新编五年高考真题高考数学复习 第九章 第六节 直线与圆锥曲线的位置关系 理全国通用

第六节第六节直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系考点一直线与圆锥曲线的位置关系1(20 xx重庆，10)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C( 2，0)(0， 2)D(， 2)( 2，)解析由题意A(a，0)，Bc，b2a，Cc，b2a，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BDAC得b2a0cxb2aac1，解得cxb4a2（ca），所以cxb4a2（ca）aa2b2ac， 所以b4a2c2a2b2b2a210ba1， 因此渐近线的斜率取值范围是(1，0)(0，1)，选 A.答案A2(20 xx辽宁，10)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43解析A(2，3)在抛物线y22px的准线上，p22，p4，y28x，设直线AB的方程为xk(y3)2，将与y28x联立，即xk（y3）2，y28x，得y28ky24k160， 则(8k)24(24k16)0， 即2k23k20， 解得k2或k12(舍去)，将k2 代入解得x8，y8，即B(8，8)，又F(2，0)，kBF808243，故选 D.答案D3(20 xx新课标全国，10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34B.9 38C.6332D.94解析易知直线AB的方程为y33(x34)， 与y23x联立并消去x得 4y212 3y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23 3，y1y294.SOAB12|OF|y1y2|1234（y1y2）24y1y23827994.故选 D.答案D4(20 xx大纲，8)椭圆C：x24y231 的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.12，34B.38，34C.12，1D.34，1解析如图：设直线A2M的方程为y(x2)2x，代入椭圆方程x24y231，并整理得 7x216x40，2x167，x27，M点坐标为27，127 .设直线A2N的方程为y2(x2)42x，同理可得N点坐标为2619，2419 ，kA1M12727234，kA1N24192619238.直线PA1斜率的取值范围是38，34 .答案B5(20 xx全国，10)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4 与C交于A，B两点，则 cosAFB等于()A.45B.35C35D45解析联立y24x，y2x4.不妨设A在x轴上方，则A(4，4)，B(1，2)F点的坐标为(1，0)，FA(3，4)，FB(0，2)，cosAFBFAFB|FA|FB|85245.答案D6(20 xx山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析由题意，不妨设直线OA的方程为ybax，直线OB的方程为ybax.由ybax，x22py，得x22pbax，x2pba，y2pb2a2，A2pba，2pb2a2.设抛物线C2的焦点为F，则F0，p2 ，kAF2pb2a2p22pba.OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，2pb2a2p22pbaba1，b2a254.设C1的离心率为e，则e2c2a2a2b2a215494.e32.答案327(20 xx浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22 到直线l：yx的距离，则实数a_.解析曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d|4|2 2 2，所以曲线C1到l的距离为 2，则曲线C1与直线l不能相交，即x2ax，x2xa0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d|x0y0|2x0 x20a2（x012）2a142a142 2，所以a94.答案948(20 xx浙江，19)已知椭圆x22y21 上两个不同的点A，B关于直线ymx12对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为y1mxb.由x22y21，y1mxb，消去y，得121m2x22bmxb210.因为直线y1mxb与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以2b224m20，将AB中点M2mbm22，m2bm22 代入直线方程ymx12解得bm222m2由得m63或m63.(2)令t1m62，00，62 ，则|AB|t212t42t232t212.且O到直线AB的距离为dt212t21.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)12|AB|d122t2122222.当且仅当t212时，等号成立故AOB面积的最大值为22.9(20 xx江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22， 且右焦点F到左准线l的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得ca22且ca2c3，解得a 2，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)当ABx轴时，AB 2，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1， 22k2 2（1k2）12k2，C的坐标为2k212k2，k12k2， 且AB （x2x1）2（y2y1）2 （1k2） （x2x1）22 2（1k2）12k2.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为yk12k21kx2k212k2，则P点的坐标为2，5k22k（12k2） ，从而PC2（3k21） 1k2|k|（12k2）.因为PC2AB，所以2（3k21） 1k2|k|（12k2）4 2（1k2）12k2，解得k1.此时直线AB的方程为yx1 或yx1.10(20 xx天津，19)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限， 直线FM被圆x2y2b24截得的线段的长为c， |FM|4 33.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知有c2a213，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有kck212c22b22，解得k33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2y22c21，直线FM的方程为y33(xc)，两个方程联立，消去y，整理得 3x22cx5c20，解得x53c，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，2 33c.由|FM|（cc）22 33c024 33.解得c1，所以椭圆的方程为x23y221.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得tyx1，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立yt（x1） ，x23y221，消去y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得t62x23（x1）2 2，解得32x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得myx，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m22x223.当x32，1时，有yt(x1)0，因此m0，于是m2x223，得m23，2 33.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m2x223，得m，2 33.综上，直线OP的斜率的取值范围是，2 3323，2 33.11(20 xx北京，19)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2 上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22 的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24y221.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c 2.故椭圆C的离心率eca22.(2)直线AB与圆x2y22 相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t2y0 x0.当x0t时，y0t22，代入椭圆C的方程，得t 2，故直线AB的方程为x 2.圆心O到直线AB的距离d 2.此时直线AB与圆x2y22 相切当x0t时，直线AB的方程为y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此时直线AB与圆x2y22 相切12(20 xx山东，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为 3 时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解(1)由题意知Fp2，0.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为p2t4，0.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知 3p2|tp2|，解得t3p或t3(舍去)由p2t43，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1，0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0 得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kABy02.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yy02xb，代入抛物线方程得y28y0y8by00，由题意64y2032by00，得b2y0.设E(xE，yE)，则yE4y0，xE4y20.当y204 时，kAEyEy0 xEx04y0y04y20y2044y0y204，可得直线AE的方程为yy04y0y204(xx0)，由y204x0，整理可得y4y0y204(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y204 时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0)()由()知直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)1x01x01x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故mx01y0.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0y02(xx0)，由于y00，可得x2y0y2x0，代入抛物线方程得y28y0y84x00.