函数值域求法初探---毕业论文

函数值域求法初探-毕业论文 标题函数值域求法初探 作者李 莎 莎 关键词函数值域求法思想 指导老师韩 最 德 专业数学教育 正文1引言函数是中学数学的重要的基本概念之一它与代数式方程不等式三角函数微积分等内容有着密切的联系应用十分广泛函数的基础性强概念多是高考的重点和难点在数学应用中常常要用到函数的值域而对于函数值域的求法现行的教材教参中均未系统给出许多杂志报刊也只是浅谈并未系统的给出不同函数的值域的求法致使学生在做关于函数值域方面的题目的时候无从下手若能给定不同函数值域的求法则有利于补充教材存在的不足充实完善教材内容并能为教师的教学提供参考依据从而减少教师收集教学材料的时间同时也能为学生的自主学习提供材料让他们充分了解求解不同函数的值域所适用的方法在做到有关函数值域习题的时候能够得心应手这也就是我选择此课题的重要原因就目前的研究现状而言一些数学工作者对函数值域求法的研究已取得了重要的进展例如刘明伟提供的求解函数值域的几种常见的方法江善宏浅谈函数值域的求法徐加生对二次分式函数值域的探讨李兰萍对复合函数值域的研究娄晓阳借助方程思想求解分式函数的值域等等都推进了函数值域求法的研究但是前人的研究都是以方法为载体将方法分类学生在解决关于函数值域的题目时自主选择方法由于学生不能正确掌握不同函数的求解方法致使解题出现困难因此本文在前人研究的基础上主要解决以函数为载体将函数分类解决不同函数值域的不同的求解方法本文搜集了前人关于函数值域的研究重点讨论一元一次函数一元二次函数三角函数分式函数复合函数无理函数及超越函数值域的求解方法对于不同的函数其值域的求解方法往往是不同的我们应该养成读题思考分析比较筛选的思维过程灵活运用观察法图像法配方法判别式法最值法换元法反函数法导数法等方法求解不同函数的值域2求函数值域的常用方法简介在求解函数值域时我们通常运用观察法图像法配方法判别式法最值法换元法反函数法导数法等方法求解其中观察法解题简单快捷常用于求解一元一次函数及简单的一元二次函数的值域图像法清晰明了凡能作出图像的函数均可用图像法求解在求解分段函数值域时首选图像法求解配方法在求解二次函数值域中运用颇多在把函数关系化为二次方程Fxy0时由于方程有实数解故其判别式为非负数此时运用判别式法求解反函数法及常数分离法都常用于求解分式函数的值域换元法是利用换元思想将一些复杂的函数或者无理函数转化为二次函数通过求二次函数的最值确定原函数的值域利用数形结合的思想在求解函数值域时运用颇多最为常见的是运用直线斜率公式求解复合函数值域单调性法也常用于求解复合函数值域3函数值域的求法31一元一次函数值域的求法一元一次函数是比较简单的函数其值域可以从函数的定义域出发根据对应法则通过简单的计算凭观察直接得到其值域也可以利用其图像得到它的值域因此对于求解一次函数的值域宜使用观察法和图像法例1 求函数y2x-3x23的值域解法一观察法x232x-313即y13函数y2x-3x23的值域为13解法二图像法函数y2x-3x23的图像为由图像可得函数y2x-3x23的值域为1332一元二次函数值域的求法当所给函数是二次函数时可以利用配方法求函数值域其要点是将函数式化成一个完全平方式与一个常量的和利用二次函数的最值求需要注意的是使完全平方式等于零的x的取值必须在函数的定义域内否则就可能产生错误所以在求解过程中应注意x的取值范围例2求函数yx24x2x35的值域解yx24x2-x-226由x35得-x-226-35即y-35函数yx24x2x35的值域为-35注在此题中若不注意函数定义域的取值范围则会错误的得到函数的值域为-6因此我们在使用配方法求解函数值域的时候一定要注意其定义域范围当定义域发生改变时函数的值域常常会受到影响33三角函数值域的求法在求解三角函数的值域时一定要灵活运用sin2x2sinxcosxcos2x2cos2x-11-2sin2xcos2xsin2x1等公式及掌握六种基本三角函数的图像并且注意sinx-11cosx-11将原函数化简成为简单函数后再求其值域特别要注意函数的定义域通常情况下定义域的改变会引起值域的改变在所给函数比较复杂的情况下有时也可采取均值不等式法求解例3求函数ysin2x sinxsinx90的值域解ysin2x sinxsinx901-cos2x2 sinxcosx1-cos2x2 sin2x2-cos2x2 sin2x212 sin2x-3012xRsin2x-30-11sin2x-3012-1232即函数ysin2x