塑性成形理论课后答案

第一章21-12 设物体内的应力场为 x6xy23c1x ，3 2 3 22c2xy ， xyc2yc3x y ，z yz zx 0 ，试求系数 c1， c2，解：由应力平衡方程的：xyzyxyyzxyzzxzyzx yx zx2226y 3c1x3c2y2c3xy 3c2xy 02c3x0解： Sx x l xy m xz n= 50 1 50 1 8021 50 40 2Syxy l y m1 zy n = 502175 225 37.5 21）即： 6 3c2 y 3c1 -c3 x 2 02c3 3c2 0（ 2）有（1）可知：因为 x 与 y 为任意实数且为平方， 因此， -6-3c2=03c1-c3=0联立（ 2）、（ 3）和（ 4）式得：即： c1=1，c2=2， c3=3要使（ 1）为零，必须使其系数项为零，505080（3）（4）1-13 已知受力物体内一点应力张量为：ij50075MPa, 求外法线方向余80753011弦为 l=m= ， n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。1 2.5 15 221Szxz lyz mz n= 80 21 75 2 30S=111.7J1=20J2=16025J3=-80625032 3-20 2-16025 +806250=0 方程具有三个不相等的实根！ 1=-138.2, 2=99.6, 3=58.61-14 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为100-100500-10-5-10a) ij0100MPa ；b) ij5000MPa ；c) ij-520-100100010-1006MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效 应力、应力偏张量及球张量。解： a）点的应力单元体如下图2）10-10a) ij10MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa，10-10主应力和主方向：1=20 MPa， l=22;m=0 ；2n=22=-10 MPa， l=m= n=03=0 MPa，l=2 ;m=0；2n= 22主剪应力 12=15 MPa ； 23= 5 MPa； 12=10 MPa最大剪应力 max=15 MPa八面体应力 8=3.3 MPa；8=12.47 MPa。 等效应力 26.45MPa 应力偏张量及球张量。20100 -100033401000MPa ； ij00332010-10 00033MPa；ijb) 点的应力单元体如下图ij5050MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，10主应力和主方向：1=10 MPa ，l=m= n=02=50 MPa ，2l= m= ; n=0；23=-50 MPa ，2l= m= ; n=0。2主剪应力 12=20 MPa；23=50 MPa；12=30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa 八面体应力 8=3.3 MPa； 等效应力87 .2 MPa应力偏张量及球张量。8=41.1 MPa 。101050 00033101050 0MPa ； ij00332010000033MPa；ijc) 点的应力单元体如下图-10 -5 -10ij -5 2 0 MPa 该点的应力不变量： J1=-18 MPa，J 2=33 MPa，J 3=230 MPa， -10 0 6主应力和主方向： 1=10 MPa， l=m= n=022=50 MPa， l= m=; n=0；23=-50 MPa ，2l= m= ; n=0。212= 20 MPa ； 23= 50 MPa； max=30 MPa主剪应力 最大剪应力 八面体应力 8=-6MPa ； 等效应力 =20.6MPa 应力偏张量及球张量。 12= 30 MPa8=9.7 MPa 。-16-5-10600-580 ； ij060-10012006x 方向均匀拉伸图 1-23 )，1-19平板在在板上每一点 x =常数，试问 y 为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。解：等效应力：图 1-23 (题 19)12 ( x y )2 (12 ( x y )2 ( y)2 ( x )2)2 ( xz )2 6 x2yy2zxz2令 y ()2 ( )2 ( )2 ，要使等效应力最小， 必须使 y 值最小，两边微分得：2( xy )dy2 y dydy 0xyy yydyy2 x - y 0 xy2yx等效应力最小值：min12 ( x y) ( y ) ( x) 3xxy第二章2 2 22-9设 x a(x2 2y2); y bx2; xy axy ，其中 a、b 为常数，试问上述应变场 在什么情况下成立？解：对 xa(x2 2y2)求y的 2次偏导，即：1)2对 y bx 求 x 的 2 次偏导，即：2 y2y 2bx2对 xy axy 求 x 和 y 的偏导，即：2 xyaxy带( 1)、(2)和( 3)入变形协调方程( 4)，得：1 2 x2 y2 xy( 2 2 )2 y x x y2)3)4)1（4a 2b） a即： a -b 时上述应变场成立。2-10 试判断下列应变场是否存在？