导数应用(导数好题解析版)

（导数的应用教学目标掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行教学重点及相应策略分类总结 .导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.教学难点及相应策略熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.掌握典型例题的典型方法.在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知教学方法建议识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A 类（ 3）道（ 3）道（10）道选材程度及数量B 类（ 5）道（ 3）道（10）道C 类（ 3）道（ 3）道（10）道知识梳理1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果f ( x) 0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递增；如果 f (x)0 ，那么函数 yf ( x) 在这个区间内单调递减.如果 f (x) 0，那么函数 yf ( x) 在这个区间上是常数函数 .注：函数 yf ( x) 在（ a,b）内单调递增，则f ( x) 0， f (x)0 是 yf ( x) 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件 .2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数y f ( x)在点x0处连续时，判断f (x0 )是极大（小）值的方法是：（ 1）如果在 x0 附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0 ，那么 f (x0 ) 是极大值（ 2）如果在 x0 附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0 ，那么 f (x0 )是极小值注：导数为 0 的点不一定是极值点（知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（ a,b）内，如果f(x)0，那么函数yf ( x) 在这个区间内单调递增；如果f (x) 0 ，那么函数 yf ( x) 在这个区间内单调递减.如果 f ( x)0 ，那么函数 yf ( x)在这个区间上是常数函数 .注：函数 yf ( x) 在（ a,b）内单调递增，则f ( x)0 ， f (x)0 是 yf (x) 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件 .【例 1】（B 类）（2011朝阳期末）已知函数f ( x)x3bx 2cxd 的图象过点 P(0,2) ，且在点 M(1,f (1) 处的切线方程为 6xy70 .（）求函数yf ( x) 的解析式；（）求函数yf ( x) 的单调区间 .【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上. 函数 f ( x) 在区间 a,b 上递增可得：f ( x) 0 ；函数 f ( x) 在区间 a,b 上递减可得：f ( x)0 .【解析】（）由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ，知 d2 ，所以 f ( x)x3bx 2cx2 .所以 f ( x)3x22bxc .由在 M(1,f ( 1) 处的切线方程是6 xy70 ，知 6 f ( 1)7 0 ，即 f ( 1)1 ， f ( 1) 6 .32bc6,2bc3,c3 .所以1bc21.即c0.解得 bb故所求的解析式是 f ( x) x33x23x2 .（）因为 f ( x)3x26x3 ，令 3x26x3 0 ，即 x22x 10 ，解得 x112 ， x21 2 .当 x 12 或 x 12 时， f ( x)0 ，（当 12x12 时， f (x)0 ，故 f ( x)x33x 23x 2 在 ( ,12内是增函数，在 12,12 内是减函数，在1 2,) 内是增函数 .【例 2】（A 类）若f (x)3x 在区间 1,1上单调递增，求a 的取值范围 .ax【解题思路】利用函数f ( x) 在区间 a,b 上递增可得：f (x) 0 ；函数 f (x) 在区间 a,b 上递减可得：f( x)0 .得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】f( x)3ax21 又 f (x) 在区间 1,1上单调递增f ( x)210 在 1,1上恒成立即 a12 在 x 1,1时恒成立 .3ax3x11a故 a 的取值范围为 3,3a【例 3】（B 类）已知函数f ( x)ln x ,设()(a0) ,F ( x)f (x) g( x)g xx（）求函数F (x) 的单调区间；（）若以函数yF ( x)( x(0,3) 图像上任意一点P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率1k 恒成立，求实数 a 的最小值；2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值 .