新编高考数学文二轮专题复习：常考问题8平面向量的线性运算及综合应用

常考问题 8平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50 分钟)1(20 xx陕西卷)设 a，b 为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有 cosa，b1.即 a， b 0 或， 所以 ab.由 ab， 得向量 a 与 b 同向或反向， 所以a，b0 或，所以|ab|a|b|.答案C2已知向量 a 与 b 的夹角为 120，|a|3，|ab| 13，则|b| 等于()A5B4C3D1解析向量 a 与 b 的夹角为 120，|a|3，|ab| 13，则 ab|a|b|cos 12032|b|，|ab|2|a|22ab|b|2.所以 1393|b|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.答案B3(20 xx辽宁一模)ABC 中 D 为 BC 边的中点，已知ABa，ACb 则在下列向量中与AD同向的向量是()A.a|a|b|b|B.a|a|b|b|C.ab|ab|D|b|a|a|b解析AD12(ABAC)12(ab)，向量ab|ab|与向量AD是同向向量答案C4已知非零向量 a，b，c 满足 abc0，向量 a 与 b 的夹角为 60，且|a|b|1，则向量 a 与 c 的夹角为()A30B60C120D150解析因为 abc0，所以 c(ab)所以|c|2(ab)2a2b22ab22cos 603.所以|c| 3.又 ca(ab)aa2ab1cos 60 32，设向量 c 与 a 的夹角为，则 cosac|a|c|321 332.又 0180，所以150.答案D5(20 xx安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|OA|OB|OAOB2，则点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域的面积是()A2 2B2 3C4 2D4 3解析由|OA|OB|OAOB2，知 cosAOB12，又 0AOB，则AOB3，又 A，B 是两定点，可设 A( 3，1)，B(0，2)，P(x，y)，由OPOAOB，可得x 3，y233x，y236x.因为|1，所以|33x|y236x|1，当x0，3y 3x0，时，3y 3x6由可行域可得 S0122 3 3，所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积S4S04 3，故选 D.答案D6(20 xx新课标全国卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_解析由题意知： AEBD(ADDE)(ADAB)(AD12AB)(ADAB)AD212ADAB12AB24022.答案27(20 xx江西卷)设 e1，e2为单位向量，且 e1，e2的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为_解析a 在 b 方向上的射影为|a|cosa，bab|b|.ab(e13e2)2e12e216e1e25.|b|2e1|2.ab|b|52.答案528在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为_解析建立如图所示的直角坐标系，设 DCm，P(0，t)，t0，m，由题意可知，A(2，0)，B(1，m)，PA(2，t)，PB(1，mt)，PA3PB(5，3m4t)，|PA3PB|52（3m4t）25，当且仅当 t34m 时取等号，即|PA3PB|的最小值是 5.答案59 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB 的倾斜角为34，|OB|2，设AOB，2，34.(1)用表示点 B 的坐标及|OA|；(2)若 tan43，求OAOB的值解(1)由题意，可得点 B 的坐标为(2cos，2sin)在ABO 中，|OB|2， BAO4， B3434.由正弦定理， 得|OB|sin34|OA|sin B，即|OA|2 2sin34.(2)由(1)，得OAOB|OA|OB|cos4 2sin34cos.因为 tan43，2，34，所以 sin45，cos35.又 sin34sin34coscos34sin2235 22 45210，故OAOB4 221035 1225.10已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，C3，求ABC 的面积(1)证明因为 mn，所以 asin Absin B，即 aa2Rbb2R(其中 R 是ABC 外接圆的半径)， 所以 ab.所以ABC 为等腰三角形(2)解由题意，可知 mp0，即 a(b2)b(a2)0，所以 abab，由余弦定理，知 4c2a2b22abcos3(ab)23ab，即(ab)23ab40，所以 ab4 或 ab1(舍去)所以 SABC12absin C124sin3 3.11如图所示，A，B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的交点，点 P 在单位圆上，AOP(0)，C 点坐标为(2，0)，平行四边形 OAQP 的面积为 S.(1)求OAOQS 的最大值；(2)若 CBOP，求 sin26 的值解(1)由已知，得 A(1，0)，B(0，1)，P(cos，sin)，因为四边形 OAQP 是平行四边形，所以OQOAOP(1，0)(cos，sin)(1cos，sin)所以OAOQ1cos.又平行四边形 OAQP 的面积为S|OA|OP|sinsin，所以OAOQS1cossin 2sin4 1.又 0，所以当4时， OAOQS 的最大值为 21.(2)由题意，知CB(2，1)，OP(cos，sin)，因为 CBOP，所以 cos2sin.又 0，cos2sin21，解得 sin55，cos2 55，所以 sin22sincos45，cos2cos2sin235.所以 sin26 sin 2cos6cos 2sin6453235124 3310.