所以y0y18y0，可求得y1y08y0，x14x0 x04.所以点B到直线AE的距离为d|4x0 x04my08y01|1m24（x01）x04x01x0.则ABE的面积S124x01x0 x01x0216，当且仅当1x0 x0，即x01 时等号成立所以ABE的面积的最小值为 16.13(20 xx新课标全国，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线xy 30 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，y1y2x1x21，由此可得b2（x1x2）a2（y1y2）y2y1x2x11.因为P为AB的中点，且OP的斜率为12，所以x1x22x0，y1y22y0，y0 x012.所以y012x0，即y1y212(x1x2)所以可以解得a22b2，又由题意知，M的右焦点为( 3，0)，故a2b23.所以a26，b23.所以M的方程为x26y231.(2)将xy 30 代入x26y231，解得x4 33，y33或x0，y 3.所以可得|AB|4 63；由题意可设直线CD方程为yxm，所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，将yxm代入x26y231 得3x24mx2m260，则|CD| 2 （x3x4）24x3x4439m2，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解(1)由题意知c 5，eca53，a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为x29y241.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)；当l1与x轴不垂直且不平行时，x03，设l1的斜率为k，则k0，则l2的斜率为1k，l1的方程为yy0k(xx0)，与x29y241 联立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360，直线与椭圆相切，0，得 9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，36k24(y0kx0)240，(x209)k22x0y0ky2040，k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的一个根，同理1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的另一个根，k1ky204x209，得x20y2013，其中x03，点P的轨迹方程为x2y213(x3)，检验P(3，2)满足上式综上：点P的轨迹方程为x2y213.3(20 xx湖北，21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多 1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即 （x1）2y2|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y24x，x0，0，x0.(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组y1k（x2） ，y24x，可得ky24y4(2k1)0.(a)当k0 时，此时y1.把y1 代入轨迹C的方程，得x14.故此时直线l：y1 与轨迹C恰好有一个公共点14，1.(b)当k0 时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x02k1k.()若0，x00，由解得k12.即当k(，1)12，时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若0，x00，x00，由解得k1，12 ，或k12，0.即当k1，12 时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k12，01，12 时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若0，x00，由解得1k12，或 0k0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01 2时，切线MA的斜率为12.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为yx2，且切线AM的斜率为12.切点A1，14 ，切线AM：y12(x1)14.因为点M(1 2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y012(2 2)1432 24，y0（1 2）22p32 22p.由得p2.(2)设N(x，y)，Ax1，x214 ，Bx2，x224 ，x1x2，由N为线段AB中点知xx1x22，yx21x228.切线MA、MB的方程为yx12(xx1)x214，yx22(xx2)x224.由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0 x1x22，y0 x1x24.因为点M(x0，y0)在C2上，即x204y0，所以x1x2x21x226，由得x243y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x243y.因此AB中点N的轨迹方程为x243y.5.(20 xx辽宁，20)如图椭圆C0：x2a2y2b21(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t21，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t22与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t21t22为定值(1)解设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为yy1x1a(xa)，直线A2B的方程为yy1x1a(xa)由得，y2y21x21a2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2y21b21.从而y21b2(1x21a2)，代入得x2a2y2b21(xa，y0)即交点M的轨迹方程是x2a2y2b21(xa，yb0)，双曲线的方程为x2m2y2n21(m0，n0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|am，|PF2|am，在PF1F2中，4c2(am)2(am)22(am)(am)cos3a23m24c2ac23mc24，则ac23mc2113 acmc21e11e2acmc4 33，当且仅当a3m时，等号成立 ，故选 A.答案A3(20 xx四川，10)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3C.17 28D. 10解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y10，y20)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点 记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S1S2的值(1)证明设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由yk1x，y22p1x，得A12p1k21，2p1k1，由yk1x，y22p2x，得A22p2k21，2p2k1.同理可得B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2.所以A1B12p1k222p1k21，2p1k22p1k12p11k221k21，1k21k1，A2B22p2k222p2k21，2p2k22p2k12p21k221k21，1k21k1.故A1B1p1p2A2B2，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此S1S2(|A1B1|A2B2|)2.又由(1)中的A1B1p1p2A2B2知|A1B1|A2B2|p1p2.故S1S2p21p22.7(20 xx四川，20)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.()证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；()当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标解(1)由已知可得a2b22b，2c2a2b24，解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是x26y221.(2)()证明由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm03（2）m.当m0 时，直线PQ的斜率kPQ1m，直线PQ的方程是xmy2.当m0 时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2 的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得xmy2，x26y221，消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.所以PQ的中点M的坐标为6m23，2mm23 ，所以直线OM的斜率kOMm3.又直线OT的斜率kOTm3，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.()由()可得，|TF|m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124 （44）33.当且仅当m214m21，即m1 时，等号成立，此时|TF|PQ|取得最小值所以当|TF|PQ|最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)8(20 xx安徽，18)设椭圆E：x2a2y21a21 的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为 1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆E的左，右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上解(1)因为焦距为 1，所以 2a2114，解得a258.故椭圆E的方程为8x258y231.(2)设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c 2a21.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1Py0 x0c，直线F2P的斜率kF2Py0 x0c.故直线F2P的方程为yy0 x0c(xc)当x0 时，ycy0cx0，即点Q的坐标为0，cy0cx0.因此，直线F1Q的斜率为kF1Qy0cx0.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Qy0 x0cy0cx01.化简得y20 x20(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点 P 在定直线 xy1 上.