【解析】（ I ） F xfxg xln xa x0， F x1ax ax 0xxx2x2 a0 ，由 F x0xa,， Fx在 a,上单调递增 .由 F x0x0,a， Fx 在0,a上单调递减 . Fx的单调递减区间为0,a ，单调递增区间为a,.（ II ） F xx a0x 3 ，x2k F x0x0a0x 3恒成立a1 x2xx02200max当 x01时，1 x02x0 取得最大值1.22（11 a， amin= .22【课堂练习】1. （ B 类）（山东省烟台市2011 届高三上学期期末考试试题（数学文）已知函数f ( x)ax 3bx 2 的图像经过点M (1,4) ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线x9 y0 垂直 .（）求实数a, b 的值；（）若函数f (x) 在区间 m, m 1上单调递增，求m 的取值范围 .【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间 m, m1上单调递增，即 m, m 1为函数的递增区间的子集 .【解析】（） f (x)32 ab4axbx 的图象经过点 M (1,4) f ( x)3ax22bx ， f (1)3a2b由已知条件知f (1) (1 )1 即3a 2b99ab4a1解2b得：33a9b（）由（）知f (x)x33x2 ， f(x)3x26x令 f (x) 3x26x0 则 x2 或 x 0函数 f ( x) 在区间 m, m1 上单调递增 m, m 1(, 20,) m 0 或 m 12 即 m 0 或 m 32（ B 类）设函数 g( x)1 x 2 1 ax 2bx(a, bR) ，在其图象上一点P（ x， y）处的切32线的斜率记为f (x).（ 1）若方程 f ( x)0有两个实根分别为2和 4, 求f (x) 的表达式；（ 2）若 g( x)在区间 1,3上是单调递减函数,求 a2b 2 的最小值 .【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间 -1,3 上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化 .（【解析】（ 1）根据导数的几何意义知f ( x)g (x)x 2axb由已知 -2、4 是方程 x 2axb0的两个实根24aa2x22x8由韦达定理，24bb, f (x)8（ 2） g (x) 在区间 1， 3上是单调递减函数，所以在 1， 3区间上恒有f (x)g ( x)x2ax b0,即 f (x)x2axb 0在 1,3恒成立这只需满足f (1)0ab 1f (3)即可 ,也即b3a90而 a2b2可视为平面区域ab1 内的点到原点距离的平方 ,b3a9其中点（ 2， 3）距离原点最近，所以当a2时, a 2b2 有最小值 13b 33（.A 类）已知函数f (x)1 x2mln x(m1)x ， mR 当 m0 时，讨论函数 f (x)2的单调性 .【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】f ( x)mx2(m 1)xm( x 1)(x m)x( m 1)x，xx（ 1）当1m 0时，若 x 0,m 时,f ( x)0, f (x) 为增函数；xm,1 时 ,f (x)0, f (x) 为减函数；x1,时,f (x)0, f (x) 为增函数（ 2）当 m1时， x0,1 时, f ( x) 0, f (x) 为增函数；x1,m 时 , f ( x)0, f ( x) 为减函数；xm,时, f (x)0, f (x) 为增函数知识点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：（1.求函数的极值的步骤 :(1) 确定函数的定义域，求导数f (x) .(2) 求方程 f ( x)0的根 .(3) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f ( x) 在这个根处无极值 .2.求函数在 a,b 上最值的步骤： （ 1）求出 f ( x) 在 (a, b) 上的极值 .（ 2）求出端点函数值f (a), f (b) .（ 3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注: 可导函数 yf (x) 在 xx0 处取得极值是f ( x0 )0 的充分不必要条件 .