新编五年高考真题高考数学复习 第十章 第五节 二项分布与正态分布 理全国通用

第五节第五节二项分布与正态分布二项分布与正态分布考点一条件概率与相互独立事件的概率1(20 xx新课标全国，4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312解析该同学通过测试的概率为p0.60.6C120.40.620.648.答案A2(20 xx新课标全国，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75C0.6D0.45解析由条件概率可得所求概率为0.60.750.8，故选 A.答案A3.(20 xx湖南， 15)如图，EFGH是以O为圆心， 半径为 1 的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_.(2)P(B|A)_.解析圆的半径为 1，正方形的边长为 2，圆的面积为，正方形面积为 2，扇形面积为4.故P(A)2，P(B|A)P（AB）P（A）12214.答案(1)2(2)144(20 xx陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于2 000 元的概率解(1)设A表示事件“作物产量为 300 kg” ，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg” ，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，所以X所有可能的取值为500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.P(X4 000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于 2 000 元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.5120.3840.896.5(20 xx辽宁，19)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解(1)设事件A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有A“张同学所取的 3 道题都是甲类题”因为P(A)C36C31016，所以P(A)1P(A)56.(2)X所有的可能取值为 0，1，2，3.P(X0)C02350252154125；P(X1)C1235125115C023502524528125；P(X2)C2235225015C123512514557125；P(X3)C223522504536125.所以X的分布列为：X0123P4125281255712536125所以E(X)041251281252571253361252.6(20 xx山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A， “该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C， “该射手第二次射击乙靶命中”为事件D， 由题意知P(B)34，P(C)P(D)23，由于ABCDBCDBCD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)P(BCDBCDBCD)P(BCD)P(BCD)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)34123 123 13423123 134 123 23736.(2)根据题意，X的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P(BCD)1P(B)1P(C)1P(D)(134)123 123 136，P(X1)P(BCD)P(B)P(C)P(D)34123 123 112，P(X2)P(B C DB C D)P(BCD)P(BCD)134 23123 134 123 2319，P(X3)P(BCDBCD)P(BCD)P(BCD)3423123 34123 2313，P(X4)P(BCD)134 232319，P(X5)P(BCD)34232313.故X的分布列为X012345P13611219131913所以E(X)013611122193134195134112.7(20 xx大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望解设A表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100，0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)1000.220.考点二正态分布1(20 xx湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386B2 718C3 413D4 772解析由XN(0，1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)120.682 60.341 3，故S0.341 3.落在阴影部分中点的个数x估计值为x10 000S1(古典概型)，x10 0000.341 33 413，故选 C.答案C2(20 xx山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%解析由题意，知P(36)P（66）P（33）295.44%68.26%213.59%.答案B3(20 xx新课标全国，18)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；()某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用()的结果，求E(X)附： 15012.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.()由()知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为 0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.4(20 xx湖北，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人， 从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车 7 辆，若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)1212P(700X900)0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为 1 600 x2 400y.依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X900)，故P(X36x60y)p0等价于 36x60y900.于是问题等价于求满足约束条件xy21，yx7，36x60y900，x，y0，x，yN N，且使目标函数z1 600 x2 400y达到最小的x，y.作可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线z1 600 x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600 x2 400y 在 y 轴上截距z2 400最小，即 z 取得最小值故应配备 A 型车 5 辆，B 型车 12 辆