sinxsinx90的值域为-1232变式求函数ysin2x sinxsinx90x0120的值域解ysin2x sinxsinx901-cos2x2 sinxcosx1-cos2x2 sin2x2-cos2x2 sin2x212 sin2x-3012x01202x-30-30210sin2x-30-121sin2x-3012032即函数ysin2x sinxsinx90x0120的值域为032例4求函数ysin2x-2sinx21-sinx的值域解由题意得sinx-11ysin2x-2sinx21-sinxsinx-1211-sinx1-sinx11-sinxsinx-111-sinx0y1-sinx11-sinx2当且仅当1-sinx11-sinx即sinx0时等号成立函数ysin2x-2sinx21-sinx的值域为234分式函数值域的求法对于分式函数通常要我们求的是yaxbcxd或者yax2bxcmx2nxp形式分式函数值域对于前者我们最常使用的是反函数法或者常数分离法在使用反函数法求解时原函数的一定要存在反函数通过求出原函数的反函数再求出其定义域则其反函数的定义域就是原函数的值域在使用常数分离法时关键是把yaxbcxd化简成为yfhcxdfh均为常数的形式再根据给定的定义域求出其值域对于后者将原函数转化为自变量的二次方程应用二次方程根的判别式通过判别式法确定出原函数的值域当yax2bxcmx2nxp中a0时也可以采用均值不等式法求解例5求函数yx1x2的值域解法一反函数法显然函数yx1x2的反函数为 x12yy1函数x12yy1定义域为yy1yR故函数yx1x2的值域为yy1yR解法二常数分离法由题意得函数yx1x2的定义域为xx2xR且yx1x211x21x2011x21即y1函数yx1x2的值域为yy1yR例6求函数y2x22x3x2x1的值域解由y2x22x3x2x1得xR将y2x22x3x2x1化为y2x2y2xy-301当y2时方程1无解故y2不满足条件当y2时由y224y2y30解得2y103综上得函数y2x22x3x2x1的值域为y2y103注在做此类题目时把函数关系化为二次方程Fxy0由于方程有实数解故其判别式为非负数可求得函数的值域但一定要注意讨论二次项系数是否为0在此题中若错误的认为二次项系数不为0则会得到值域为y2y103这一错误答案这一错误也是很多人容易犯的例7求函数y16x1x32x-1的值域解x-1x10且y0y16x1x3216x1x124x1416x144x12当且仅当x14x1时即x1时等号成立故函数y16x1x32x-1的值域为02注在利用均值不等式解题时一定要注意均值不等式的适用条件及等号成立的条件35无理函数值域的求法对于求解无理函数的值域通常采用换元法将无理函数转化为二次函数通过求出二次函数的最值从而确定出原函数的值域有时也可以利用函数单调性求解或者采取求导法求解根据函数单调性及导数性质确定函数值域例8求函数yx-3的值域解设tt0则xt2-12于是yt2-12-3tt122-412-4-72所以原函数的值域为yy72例9求函数的值域解要使函数有意义必须满足x30且1-x 0-3 x 1又是随x的增大而增大的是随x的增大而减小的故函数在-31上是增函数而f-3-2 f1-2-2 f-3 fx f12即函数的值域是-22注利用单调性求函数的值域是在函数给定的区间上或求出函数隐含的区间结合函数的增减性求出其函数在区间端点的函数值进而可确定函数的值域例10求函数y的值域解由y得y2x42x-4令y0解得x-23当y0时即x-23时此时函数y单调递增当y0时即x-23时此时函数y单调递减故x-23时y取得最小值5原函数的知域为yy5注对于形如函数yabcdef均为常数且满足ax2bxc0dx2exf0均可利用求导数的方法求解找出其最大或最小值从而确定其值域36复合数值域的求法对于复合函数值域的求解可利用观察法求解运用数形结合的方法得到函数的值域也可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域还可以利用二次函数的思想求解一般情况下所给的复合函数都比较复杂仅仅采取一种方法求解是比较困难的这时我们就必须将多种方法相结合以此求出所给函数的值域例11求函数yx1的值域解原函数化为-2x1x-1y 3-1x2 2x-1x2它的图象如右图所示显然函数值y3所以函数值域3