资源描述
空间点、直线、平面间的位置关系知识能否忆起一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线l上)小题能否全取1(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A异面B相交C不可能平行 D不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab.与a，b是异面直线相矛盾2(20xx东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：选C错误，正确3已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线4(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_解析：连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案：605(教材习题改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为_解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条答案：51.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入例1(20xx湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点自主解答EF綊CD1，直线D1F和CE必相交设D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点而平面ABCD平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三线共点本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面证明：E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.四边形A1D1CB为平行四边形A1BCD1，从而EFCD1.EF与CD1确定一个平面E，C1，F，D四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合以题试法1(1)(20xx江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案：(1)C(2)异面直线的判定典题导入例2(20xx金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面答案由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选B错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确异面直线所成角典题导入例3(20xx大纲全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_自主解答连接DF，则AEDF，D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角以题试法3(20xx唐山模拟)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角PAB，在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.1(20xx杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线如果“ac，bc，ad，bd”，则()Aab且cdBa，b，c，d中任意两条可能都不平行CabDa与b，c与d中至少有一对直线互相平行解析：选D(1)若a，b，c，d在同一平面内，则ab，cd.(2)若a，b，c，d不在同一平面内，若a，b相交，则a，b确定平面，此时c，d，故cd.若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面，此时，c，d，cd.若a，b平行，则c，d关系不定同理，若c，d相交，异面也可推出ab，若c，d平行，则a，b关系不确定综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行2l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B在选项A中：l1l2，l2l3，l1与l3可以平行也可相交或异面，借助正方体的棱很容易理解在B中：l1l2，l2l3，由异面直线所成角的定义可以推出l1l3.l1l2l3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面()A不存在B只有1个C恰有4个D有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面，作与平行的平面，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面有无数多个4(20xx广州模拟)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.B.C. D.解析：选D如图所示，设ACBDO，连接VO，由于四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC.所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.5.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A1 B2C3 D4解析：选CAB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有三对6(20xx重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：选A如图所示的四面体ABCD中，设ABa，则由题意可得CD，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E，连接AE，BE，则AECD，BECD且AEBE ，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2a，解得0a.7已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的_条件解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要条件答案：充分不必要8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与CF异面；直线BE与AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有_个解析：如图，易得EFAD，ADBC，EFBC，即B，E，F，C四点共面，则错误，正确，正确，不一定正确答案：29.如图所示，在三棱锥CABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_解析：取CB的中点G，连接EG，FG，EGAB，FGCD.EF与CD所成角即为EFG.又EFAB，EFEG，在RtEFG中，EGAB1，FGCD2，sin EFG.EFG.EF与CD所成的角为.答案：10已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B、C、A、D.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线(2)如图，连接AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG、FH是EFGH的对角线，所以EG与HF相交11如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线证明：C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1.C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点又MAC，M平面A1ACC1.MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线O为A1C与截面DBC1的交点，O平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是两平面的公共点，O直线C1M，即C1，O，M三点共线12.(20xx许昌调研)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面1将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直解析：选C在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.2(20xx哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对解析：正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24对(每一对被计算两次，所以要除以2)答案：243(20xx池州模拟)正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE2EB，CF2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到AEFD的位置，使点A在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上(1)判断直线AA与DD的位置关系，并证明；(2)证明平面AAE平面ABC；解：(1)AADD.设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线AD仍过O点，A，A，D，D四点共面于平面OAA.又FDAE，FD平面AAE，AE平面AAE，FD平面AAE.同理，FD平面AAE，而FDFDF，平面DFD平面AAE.又平面OAA平面DFDDD，平面OAA平面AAEAA，AADD.(2)AG平面ABCD，AGAB.又ABBC，BCAGG，AB平面ABC.又AB平面AAE，平面AAE平面ABC.1(20xx襄阳模拟)关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是()A若aM，bM，则abB若aM，ba，则bMC若aM，aN，则MND若aM，bM, 且la，lb，则lM解析：选C同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错aM，ba时，b与M的位置关系不确定，B错；当ab时，la，lb，l不一定垂直于M，故D错误2(20xx蚌埠模拟)如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OBOC3，OA4.给出如下判断：存在点D(O点除外)，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；存在唯一的点D使得OD平面ABC；存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号填上)解析：作OH平面ABC于H并延长至D，使OHHD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故正确；在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故正确；过O做平面ABC的垂线，在垂线上任取一点D，显然OD平面ABC，故不正确；ABC不是正三角形，以ABC为底面没有正棱锥取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BCBDCD3且AD5，则四面体是以BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以正确BC垂直于所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故正确答案：3(20xx西安模拟)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其补角设PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cos FDE，所以FDE120.所以直线PC与AB所成角的大小是60.答案：60
展开阅读全文