【例 4】（A 类）若函数 f ( x)mcos x1 sin 2x 在 x4处取得极值 ,则 m.2【解题思路】若在x0 附近的左侧 f ( x)0 ，右侧 f (x)0 ，且 f ( x0 ) 0,那么 f ( x0 ) 是f ( x) 的极大值； 若在 x0 附近的左侧 f (x)0 ，右侧 f ( x)0 ，且 f ( x )0 ,那么 f ( x0 )0是 f (x) 的极小值 .【解析】因为 f ( x) 可导 ,且 f ( x)m sin x cos2x ,所以 f ( )msincos0 ,1 sin 2 x 在 x442解得 m0 .经验证当 m 0 时 , 函数 f ( x)处取得极大值 .24【注】若 f ( x) 是可导函数，注意f( x0 )0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的必要条件.要确定极值点还需在 x0 左右判断单调性 .【例 5】（B 类）（2011 北京文 18）已知函数f xx k ex ，（I ）求 f x 的单调区间； （ II ）求 fx 在区间0,1 上的最小值 .【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.【解析】（ I ） f / ( x) ( x k 1)ex，令 f / (x) 0x k1 ；所以 f x 在 (, k1) 上递减，在 ( k 1,) 上递增；（II ）当k10,即 k1时，函数fx在区间0,1上递增，所以f ( x) minf (0)k；当 0k1 1 即 1 k2 时，由（ I）知，函数 fx 在区间0,k 1 上递减， (k1,1上递增，所以f (x)minf (k1)ek 1；当k11,即 k2时，函数fx在区间0,1上递减，所以f (x)minf (1) (1k)e.【例 6】（B 类）设 x1, x2 是 fxa ln xbxx 函数的两个极值点 .（ 1）试确定常数a 和 b 的值；（ 2）试判断 x1, x2 是函数 fx 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（ 1） f xa2bx 1,xf由已知得：fa2b10210a1 a3204b1012b6（ 2） x 变化时 . f ( x), f ( x) 的变化情况如表：x（0， 1）1（ 1，2）2f ， x0+0fx极小值极大值52 处，函数 f42 ln 2故在 x 1处，函数 f x 取极小值 6 ；在 xx 取得极大值 33.【课堂练习】f (x)1 x31 x22ax( 2 ,)4.（ A 类）（2011 江西理 19）设32.若 f ( x) 在 3上存在单调递增区间，求 a 的取值范围 .【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.(2),【解析】 f ( x) 在 3上存在单调递增区间，2即存在某个子区间(m, n)(3, )使得 f ( x)0 .（f (x)x2x 2a(x1 ) 212a由24，f ( x) 在区间 2) 上单调递减，则只需23,f( 3)0即可 .f (2)22a0a1由39解得9 ，a1(29 时， f ( x), )所以，当在3上存在单调递增区间 .5.（ B 类）（ 2011 陕西文 21）设 f ( x)ln x ， g( x)f ( x)f( x) g (1（1）求 g( x) 的单调区间和最小值；)（ 2）讨论 g (x) 与x的大小关系；【解题思路】（ 1）先求出原函数f ( x) ，再求得 g (x) ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值； （ 2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（ 3）对任意 x 0成立的恒成立问题转化为函数g (x) 的最小值问题1x1【解】（ 1）由题设知f (x)ln x, g( x)ln xx ， g ( x)x2, 令 g (x)0 得 x =1，当 x （ 0， 1）时， g (x) 0， g (x) 是减函数，故（ 0， 1）是 g(x) 的单调减区间 .当 x （ 1， +）时， g (x) 0， g( x) 是增函数，故（ 1， +）是 g (x) 的单调递增区间，因此， x =1 是 g(x) 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g( x) 的最小值为 g(1) 1.111h (x)( x 1)2g( )ln x xh( x) g( x) g( ) ln x xx2(2)x，设xx ，则，当 x1 时， h(1)0 ，即g( x) g ( 1)(0,1)(1,) 时， h ( x)0 ，x ，当 xg (x)1因此， h(x) 在 (0,) 内单调递减，当 0 x1时， h(x)h(1) 0 ，即g( ).x（6.（ C 类）（ 2011 全国文 20）已知函数 f (x)x33ax 2(36a) x12a4( a R)( )证明：曲线 yf (x)在 x0 的切线过点 (2,2) ；（）若 f (x)在 xx0处取得极小值， x0(1,3) ,求 a 的取值范围 .