材料力学：第 5 章弯曲内力

可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理第第 5 章章 弯曲内力弯曲内力单辉祖编著：材料力学 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学2第 5 章 弯曲内力 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 刚架与曲梁的弯曲内力本章主要研究: :可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学3 1 引言 2 梁的约束与类型 3 剪力与弯矩 4 剪力、弯矩方程与图 5 FS , M 与 q 间的微分关系 6 刚架与曲杆的内力可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学41 引 言 弯曲实例弯曲实例 弯曲及其特征弯曲及其特征可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学5 弯曲实例弯曲实例可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学6 弯曲及其特征弯曲及其特征外力或外力偶矢量垂直于杆轴外力或外力偶矢量垂直于杆轴变形特征杆轴由直线变为曲线杆轴由直线变为曲线弯曲与梁以轴线变弯为主要特征的变形形式以轴线变弯为主要特征的变形形式弯曲以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件梁外力特征画计算简图时，通常以轴线代表梁画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学72 梁的约束与类型 约束形式与反力约束形式与反力 梁的类型梁的类型可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学8 约束形式与反力约束形式与反力主要约束形式与反力 固定固定铰支座：铰支座：支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动可动铰支座：铰支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端端：支反力支反力 FRx , FRy与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学9 梁的类型梁的类型 简支梁简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁具有一个或两个外伸部分的简支梁 悬臂梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁常见静定梁静不定梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学103 剪力与弯矩 剪力与弯矩剪力与弯矩 正负符号规定正负符号规定 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 例例 题题可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学11 剪力与弯矩剪力与弯矩 剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩FS剪力剪力M弯矩弯矩可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学12 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方向转动的剪力为正向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹形的弯矩为正形的弯矩为正使横截面顶部受使横截面顶部受压的弯矩为正压的弯矩为正可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学13一侧一侧)(1S niiFF 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 0 , 0S1FFFFAyy1S FFFAy 0)( , 0e1MbFabFMMAyCe1)( MabFbFMAy 一侧一侧)(1 niCimM在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向与切开截面正与切开截面正 FS 相反相反的外力为正，的外力为正，与正与正 M 相反的外力偶矩为正相反的外力偶矩为正可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学14 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 计算方法与步骤为截面形心为截面形心，计算弯矩计算弯矩由由CMMC 0 S 0 FFy计算剪力计算剪力由由 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学15 例例 题题 例 3-1 计算横截面计算横截面E、横截面横截面A+与与 D-的剪力与弯矩。的剪力与弯矩。解：0 , 0S AyEyFFFFFAy2 FFBy3 FFFAyA2S FMMAyA eFl FFD S00 FMDFFFAyE2S 2elFMMAyE 0 02 , 0 eAyECMlFMM可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学164 剪力、弯矩方程与图 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 例例 题题可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学17 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程)(SSxFF )(xMM FS , M 沿杆轴（沿杆轴（x轴轴）变化的解析表达式变化的解析表达式剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程2qlFFByAy qxFFAy S)(0lx 2xqxxFMAy )(0lx qxqlF 2S222xqxqlM 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学18 剪力与弯矩图剪力与弯矩图表示表示 FS 与与 M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化情况轴）变化情况的图线，分别称为的图线，分别称为剪力图剪力图与与弯矩图弯矩图2)( ,2(0)SSqllFqlF 二次抛物线二次抛物线直线直线qxqlF 2S222xqxqlM 画剪力图 画弯矩图土建等类技术部门画法土建等类技术部门画法可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理 例例 题题例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图解：1. 支反力计算支反力计算2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程)(0 ,1S1axlbFFFAy )(0 ,2S2bxlaFFFBy )(0 ,1111axxlbFxFMAy )(0 ,2222bxxlaFxFMBy AC 段段CB 段段lbFFAylaFFBy可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学203. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图11xlbFM 22xlaFM lbFF S1laFF S2 剪力图剪力图: 弯矩图弯矩图: 最大值最大值:lFabM max时）时）（ maxS,ablbFF 4. 讨论讨论在在 F 作用处作用处, 左右横截面上左右横截面上的的弯矩相同弯矩相同, 剪力值突变剪力值突变FFF 左左右右SS可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学21解：1. 支反力计算支反力计算2 2qaM,qaFCCy 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程AB 段段BC 段段)(0 11S1axqxF )(0 2S2axqaF )(0 21211axqxM )(0 22222axqaqaxM 例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学223. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图4. 讨论讨论在在 Me 作用处，作用处，左右横截面左右横截面上上的的剪力相同，弯矩值突变剪力相同，弯矩值突变eMMM 左左右右1S1qxF qaF S22211qxM 2222qaqaxM 剪力图：剪力图： 弯矩图：弯矩图： 剪力弯矩最大值剪力弯矩最大值:22maxqaM maxSqaF 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学23例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩解：1. FS 与与 M 图图lFlFAy)( lFlFFAy)()(S lFFMAy 1)(2. FS 与与 M 的最大值的最大值FFF)0(SmaxS,42maxFllMMlFM 21d)(d02l 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学245 载荷集度、剪力与弯矩间的微分关系 FS , M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与 M 图图 例例 题题 微分关系法要点微分关系法要点可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学25 FS ，M 与与 q 间的间的微分关系微分关系(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b) 0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22ddq 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意：梁微分平衡方程可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学26均布载荷下 FS 与 M 图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学272. 