新编三年模拟一年创新高考数学复习 第八章 第六节 空间向量的应用 理全国通用

第六节第六节空间向量的应用空间向量的应用A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1(20 xx长沙模拟)有以下命题：如果向量a a，b b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a a，b b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a a，b b，c c是空间的一个基底，则向量a ab b，a ab b，c c也是空间的一个基底其中正确的命题是()ABCD解析对于， “如果向量a a，b b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a a，b b的关系一定是共线”，所以错误，正确答案C2(20 xx莆田模拟)已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三向量共面，则实数等于()A.627B.637C.607D.657解析由题意得c cta ab b(2t，t4，3t2)，72t，5t4，3t2，解得t337，177，657.答案D3(20 xx长春模拟)已知点B是点A(3，7，4)在xOz平面上的射影，则OB2等于()A(9，0，16)B25C5D13解析A在xOz平面上的射影为B(3，0，4)，则OB(3，0，4)，OB225.答案B4(20 xx青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点M在AC1上，且AM12MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.216B.66C.156D.153解析如图，设ABa a，ADb b，AA1c c，则a ab bb bc cc ca a0.由条件知MNMAABBN13(a ab bc c)a a12c c23a a13b b16c c，MN249a a219b b2136c c22136，|MN|216.答案A二、填空题5 (20 xx寿光模拟)已知a a(1t， 1t，t)，b b(2，t，t)， 则|b ba a|的最小值为_解析b ba a(1t，2t1，0)，|b ba a| （1t）2（2t1）25（t15）295，当t15时，|b ba a|取得最小值为3 55.答案3 55一年创新演练6.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为()A0B.12C.32D.22解析设OAa a，OBb b，OCc c，由已知条件a a，b ba a，c c3，且|b b|c c|，OABCa a(c cb b)a ac ca ab b12|a a|c c|12|a a|b b|0，cosOA，BC0.答案A7.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值(1)证明设CAa a，CBb b，CCc c，根据题意，|a a|b b|c c|，且a ab bb bc cc ca a0，CEb b12c c，ADc c12b b12a a.CEAD12c c212b b20.CEAD，即CEAD.(2)解ACa ac c，|AC| 2|a a|，|CE|52|a a|.ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2，cosAC，CE12|a a|2252|a a|21010.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8(20 xx福州模拟)若两点的坐标是A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|AB|的取值范围是()A0，5B1，5C(0，5)D1，25解析A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，|AB|（3cos2cos）2（3sin2sin）2（11）2 9412（coscossinsin） 1312cos（）， 1312|AB| 255，即 1|AB|5，故选 B.答案B二、填空题9(20 xx海口模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)则以AB，AC为边的平行四边形的面积为_解析由题意可得：AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，cosAB，ACABAC|AB|AC|23614 1471412.sinAB，AC32.以AB，AC为边的平行四边形的面积S212|AB|AC|sinAB，AC14327 3.答案7 3三、解答题10.(20 xx河南商丘模拟)如图， 在三棱柱ABCA1B1C1中， 已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：C1B平面ABC；(2)设CECC1(01)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为 30，试求的值(1)证明因为AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，由余弦定理得：BC21BC2CC212BCCC1cosBCC11222212cos 603，所以BC1 3，故BC2BC21CC21，所以BCBC1，又BCABB，C1B平面ABC.(2)解由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，C1(0，0， 3)，B1(1，0， 3)所以CC1(1，0， 3), 所以CE(，0， 3)，E(1，0， 3)，则AE(1，1， 3)，AB1(1，1， 3)设平面AB1E的一个法向量为n n(x，y，z)，则n nAE，n nAB1，得（1）xy 3z0，xy 3z0，令z 3，则x332，y32，n n332，32， 3，AB平面BB1C1C，BA(0，1，0)是平面的一个法向量，|cosn n，BA|n nBA|n n|BA|3213322322（ 3）232.两边平方并化简得 22530，所以1 或32(舍去)1.11(20 xx山东青岛一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为 2 的的菱形， BAD60， 四边形BDEF是矩形， 平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求二面角HBDC的大小(1)证明在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点所以GHEF，又因为GH 平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设ACBDO，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，在ACF中，因为OAOC，CHHF，所以OHAF，又因为OH 平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)解取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ONED，因为平面BDEF平面ABCD，所以ED平面ABCD，所以ON平面ABCD，因为ABCD为菱形，所以ACBD，得OB，OC，ON两两垂直所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系因为底面ABCD是边长为 2 的菱形，BAD60，BF3，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(1，0，3)，C(0， 3，0)，H12，32，32 ，所以BH12，32，32 ，DB(2，0，0)设平面BDH的法向量为n n(x，y，z)，则n nBH0n nDB0 x 3y3z0，2x0，令z1，得n n(0， 3，1)由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为DE(0，0，3)，则 cosn n，DEn nDE|n|n|DE|00（ 3）0132312.所以二面角HBDC的大小为 60.一年创新演练12如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBC12AP2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求二面角GEFD的大小；(3)求三棱锥DPAB的体积(1)证明PD平面ABCD.CD平面ABCD，PDCD.又ABBC12APAD，APAB，四边形ABCD为正方形，CDAD.又PDADD，CD平面PAD.CD平面PCD，平面PCD平面PAD.(2)解如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则G(2，1，0)，E(1，0，1)，F(0，0，1)，EF(1，0，0)，EG(1，1，1)设平面EFG的法向量为n n(x，y，z)，n nEF0，n nEG0，即x0，xyz0，x0，yz.取n n(0，1，1)取平面PCD的一个法向量DA(0，1，0)，cosDA，n nDAn n|DA|n n|1222.结合图知二面角GEFD的大小为 45.(3)解三棱锥DPAB的体积VDPABVPDAB13SABDPD131222243.13.如图， 平面PAC平面ABC， ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3)由题意，得G(0，4，0)因为OB(8，0，0)，OE(0，4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n n(0，3，4)由FG(4，4，3)，得n nFG0，又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，则FM(x04，y0，3)因为FM平面BOE，所以FMn n.因此x04，y094，即点M的坐标是(4，94，0)在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组x0，y0，xy8.经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M,使FM平面BOE.由点 M 的坐标得点 M 到 OA，OB 的距离分别为 4，94.