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11第六节第六节空间向量的应用空间向量的应用考点空间向量及其应用1(20 xx陕西，18)如图 1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD2，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图 2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值(1)证明在图 1 中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD2，所以BEAC，即在图 2 中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO，图 1从而BE平面A1OC，又在直角梯形ABCD中，ADBC，BC12AD，E为AD中点，所以BC綉ED，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC2，图2如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B22，0，0，E22，0，0，A10，0，22 ，C0，22，0，得BC22，22，0，A1C0，22，22 ，CDBE( 2，0，0)，设平面A1BC的法向量n n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则1110,0,n BCn AC 得11110,0,xyyz取n n1(1，1，1)；2210,0,n CDn AC 得2220,0,xyz取n n2(0，1，1)，从而 cos|cos|23 263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.2(20 xx天津，17)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD 5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长解如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M1，12，1，N(1，2，1)(1)证明依题意，可得n n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，MN0，52，0，由此可得MNn n0，又因为直线MN 平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)AD1(1，2，2)，AC(2，0，0)，设n n1(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则11110,0,n ADn AC即220,20.xyzx不妨设z1，可得n n1(0，1，1)设n n2(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则1220,0,n ABn AC 又AB1(0，1，2)，得20,20,yzx不妨设z1，可得n n2(0，2，1)因此有 cosn n1，n n2n n1n n2|n n1|n n2|1010，于是 sinn n1，n n23 1010.所以，二面角D1ACB1的正弦值为3 1010.(3)依题意，可设A1EA1B1，其中0，1，则E(0，2)，从而NE(1，2，1)，又n n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得 cosNE，n nNEn n|NE|n n|1（1）2（2）21213，整理得2430，又因为0，1，解得 72，所以，线段A1E的长为 72.3(20 xx江西，19)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值(1)证明在ABD中，因为E是BD的中点，所以EAEBEDAB1，故BAD2，ABEAEB3，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB3，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD，又因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)解以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C32，32，0，D(0， 3，0)，P0，0，32 ，故BC12，32，0，CP32，32，32 ，CD32，32，0.设平面BCP的法向量n n1 1(1，y1，z1)，则111130,223330,222yyz解得113,32,3yz 即n n1 11，33，23 .设平面DCP的法向量n n2(1，y2，z2)，则222330,223330,222yyz解得223,2.yz即n n2(1， 3，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 cos|n n1n n2|n n1|n n2|43169 824.4.(20 xx湖北，19)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l， 试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ12CP，记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sinsinsin.(1)解直线l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF 平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l 平面PAC，EF平面PAC，所以直线l平面PAC.(2)证明法一(综合法)如图 1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且lAC.因为AB是O的直径，所以ACBC，于是lBC，图 1已知PC平面ABC，而l平面ABC，所以PCl.而PCBCC，所以l平面PBC.连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角，即CBF.由DQ12CP，作DQCP，且DQ12CP.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP2PF，所以DQPF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQFD.连接CD，因为PC平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF.又BD平面PBC，有BDBF，知BDF为锐角，故BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即BDF，于是在 RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得sinCFDF，sinBFDF，sinCFBF，从而 sinsinCFBFBFDFCFDFsin，即 sinsinsin.法二(向量法)如图 2，由DQ12CP，作DQCP，且DQ12CP.连接PQ，EF，BE，BF，BD，由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量CA，CB，CP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CAa，CBb，CP2c，则有C(0，0，0)，A(a， 0， 0)，B(0，b， 0)，P(0， 0， 2c)，Q(a，b，c)，E12a，0，c，F(0，0，c)于是FE(12a，0，0)，图 2QP(a，b，c)，BF(0，b，c)，所以 cos|FEQP|FE|QP|aa2b2c2，从而 sin 1cos2b2c2a2b2c2.又取平面ABC的一个法向量为m m(0，0，1)，可得sin|m mQP|m m|QP|ca2b2c2，设平面BEF的一个法向量为n n(x，y，z)，所以由0,0,n FEn BF 可得10,20.axbycz取n n(0，c，b)于是|cos|m mn n|m m|n n|bb2c2，从而 sin 1cos2cb2c2.故 sinsinb2c2a2b2c2cb2c2ca2b2c2sin，即 sinsinsin.
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