（1） x xy2， y x2y ， z xy ， xy 0， yz 1 z2 y ， xz 1 x2 y2 22（ 2） x x y ， y y ， z 0 ， xy 2xy ， yz xz 01)解：对 x xy2、 y x2y和 z xy分别求 x、y或 z的 2次偏导，对 xy0、1 2 1 2 2yzz2 y 和 xzx2 y2 分别求 x、y和 z的2次偏导，则：222y22x,2 za)2y ,0；b)2z 0，2x22 z ； 2z0 ；y（c）2 xy2 yz2 xzxy 0，yz 0；xz 0（d）xyyzxz将（ a）、（ b）、（ c）和（ d）代入变形协调方程（ e）：1( 2 x y ) xy2( y2x2 ) x y1( 2 y2( z222 2z )2y2 yzyze）2 zxzx221( 2 z 2 x )222 x z则（ e）第一式不等，即： 1（2x 2y） 0 这说明应变场不存在。2 2 22）对 x x2 y2、 y y2和 z 0分别求 x、y 或 z 的 2 次偏导，对 xy 2xy 和yz xz 0 分别求 x、y 和 z的 2次偏导，2x2y2,2z2x 0；z2yy2x0,2y2y 0 ； z2z2x0，2y2z 0；y22xyxy2，2 yz 0 ； yzyz2 xz xz 0 xzxza）（b）（c）（d）1 22 y则： ( 2x2y )2 yx2xy1xy2 ，说明应变场不存在。2- 11 设物体中任一点的位移分量为u 10 10 3 0.1 10 3 xy 0.05 10 3z v 5 10 3 0.05 10 3 x 0.1 10 3 yz33w 10 10 3 0.1 10 3xyz求点 A（ 0.5， 1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。解：0.1 10 3 z3-0.1 10 3 xy zxyyx12( yux) 0.05 103x 0.025 10 3yz1(2z33) 0.05 10 3 y 0.05 10 3 xz yxzu 3 3) 0.025 10 3 0.05 10 3 yz z将点 A 的 x=0.5，y=1，z=0 代入上式，得点 A 的应变分量- 0.1 10 30.025 10 3对于点 A ：- 0.05 10-30.025 10 3- 0.05 10-30.05 10 3mAz) -16 10 4ijmAI1xyI25510 53-53 10 5- 5 10 53z -0.05 10 3( x y y z z x)-(2 xyyz2 zx2) -8.125 10 10-13I 3 2.5 10-133 I1 2 I 2 I3 0即： 3 1.5 10-4 2 - 8.125 10-10 2.5 10 13 01 8.3 10-5 ， 2 2.9 10-5 ， 3 -1.04 10 41 2 2 28 3 ( xy )2 ( y z)2 ( zx )2 6( xy yz zx )37.73 10 32 8 1.09 10 42- 12 物体中一点应变状态为：x 0.001， y 0.005， z -0.0001， xy 0.0008 ， yz 0.0006 ，xz0.0004，试求主应变。解：由题可知：10 8 - 4-48 50 6 10-4 - 4 6 -1I1x y z 5.9 103I2( x y y z z x)-(xy2 yz2 zx2 ) 3.24 10-6-9I 3 1.98 10-9即： 3 5.9 10-3 2 3.24 10-6 1.98 10-10 0解方程得主应变：-3 -3 31 6.4 10-3 ， 2 8.3 10-3， 3 3.7 10 32-13已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为Ux 1 3 x1 y ，x 4 200401 1 1U y 5 25 x 200 y ，试求该点的应变分量x, y, xy ，并求出主应变 1, 2的大小与方向。解：u x 0.015x-0.005xyyx1 u x(x2y) 0.0325I2 x y - xy 2 -1.13125 10-3I 3 0即： 3 1.0 10-2 2 -1.13125 10-30解方程得主应变：1-0.039,20.029, 301532.50l3900由：32.55010-3m029010-3得：000n00015l 32.5m3922lm1解这个方程得：m1=0.5575, m2=5.16 。由于m2=5.161，与方向余弦规定不符，因此，m1=0.5575 才是正确解。由此得： l=0.689 。即 1=-0.039 时，方向余弦为： l=0.689 ，m=0.5575 ，n=0。同理可求： 2=0.029 时，方向余弦为： l=0.8025 ，m=0.5966，n=0。第三章3- 6某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为x=75 ，y=15，z=0，xy=15（应力单位为 MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则：s 1 x y y z z x 6 x2yy2zx2zs 2 x y y z z x xy yz xz得该材料的屈服应力为：s 1 75 15 2 15 0 2 0 75 2 6 152 0 0 73.5MPa23- 7试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为：3 122232s2 123s2）即： 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 s 而：证明：由密席斯屈服准则： 1 2 2 3 2 2 1 3 2 2 s1）1222321 2 1 3 - 3 2s005s00a) ij000， b) ij05s000s004s材料为理想塑性材料）所以：（ 1）式与 （2）式相等。 