计算支反力、剪力与弯矩计算支反力、剪力与弯矩lMFFByAye q=0，FS 图图水平直线，水平直线，M 图图直线直线 求求 FSA+ 画画 FS 图图 求求 MA+ 与与 MB- 画画 M 图图应用利用微分关系画梁的剪力与弯矩图利用微分关系画梁的剪力与弯矩图1. 问题分析问题分析lMFFAyAeS eMMA 0 BM可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学28lMFAeS eMMA 0 BM3. 画剪力图画剪力图4. 画弯矩图画弯矩图FS 图图水平直线水平直线M 图图斜直线斜直线lMFemaxS emaxMM 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学29 例例 题题例 5-1 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图斜线斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160解：1. 形状判断形状判断2. FS 与与 M 计算计算可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学3013 2 DDxlx83lxD 1289 832838322qllqlqlMD 9ql2/1283. 画画FS与与M图图可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学31例 5-2 画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图解：1. 问题分析问题分析 组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 承受集中载荷承受集中载荷, FS 与与 M 图图由由直线直线构成构成2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 2. 受力分析受力分析可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学32特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零3. 画画 FS 图图水平直线水平直线4. 画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学33解: 1. 外力分析外力分析20RlqF 60lqFAy 30lqFBy 例 5-3 建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图画剪力弯矩图, 用微分关系校核用微分关系校核2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程lxqxlqF00S26 32600 xlxqxxlqM 200S26xlqlqF 30066xlqxlqM lxqxq0)( 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学34200S26xlqlqF 30066xlqxlqM 3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 2 次抛物线次抛物线 3 次曲线次曲线q0l2/(9 3)026200S xlqlqF3/lxC 396620300lqxlqxlqMCCC 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学354. 利用微分关系检查利用微分关系检查 FS 与与 M 图图FS 图图二次抛物线二次抛物线M 图图三次曲线三次曲线 xqxFdddd2S2 q 渐减，渐减，q 0FS 图图凸曲线凸曲线0dd22 qxMM 图图凸曲线凸曲线 FS = 0 处处, M 图存在极值；图存在极值；q = 0 处处, FS 图存在极值图存在极值baxq 可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学36 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的形状图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等计算各梁段起点、终点与极值点等截面的截面的剪力剪力与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩剪力与弯矩图图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由图一定由直直线所构成线所构成 在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，由其二阶导数的正负确定由其二阶导数的正负确定 微分关系法要点微分关系法要点可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学386 刚架与曲杆的内力 刚架内力刚架内力 曲杆内力曲杆内力 例题例题可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学39 刚架内力刚架内力刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构 限制相连杆端截面间的相限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移对线位移与角位移 可传力，也可传递力偶矩可传力，也可传递力偶矩刚架内力一般存在三内力分量一般存在三内力分量轴力轴力FN; 剪力剪力FS ; 弯矩弯矩M可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学40 例例 题题解：1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yAxFMF /2 ,qaFFqaFAyCyAx 2. 建立内力方程建立内力方程BC 段：段： ,2S1qaF AB 段：段： ,2S2qxF 2N2qaF 112xqaM 22222xqaqaM 例 6-1 试画刚架的内力图试画刚架的内力图可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学413. 画内力图画内力图2S2S1 ,2qxFqaF 2 , 0N2N1qaFF 2221122 ,2xqaqaMxqaM 弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受压一侧弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受压一侧弯矩图特点弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学42 曲杆内力曲杆内力曲杆未受力时，轴线即为曲线的杆件未受力时，轴线即为曲线的杆件曲杆内力 sinSFF cosNFF )cos(1 FRMM使杆微段愈弯的弯矩为正使杆微段愈弯的弯矩为正FS，FN正负符号规定同前正负符号规定同前 三内力分量三内力分量 正负正负符号规定符号规定与弯矩相对应的与弯矩相对应的点，画在横截面点，画在横截面弯曲时受压一侧弯曲时受压一侧 画弯矩图画弯矩图轴线轴线可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学43 例例 题题例 6-1 试绘图示刚架的弯矩图试绘图示刚架的弯矩图2)(2qxxM sin2)(2aqaqaM 解：)sin2(12)(2 qaM可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理Q Q过零处过零处, ,M M有极值有极值 端部铰及自由端处若无集中力偶则弯矩端部铰及自由端处若无集中力偶则弯矩必为零，否则为集中力偶之值必为零，否则为集中力偶之值 固定端处的剪力及弯矩通常不为零固定端处的剪力及弯矩通常不为零 剪力图在集中载荷处不连续，在其它部剪力图在集中载荷处不连续，在其它部分都连续分都连续 弯矩图在集中力偶处不连续，在其它部弯矩图在集中力偶处不连续，在其它部分都连续分都连续可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学49可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学50可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学51可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学52可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学53可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学54可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学55可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学56可靠性与系统工程学院可靠性与系统工程学院学生会整理学生会整理单辉祖：材料力学57本章结束！