【解题思路】在某点处取得极值可得f ( x0 )0 .【解析】 ( ) f (x) 3x26ax(3 6a) ， f (0)3 6a ，又 f (0)12a4曲线 yf ( x)在 x0的切线方程是：y(12a4)(3 6a)x ，在上式中令x2 ，得 y2 .所以曲线 yf ( x)在 x0 的切线过点 (2,2) ；（）由 f( x)0 得 x22ax 12a0 ，（ i）当21 a21时， f ( x) 没有极小值；(ii) 当 a21或 a2 1 时，由 f (x)0 得x1aa22a 1, x2aa22a 1故 x0x2 .由题设知 1aa22a13 ，当 a21时，不等式1aa22a13 无解；a25a21当 a21时，解不等式 1a2a13 得2(521)得 a 的取值范围是,综合 (i)(ii)2.【例 7】（A 类） 当 x0 时，求证 ex1x【解题思路】先移项,再证左边恒大于0【解析】设函数f ( x)ex(1 x)f ( x)ex1当 x0时， exe01，f(x)ex10 故 f (x) 在 0,) 递增，当 x0时， f ( x)f (0) ,又 f (0)e0(10)0 ， f (x) 0 ，即 ex1(x) 0，故 ex1x .【注】 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数， 借助于函数的单调性来（证明【例 8】（C 类）（2010辽宁文）已知函数 f ( x)(a1) ln xax 21.（）讨论函数f ( x) 的单调性；（）设 a2，证明：对任意x1 , x2(0,) ， |f ( x1 )f ( x2 ) |4 | x1 x2 |.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性【解析】 ( ) f(x)的定义域为 (0,+ )， f (x)a 12ax2ax2a 1x.x当 a0时， f (x) 0，故 f(x)在 (0,+)单调增加；当 a 1 时， f ( x) 0, 故 f(x)在 (0,+)单调减少；当 1 a0时，令 f(x) 0,解得 x=a 1a1f ( x) 0；2a.当 x(0,)时 ,2aa 1， +) 时， f ( x) 0, 故 f(x)在（ 0,a1a1x(2a）单调增加，在（，2a2a+ ）单调减少 .( )不妨假设x1x2.由于 a 2,故 f(x)在（ 0， +）单调减少 .所以 f ( x1 )f ( x2 )4 x1x2 等价于 f ( x1 )f (x2 )4x14x2 ,即 f (x2 ) 4x2f ( x1 ) 4x1令 g (x)f (x) 4x ,则g (x)a 1 2ax +4 2ax24 xa1.xx于是 g ( x) 4x2x4x1 (2 x1)2 0.x从而 g( x) 在（ 0， +）单调减少，故 g(x1)g(x2 ) ，故对任意 x1,x2 (0,+)， f ( x1 )f ( x2 )4 x1x2 .【例 9】（C 类）设函数f ( x)(xa)2 x, aR .（( )若 x1 为函数 yf ( x) 的极值点，求实数a ；（）求实数a 的取值范围，使得对任意的x (,2 ，恒有f ( x) 4成立 .【解析】 ( )f (x)(xa)(3xa)f (1)(1a)(3a)0a 1 或 a 3，检验知符合题意（） ( xa)2 x4 在 x (, 2 时恒成立当 x0时，显然恒成立当 0 x 2时由 ( xa)2 x4 得 ax2在 x (0, 2时恒成立x2ax2(0, 2 时恒成立x在 x xx令 g (x)x2 , h( x)x2 , x (0, 2，xxg(x)x2在(0,2 单调递增 g (x)maxg(2)22xh (x)11xx1xxxx0 x1 时， h(x) 单调递减， 1x2时 h( x) 单调递增 h(x)minh(1)322a3【课堂练习】7（ C 类）已知函数f ( x)x1a ln x （ aR ）3.求 f(x) 的单调区间；4.证明： ln x 0， f(x) 在 (0,) 上递增当 a0时，令 x2ax1 得 x24a2 x4a20 解得：x12a22a a2 1, x22a22aa21，因 x10（舍去），故在 (0,2 a22a a2 1)上 f (x) 0， f(x) 递增 .（2）由（ 1）知 g( x)x1ln x 在 (0,222) 内递减，在 (22 2,)内递增. g (x) ming (222)12ln(222)故x1ln x12ln(22 2)，又因 2225e2故12ln(222)12ln e22 10 ，得x 1ln x8.（ C 类）（全国卷理 20）已知函数f ( x)( x1)ln xx1 .（）若 xf (x)x2ax1 ，求 a的取值范围；（）证明： ( x1) f ( x)0 .【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题 ,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.f( x)x 1ln x11ln xx f ( x)xl n x , 1【解析】（）xx ，题设 xf( x)x2ax1 等价于 ln xxa .