3-8试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于 弹性还是塑性状态？1.2 s000.5 s00c) ij00.1 s0， d) ij000000000.6 ss0000.45 s0e) ij00.5 s0， f) ij0.45 s00001.5 s000解： a）由屈雷斯加屈服准则： 1- 3=s得： s-0=s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 - s 0.5 s 2 -0.5 s 1.5 s 2 -1.5 s s 2 0.75 s s存在。应力处于弹性状态。 1 2 3 2 1 3 s 。存在。应力处 于塑性状态。b）由屈雷斯加屈服准则： 1-3=s 得： -4s+5s =s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则1 0.5 s 0 1.33 s s不存在。d）由屈雷斯加屈服准则： 1-3=s得：0.5s+0.6s =1.1s s，不存在。 由密席斯屈服准则 0 0.6 s 2 -0.6 s 0.5 s 20.96 s s存在。应力处于弹性状态。1-3=s 得：-0.5s+1.5s=s=s，存在，应力处于塑性状态。e）由屈雷斯加屈服准则： 由密席斯屈服准则f）由屈雷斯加屈服准则：max=（1-3）/2=s/2 得： max =0.45s2 3，则：平均应力：m 1 1 2 3 9 4 2 5m 3 1 2 3 3应力偏量为：4 0 00 -1 00 0 -3由列维米赛斯增量理论 d ij ij d 得：d 1 1 d 4d d 2 2 d -d d 3 3 d -3d 主应变简图如图示：4-7 两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为 l，承受内压力 p 而产生塑性变形，管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。解：4-8 求出下列两种情况下塑性应变增量的比： 单向应力状态： 1s 纯剪力应力状态： ss / 3解：设 1 2 3，则：13 123s ，因此，应力偏量为：32s0由列维米赛斯增量理论 d ij ij d 得：2sd 1 s d13d 2 - s d23d 3 - s d33 塑性应变增量的比为：2sd1d2dd3-2,同 理 ：d 1s d d 2-2,d 2 1d2解：已知纯剪力应力状态： s s / 3应力张量为：303 s30d xy xysd3d yzsd3sd3塑性应变增量的比为：d xz xzd xyxyd yz yzxzd yzyz由列维米赛斯增量理论 d ij ij d 得：第六章1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为 5050mm，室温下压缩至高度 h=25mm，设 接触表面摩擦切应力 =0.2Y，已知 Y=7460.20MPa，试求所需变形力 P 和单位 流动压力 p。解：圆柱压缩时体积不变，则当 h=25mm 时，3503R 25 2 mm 。4 25H h 50 250.5H 50=0.2 Y =0.2 7460.20=129.9MPa 当=max， max=K=129.9MPa 由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为 =0.2Y，Y=7460.20MPa，设三个坐标方向的正应力 r、和 z 视为主应力，且 与对称轴 z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平 衡方程为：令 sin(d/2) d/2，并忽略二次微分项，则得由于轴对称条件， r=。此时平衡方程简化为dr1-1根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为r 2Kdr代入式1-1），得dr因此ln259.8C1e259.8e10.36( 25 2 r )所需变形力 P 为：zdsR10.36( 25 2 r)0 259.8 e2 rdr7.5 105压板上的平均单位压力用 p 表示，则1-2边界条件：当 r R时， r 0 。由近似屈服条件知，此时的 Z 2K ，代入方程 式（ 1-2），可得259.8R2K C1e h或259.8RC1 2Ke h代入式（ 1-2），得259.8（R r）z 2Ke h 1-3 因为： h=25，R= 25 2 ， K=129.9MPa2R2191.12 MPa2. 模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为 500kN，坯料尺寸为 5050100mm3，如 果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力 （如图 6-11）。