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11第第 0707 节节立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法班级班级_姓名姓名_学号学号_得分得分_一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，在每小题给出的四个选择中在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合只有一个是符合题目要题目要求的求的. .）1. 已知平面的法向量为(2, 2,4),( 3,1,2)nAB ，点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直D/ /AB【答案】D【解析】(2, 2,4) ( 3,1,2)6280n ABnAB ，而点A不在内，故/ /AB2.【浙江省杭州市萧山区第一中学月考】若，且，则 的值是（）A. 0B. 1C. -2D. 2【答案】C3.【河南省信阳市期末】设是直线 的方向向量，是平面 的法向量，则（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】因为，所以，即或.故选 D.4.【福建省数学基地校】二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知4AB ，6AC ，8BD ，2 17CD ，则该二面角的大小为()(A)150(B)45(C)60(D)120【答案】C【解析】由条件知0CA AB ，0AB BD ，CDCAABBD .2222222CDCAABBDCA ABAB BDCA BD 22226482 6 8cos,2 17CA BD .1cos,2CA BD ，,120CA BD ，二面角的大小为60；故选 C.5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1)B.23，23，1C.22，22，1D.24，24，1【答案】C6. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 3，AD2 2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂直D以上都不对【答案】C7. 已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.33，33，33B.33，33，33C.33，33，33D.33，33，33【答案】D【解析】因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以AB(1,1,0)，AC(1,0,1)经验证，当n n33，33，33 时，n nAB333300，n nAC330330，故选 D.8. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E23A1D，AF13AC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面【答案】B9. 已知长方体1111ABCDABC D，下列向量的数量积一定不为0的是 （）A11ADB C B1BDAC C1AB AD D1BDBC 【答案】D【解析】当侧面11BCC B是正方形时可得11ADB C =0，所以排除 A.当底面 ABCD 是正方形时AC 垂直于对角面1BD.所以排除 B.显然排除 C.由图可得1BD与 BC 所成的角小于090.故选 D.10. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为()Aa2B.12a2C.14a2D.34a2【答案】CBACDA1B1C1D111 【20 xx 学山东省烟台市期末】 在三棱柱中， 底面为正三角形， 侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】以为原点,为轴,在平面中过作的垂线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且,设异面直线与所成角所成角为,则.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选 D.12.【甘肃西北师大附中高三 11 月月考】已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且2510,55SS，则过点( ,)nP n a和*2(2,)()nQ nanN的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A14(,)33B(2，4)C1(, 1)2D.（-1，-1）【答案】A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。把答案填在题中的横线上分。把答案填在题中的横线上。 ）13【河北省定州中学高三上第二次月考】 已知点 在正方体的对角线上，在上，则与所成角的大小为_.【答案】14 在三棱柱111ABCABC中， 侧棱1A A 底面ABC，1AC ，12AA ，90BAC，若直线1AB与直线1AC的夹角的余弦值是45，则棱AB的长度是_【答案】1【解析】如图建立坐标系设ABa，则1110,0,0 ,0,2 ,0,0,2 ,0,1,0AB aACAB111244,0,2 ,0,1, 2cos,1154 5aACAB ACaABa 15 【河北省衡水中学押题卷】如图所示，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别是1CC，AD的中点，那么异面直线1D E和1A F所成角的余弦值等于_【答案】2516.【浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面内，三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧. 若顶点B,C到平面的距离分别为2,3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为_【答案】23【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为000 xyz（ ， ， ），设01x ，令111BABCACDAD，可得2221sinsinsin ，设11123DDmBBCC，222231333m，解得2m；则的法向量为000222nxyzhcoshcoshcoshsinhsinhsin（ ， ， ）（），（），（）（，），由1hsin ，得2hsin，62hsin；0003 26,222nxyz（ ， ， ），平面ABC的法向量为0,0,3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为22261,20,0,322361232三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）17. （本小题满分 10 分）【贵州省黔东南州高三上第一次联考】 如图所示， 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为正三角形，且,E F分别为,AD AB的中点，PE 平面ABCD，BE 平面PAD（1）求证：BC 平面PEB；（2）求EF与平面PDC所成角的正弦值【答案】 （1）见解析； （2）155.