令 g( x)ln xx ，则g (x)11x当 0x1 ， g ( x)0 ；当 x1 时， g( x)0 ， x1 是 g ( x) 的最大值点，g( x) g(1)1，综上， a的取值范围是1,.( )有（）知， g( x) g (1)1 即 ln xx 10 .当 0x1 时， f ( x)( x 1)lnxx1x ln x(ln x x1)0 ；（ln xx(ln x1 1)当 x1 时， f ( x) ln x ( x ln x x 1)xln xx(ln 111)0xx所以 (x 1) f ( x) 09.（ C 类）设函数 f ( x)1x3(1a) x24ax24a ，其中常数 a13( )讨论 f(x) 的单调性 ; ( )若当 x0时， f(x)0恒成立，求 a 的取值范围 .【解题思路】 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.【解析】（ I ） f ( x)x 22(1a)x4a ( x2)( x2a)由 a1知，当 x 2时， f ( x)0，故 f ( x) 在区间 (,2) 是增函数；当 2x2a 时， f(x)0 ，故 f (x) 在区间 ( 2,2a) 是减函数；当 x2a 时， f (x)0 ，故 f ( x) 在区间 (2a,) 是增函数 .综上，当 a1 时， f ( x) 在区间 (,2) 和(2a, ) 是增函数，在区间(2,2a) 是减函数 .（ II ）由（ I ）知，当 x0 时， f ( x) 在 x2a或 x0 处取得最小值 .f (2a)1( 2a) 3(1a)( 2a) 24a2a24a4 a334a 224af (0)24 a3a1a1,4 a(a 3)(a由假设知f (2a)0,即6) 0, 解得1a6f (0)0,324a0.故 a 的取值范围是（1， 6）【例 11】（ C 类） ( 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂， 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A和城 B 的总影响度为城A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km ，建在 C 处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与（所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 B 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在的中点时， 对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离 ;若不存在，说明理由 .【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】解法一 :（ 1）如图 ,由题意知ACBC, BC 2400x2 , y4k(0x20)Cx2x2400x其中当 x 102 时， y=0.065, 所以 k=9AB49所以 y 表示成 x 的函数为 y2 (0x20)x2400 x（2）y49,y 89(2x)18 x48(400x2 ) 2,令y 0得x2400x2x3(400x2 )2x3 (400x2 ) 218 x48(400x2 )2,所以x2160, 即x410,当 0x410时 ,18 x48(400x2 ) 2, 即 y 0所以函数为单调减函数,当46x20时 ,18 x48(400x2 )2,即 y 0 所以函数为单调增函数.所以当 x4 10时,即当 C 点到城A的距离为 410 时,函数y49x2 (0x20)有最小值 .x2400【课堂练习】10某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80立方米，且l2r 假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3) 千元，设该容器的建造费用为y 千元（）写出y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r （【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】（ I ）设容器的容积为V ，由题意知 Vr 2l4r 3 ,又 V80,33V4 r3804420故l3(r )r 23r 23 r3r 2由于 l2r因此 0r2.y 2 rl 3 4 r2c 2 r420r ) 3 4 r2c,所以建造费用3 (r 2因此 y 4(c2)r 2160,0r2.r1608(c2)20（ II ）由（ I ）得 y 8(c2)r(r 3c),0r2.r 2r 22由于 c 3,所以 c 20,当 r3200时, r320c2