图 6-11 （题 2） 解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h，宽度为 dx ，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿 x 轴坐标有 dx 的变量 是， x相应的变化量就可用微分 dx来表示。 y 方向上的压应力用 y表示。摩擦 力 f 的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p，如图所示。列出单元体的微分平衡方程：xh ( x d x)h 2f ydx 02-1h d x 2f y dx 0屈服条件为：y x 2k因此， d x d y将此式代入式（ 2-1）整理得d y 2f dx yh2f积分后得： ln y 2f x C yh2fxy C1e h 2-2 根据应力边界条件确定积分常数。应力边界条件为：当 x b/2 时， x=p。由屈服条件式，得 y x b/2 2k p代入式( 2-2)求系数 C1得：2f b2k p eh 2C12f ( b x)2k p e h 2 bb 02 yhdx 02 2k p e 已知锤头压力 P为 500kN，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力 p 3. 圆柱体周围作用有均布压应力，如图 6-12。用主应力求镦出力 P 和单位流动 压力。，设 =mk因此： y2f b h ( 2 x ) h 2 hdx图 6-12 (题 3)解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力r 、和 z 视为主应力，且与对称轴 z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单 元体沿径向的静力平衡方程为：令 sin(d/2) d/2，并忽略二次微分项，则得dr2zh dr3-1根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为z r 2Kdrdz代入式3-1），得2mk zh dr因此ln z2mk r Cz C1e2mkr边界条件：当 r R 时，r= 0。由近似屈服条件知，此时的Z3-22K +0，代入方程式（ 3-2），可得2K 0C1e2mkRhC1 2K0 eR2mkh代入式（ 3-2），得2mk (R r)z 2K 0 e h3-3所需变形力 P 为：压板上的平均单位压力用 p 表示，则不考虑材料加Pp R25 试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。 工硬化）图 6-14 （题 5）r d r r drhdrrhd2 sind2 hdr解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力r、为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为：令 sin（d/2）d/2，并忽略二次微分项，则得5-1d r r dr将屈服条件 r=2K 代入上式得r 2Klnr C积分常数 C根据凸缘的外缘处（ r=R）的 r =0边界条件，得积分常数C 2K ln R 凸缘变形区的应力分布为：5-2r 2Kln R/r第七章7-10 解：已知90MPa，最大切应力为xcmC 2ksin2 C族是直线族， 族为一族同心圆， c 点的平均应力为： mc= K=60MPa。C 点应力为：30MPa2ycxyK cos2 C 090 60sinmC 2k sin 2 C由于 B 点在 族上，族是直线族，因此，所以 B 点应力状态和 C 点相同。 D 点在 族上， 族为一族同心圆，因此由沿线性质得：mcm d2k( c d )即：mdm c 2k( cd)90 2k 690 20D 点应力为：xdmd 2ksin2 C90 20 60sinydmd 2ksin2 C90 20 60sin5122.8MPa65182.8MPa6xyK cos2 C 60 cos -5 51.96D 点的应力莫尔圆图 7-2z7-11 试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷 P(图 7-36)。设冲头宽度为 2b，长为 l，且 l2b。解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料 之间无摩擦，因此 AO 区域可看成是光滑(无摩擦)接触表面，滑移线场和确定 、方向如图教材中图 7-10。AB 区域表面不受力， 可看成是自由表面，但受 AOD 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第 2 种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7-9b 所示，在均匀滑移线场 ADO 和 ABC 之间必然存在简单滑移 线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图 7-3z。(2) 求平均单位压力。取一条线 BCDO进行分析，由于 B点在自由表面上，故其单元体只有一个 压应力，由此可判断出 1c=0，根据屈服准则， 13=2k，因此， 3c=2k。