试题解析：（1）证明：因为PE 平面ABCD，BE 平面PAD，所以,PEAD BEAD，又,PEBEE PE平面,PEB BE 平面PEB，所以AD 平面PEB，由四边形ABCD菱形，得/ /ADBC，所以BC 平面PEB（2）解：以E为原点，,EA EB EP分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD的边长为 2，则1,2,3AEEDPAPE，223BEABAE，则点131,0,0 ,0, 3,0 ,2, 3,0 ,1,0,0 ,0,0, 3 ,022ABCDPF，1, 3,0 ,1,0, 3DCDP ，设平面PDC的法向量为, ,nx y z，则由, ,1, 3,030 , ,1,0, 330n DCx y zxyn DPx y zxz ，解得3 3xyxz ，不妨令1z ，得3, 1,1n ；又13,022EF ，所以EF与平面PDC所成角的正弦值为133, 1,1 ,0221555 1n EFn EF 18 （本小题满分 12 分） 【湖北省部分重点中学高三起点】在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，ABF为直角，AEBF，112ABBF，平面ABCD 平面ABFE.（）求证：BDCE；（）若AEAB，求二面角CEFB的余弦值.【答案】()证明见解析；()63.设AEt，以,BA BF BC所在直线分别为, ,x y z轴建立如图坐标系，则0,0,0B，0,0,1C，1,0,1D，1, ,0Et，1,0, 1DB ，1,1ECt ，0DB EC ，DBEC.（2）由（1）知0,0,1BC 是平面BEF的一个法向量，设, ,nx y z是平面CEF的法向量，1AEAB， 1,1,0E，0,2,0F， 1,1, 1CE ，0,2, 1CF ， 由0CE n ，得0 xyz，由0CF n ，得20yz，令2z ，得1,1xy，故1,1,2n 是平面CEF的一个法向量，6cos,3n BCn BCn BC ，即二面角CEFB的余弦值为63.19. （本小题满分 12 分）【20 xx 课标 3，理 19】如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角DAEC 的余弦值.【答案】(1)证明略；(2)77.【解析】（2）由题设及（1）知，,OA OB OC两两垂直，以O为坐标原点，OA 的方向为x轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则1,0,0 ,0, 3,0 ,1,0,0 ,0,0,1ABCD由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，即 E 为 DB 的中点，得3 10,22E.故20. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA底面 ABCD，E、F 分别为 AB、PC 的中点（）求证：EF平面 PAD；（）若 PA=2，试问在线段 EF 上是否存在点 Q，使得二面角 QAPD 的余弦值为55？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由【答案】 （）见解析； （）满足条件的 Q 存在，是 EF 中点（）结论：满足条件的 Q 存在，是 EF 中点理由如下：如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 P（0，0，2） ，B（0，1，0） ，C（1，1，0） ，E（0，12，0） ，F（12，12，1） ，由题易知平面 PAD 的法向量为n=（0，1，0） ，假设存在 Q 满足条件：设EQEF ，1( ,0,1)2EF ，1(, )2 2Q，1(, )2 2AQ，0，1，设平面 PAQ 的法向量为( , , )x y z ，由10220 xyzz，可得(1,0) ，2cos,|1m nm nm n ，由已知：2551，解得：12，所以满足条件的 Q 存在，是 EF 中点21.（本小题满分 12 分） 【20 xx 高考天津理数】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】 （）详见解析（）33（）7211,1,0 ,( 1, 1,0),(1, 1,0),(11,0),( 1, 1,2),(0,0,2),( 1,0,0)ABCDEFG，.（I）证明：依题意，(2,0,0),1, 1,2ADAF .设1, ,nx y z为平面ADF的法向量，则1100nADnAF ，即2020 xxyz.不妨设1z ，可得10,2,1n ，又0,1, 2EG ，可得10EG n ，又因为直线EGADF平面，所以/ /EGADF平面.（II）解：易证，1,1,0OA 为平面OEF的一个法向量.依题意，1,1,0 ,1,1,2EFCF .设2, ,nx y z 为平面CEF的法向量，则2200nEFnCF ，即020 xyxyz .不妨设1x ，可得21, 1,1n .因此有2226cos,3OA nOA nOA n ，于是23sin,3OA n ，所以，二面角OEFC的正弦值为33.（III）解：由23AHHF，得25AHAF.因为1, 1,2AF ，所以222 4,555 5AHAF ，进而有3 3 4,5 5 5H，从而2 8 4, ,5 5 5BH，因此2227cos,21BH nBH nBHn .所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.22.（本小题 12 分）【高考北京理数】 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD ，5ACCD.（1）求证：PD 平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【答案】 （1）见解析； （2）33； （3）存在，14AMAP试题解析： （1）因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以PDAB，又因为PDPA，所以PD平面PAB；（2）取AD的中点O，连结PO，CO，因为PAPD，所以ADPO .又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为CDAC ，所以ADCO .如图建立空间直角坐标系xyzO，由题意得，) 1 , 0 , 0(),0 , 1, 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 1 , 0(PDCBA.设平面PCD的法向量为),(zyxn ，则, 0, 0PCnPDn即, 02, 0zxzy令2z，则2, 1yx.所以)2 , 2, 1 ( n.又) 1, 1 , 1 (PB，所以33,cosPBnPBnPBn.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.（3）设M是棱PA上一点，则存在 1 , 0使得APAM.因此点), 1(),1 , 0(BMM.因为BM平面PCD，所以BM平面PCD当且仅当0nBM，即0)2 , 2, 1 (), 1(，解得41.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时41APAM.
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