【变式3】如图是三个正态分布XN （ 0 , 0.25 ） , 丫N （ 0, 1 ）, ZN （0 , 4）的密度曲线，则三个随机变量X, Y, Z对应曲线分别是图中的 _【答案】。【变式4】已知正态总体落在区间0.2，二的概率是0 5，那么相应的正态曲线在x=时达到最高点。【答案】0.2。由于正态曲线关于直线 x I对称，由题意知=0.2。类型三、正态分布的计算例3 已知随机变量E服从正态分布N（2 , o2）,P（夫 4）= 0.84，则 P（轧 0并（)A 0.16B.0.32C. 0.68D.0.84【思路点拨】可画出正态曲线，禾U用正态曲线的对称性解决。【解析】 P（学 4）= 0.84 ,尸 2 , P（EW 0）=P（p4）=1 0.84 = 0.16，故选 A.【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。举一反三:【变式1】（1） xLIn（0,1）,和二的值各是多少？ （ 2） xLIn（-1,9）,和二的值各是多少?【答案】（1） 比照 x L n（巴十）（ o）, x LI N）p时，卩=o, =1。（2） 比照 X L N （=二2）（二 o ）, X LI N（）时，=1 二2 =9，所以 J = 1,二=3。【变式2】在某次测量中，测量结果服从正态分布N（1,；2）（匚-0），若 在（0 , 1）内取值的概率为0.4，则匕在（0, 2）内取值的概率为【答案】0.8服从正态分布 N（152）,在(0, 1 )与(1 , 2)内取值的概率相同，均为0.4。在(0, 2)内取值的概率为 0.4+0.4=0.8。【变式3】设随机变量 XN ( 0 , 1),(1) P( av Xv 0)=P(0 v Xv a)(a0);(2) P(Xv 0)=0.5 ;(3) 已知 P(|X| v 1)=0.6826，则 P(Xv 1)=0.1587 ;(4) 已知 P(|X| v 2)=0.9544，则 P(X v 2)=0.9772 ;(5) 已知 P(|X| v 3)=0.9974，则 P(X 3)=0.9987。其中正确的有()A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】D;均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。例4.设N (1 , 22),试求：(1) P ( 1 ,)3;(2) P (3 v ,)5;(3) P ( 5【思路点拨】要求随机变量E在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值.【解析】N (1, 22), 卩=1 , =2 ,(1) P ( 1 v EW)3 =P (1 2 v EW 1+)=P (- v EM 匚)=0.683 .(2) T P (3v E)5 =P ( 3v E W1), P (3 v EW)51= 2【P(3 ：乞5) P(1 ：空 3)1P(1 4 ：乞 1 4) P(1 2 ：辽 1 2)1P(亠：)5 =P ( E W 3), P( _)二1 1 _p(_3 ：乞 5二1 1 _p(1 _4 ：乞 14)2 21 . 1=1P(二一2二：i2二)=(1 0.954)=0.023 .2 2【总结升华】在求随机变量E在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量E的取值转化到区间(二)、L -22二)以及(，-3二，3二)，然后利用在二)上的概率约为0.683，在(-2=丄川2二)上的概率约为0.954，在(、-2丄小2二)上的概率约为0.997 .举一反三:【变式 1 】X U N(2,25),求 P(_13 ：X 1) =p, P(10) p , P(1：0)_p ,故选Do【变式3】设X LI N(0,1) o(1 )求 P( 1 v X w 1); (2 )求 P(0 v X w 2。【答案】(1) X LI N(0,1)时，-；- -1 ,；-1, P(-1 :： X _1) ： 0.6826 o(2) 4 2b=2 ,4 +2b=2，正态曲线申。，刈关于直线x=0对称，11 P(0 ： X 乞 2) = P(-2 ： X 辽 2) ：0.9544 = 0.4772。22类型四、正态分布的应用【高清课堂： 正态分布405553例题3】例5.某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N ( 70 , 102),如果规定低于 60分为不及格，那么(1) 成绩不及格的人数占多少？(2) 成绩在8090分内的学生占多少？【思路点拨】本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.因为正态密度曲线关于直线x=y对称，故本题可利用对称性及特殊值求解.【解析】(1 )设学生的得分情况为随机变量X,则 XN ( 70 , 102),其中卩=70 , =10 .成绩在6080分之间的学生人数的概率为P ( 70 10 v XV 70+10 ) =0.683 ,1不及格的人数占X( 1 0.683 ) =0.1585 .2(2) P ( 70 20 V XV 70+20 ) =0.954 ,成绩在8090分内的学生占1 P( 50 V XV 90) P( 60 V XV 80)=0.1355 .2【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.举一反三：1【变式1】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布 N(4,)，问在一次正常的试验中，取1 000个零9件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？1 1【答案】T XN (4, ) ,尸4 , 0=.不属于区间(3,5)的概率为P(XW 3卅 P(X 5= 1 P(3 X5)=1 P(4 1X4 + 1)=1 P( 3 oX 卩+ 3 0=1 0.997 = 0.003 1 000 X 0.003= 3(个),即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.【变式2】(2015青岛二模)某班有 50名同学，一次数学考试的成绩 X服从正态分布 N ( 100, 102),已知P (100 X 110) =0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人。【答案】8考试的成绩E服从正态分布 N (110, 102)。考试成绩E关于E =110对称，/ P (100 E 110) =0.34, P( _120) =P(乞 100)二1 (1 0.34 2) =0.16 ,2该班数学成绩在 120分以上的人数为 0.16 X 50=8。故答案为：&【高清课堂：正态分布405553例题2】【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90 , 100)。(1) 试求考试成绩 X位于区间(70 , 110 )内的概率是多少？(2) 若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在(80 , 100 )之间的考生大约有多少人？【答案】 XN(90 , 100) ,-90,-100 =10。(1) A 2 - =90 2X 10=70, +2 二=90+2X 10=110 ,又正态分布 N( = ；2)在区间内取值的概率是 0.954 ,考试成绩 X位于区间(70 , 110 )内的概率约为 0.954 。（2）二=90 10=80 ,+ ；=90+10=100。2又正态分布 N（.S,；）在区间（-；，；）内取值的概率为 0.683 ,考试成绩 X位于区间（80 , 100 ）内的概率约是 0.683 ,这2000名考生中，成绩在（80，100 ）内的人数大约为 2000X 0.683疋1366 （人）。