而平 均应力 mc=(1c+3c)/2，可得 mB k 。已知 O 点在光滑接触表面上，因此 o/4 ，其单元体上承受冲头压力和 金属向两边流动的挤压力，即存在 x，y 作用，均为压应力，且 3=y=-p，其绝 对值应大于 x，根据屈服准则可得 1=x=-p+2k ，平均应力 mo=-p+k(3) 求角度。对线 BCDO 进行分析。接触面 AO 上的 O 点的夹角 o为 /4，在自由表 面 AB 上的 B 点的夹角 B 为 /4+。则=0-B=D-C=/4(/4+) =/2(4) 求极限载荷 由汉盖应力方程式mo mB 2k( oB) 2k得： p k ( k) 2k( ) k即： p k极限载荷 P为： P 2blp 2blk7-13 图7-37为一中心扇形场，圆弧是 线，径向直线是 线，若AB 线上m=-k， 试求 AC 线上 m。解：已知直线 AB 是 线，其上 m=-k，故 B点的 mB=-k，AC 线是 线，但 也是直线，直线上的 m相同，求出 C 点的 m，即得到 AC 线上 m。C点的 m 可通过圆弧 BC 求，已知圆弧 BC 是 线，由汉盖应力方程式mC mB 2k( C B) 2k即： mC ( k) 2kmC 6mC k 1mC 3即 AC 线上 m 为：7-14具有尖角 2的楔体，图7-38在外力 P作用下插入协调角度的 V 型缺口， 试按 1)楔体与 V 型缺口完全光滑和 2)楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场， 求出极限载荷。第一种情况：楔体与解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之 间无摩擦，因此 AB 区域可看成是无摩擦接触表面， 滑移线场和确定 、方向如 图教材中图 7-10。AE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受 ABC 区域金属 流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、方向如 图如图 7-9b所示，在均匀滑移线场 ABC 和ADE 之间必然存在简单滑移线场， 由 此确定出具有尖角 2的楔体在外力 P 作用下插入完全光滑的 V 型缺口时的滑移 线场，如图 7-4z。(2)求平均单位压力和角度。AB 面是光滑接触表面上， 因此 B /4 。由于垂直于 AB 面的压应力大 于平行于 AB 面的压应力，因此，可以确定平行于 AB 面的压应力为 1，垂直于 AB 面的压应力为 3=-p ，根据屈服准则， 13=2k，因此， 1=2k+3=2k-p，而 平均应力 mB=(1+3)/2，可得 mB k-p。AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出1E=0，根据屈服准则，13=2k，因此，3E=2k。而平均应力 mE=(1E+3E)/2，可得 mE k 。E/4。(3)求极限载荷已知 BCDE 线为 线，由汉盖应力方程式mBmE2k( B E )得： p k ( k) 2k( ) 2k44第二种情况：楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场图 7-5z 解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为 p且均匀分布，由于楔体与 V 型缺口完全粗糙，故可认 为冲头下坯料为变形刚性区。 AE 区域表面不受力， 可看成是自由表面， 但受 ABC 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7-9b 所示，三角形 ABC 和 ADE 存在简单滑移线场， 由此确定出具 有尖角 2的楔体在外力 P 作用下插入完全粗糙的 V 型缺口时的滑移线场，如图 7-5z。(2)求平均单位压力和角度。AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出1E=0，根据屈服准则，13=2k，因此，3E=2k。而平均应力 mE=(1E+3E)/2，可得 mE k 。E/4，三角形 ABC 是难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力， AC 面 是摩擦接触表面上，垂直于 AB 面的压应力大于平行于 AB 面的压应力作用，不 发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。 CD 为线， C /4 。由于垂直于 CD 面的压应力大于平行于 CD 面的压应力， 因此，可以确定平行于 CD面的压应力为 1，垂直于 CD 面的压应力为 3=-p，根 据屈服准则， 13=2k，因此， 1=2k+ 3=2k-p，而平均应力 mc=(1c+3c)/2，可 得 mc= k-p 。(3)求极限载荷已知 CDE 线为 线，由汉盖应力方程式mC mE2k( cE)得： k p ( k) 2k( ) 2k7-15 何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为 2b 的窄长平面冲头压入半无限体的 单位流动压力 p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为 K ；参见图 7-39。解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间 无摩擦，因此 AB 区域可看成是无摩擦接触表面， 滑移线场和确定 、方向如图 教材中图 7-10。BE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受 ABC 区域金属流 动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定、 方向如图如图 7-9b所示，在均匀滑移线场 ABC 和 BDE 之间必然存在简单滑移线场， 由此 确定出宽度为 2b 的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图 7-6z。(2)求平均单位压力和角度。AB 面是光滑接触表面上， 因此 A/ 4。由于垂直于 AB 面的压应力大于平行于 AB 面的压应力，因此，可以确定平行于 AB 面的压应力为 1，垂直于 AB 面的压应力为 3=-p，根据屈服准则， 13=2k，因此， 1=2k+ 3=2k-p，而平均 应力 mA=(1+3)/2，可得 m A k- p。BE 面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出1E=0，根据屈服准则， 1 3=2k ，因此， 3E= 2k。而平均应力 mE=(1E+3E)/2，可得 mE=-k。E/4。(3)求极限载荷已知 ACDE 线为 线，由汉盖应力方程式mA mE 2k( AE )得： k p ( k) 2k( )44即： p 2k 12第八章8-7 模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图 8-19所示。试分别计算其上限载图 8 19（题 8）解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19 所示的第一个图pV oHAB VABsin8 2 4Vo sin2 8 2 2 sin 8 2Vo四个刚性区 A、B、C和 D 相对滑动，刚性区 O为死区，其速度图如图 8-1z 若冲头的宽度为 2b，平均极限压力为 P，根据功率平衡原理，可得： pVoHABVABACVACBCVBCCDVCDk2 2 22Vo 2Vo2Vo2Vo k2 o o 2 o 2 o5VokP = 2.5k12 2sin22 V ok8o（2）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图 8-19 所示的第 2 个图。 四个刚性区 A、B、C和 D 相对滑动，刚性区 O为死区，其速度图如图 8-2z 若冲头的宽度为 2b，平均极限压力为 P，根据功率平衡原理，可得：p 1.98k（3）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图 8-19所示的第 3 个图。 四个刚性区 A、B、C和 D 相对滑动，刚性区 O为死区，其速度图如图 8-3z。若冲头的宽度为 2b，平均极限压力为 P，根据功率平衡原理，可得：pV oH AB VAB AD V2Vo 2 2V o k4VokP = 2k显然第（ 2）种方法的答案最接近实际结果，因此第（ 2）种方法最优。8-8 试绘出图 8-20 所示板条平面应变拉拔时的速端图，并标明沿各速度不连续线 的速度不连续量的位置，及计算出刚性三角形块 BCD 的速度表达式。解：五个刚性区 ABC、 CBD、CDE 和 DE 线右边和 AB 线左边相对滑动， 其速度图如图 8-4z。VABsin根据功率平衡原理，可得：VoVABsin sinsinV V AB sin sinVo sin sin sin sinVBCDV 0 VV0V o sin sin sin sinVosin sinsin sin8-10在如图 8-22 所示的正挤压过程中， 假设模子面是光滑的， 刚性块为图中的 A、 B、C，其界面为速度间断面，试用上限法求单位变形力 p。图 8-22 （题 11）解：三个刚性区 A、B、C 相对滑动，其速度图如图 8-5z根据功率平衡原理，可得pVoH AB VAB BC V BC kV ohcos sinHVoHV oHcossinocosVocos1 sin cos sin1in cos两边同除以 HVo，得单位变形力 p：p11sin cosksin cos2k1 1 tan2tan8-11挤压给定的分区如图 8-23 所示，试给出相应的速度图， 并用上限法求解作用 在冲头上的平均压力的近似值，设材料真实应力为 ，不考虑加工硬化。图 8-23 （题 12）解：三个刚性区 A、B、D 相对滑动，刚性区 O 为死区，其速度图如图 8-6z根据功率平衡原理，可得1yfl siii( - mcsin( H)4J矿 +(H)2y/ H。+ (H h _ /)*h + lpVqH = Qh】+(h_”_/)_(n).h + lH(h+r)力G + D2225 s 5 s * 1 2 -4 s 5 s 2 -5 s 4 s 2存在。应力处于塑性状态。c）由屈雷斯加屈服准则： 1-3=s得：1.2s-0 =1.2s s，不存在。 由密席斯屈服准则1 21 2 23 2 21 3 21 1.2 s 0.1 s 2 0.1 s 0 2 0 1.2 s 22 2 sin 2V o8