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1 1第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用(对应学生用书第120页) 基础知识填充1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2知识拓展1点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.2焦点三角形椭圆1(ab0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若F1PF2，则SF1PF2|PF1|PF2|sin b2b2tan 3过焦点垂直于长轴的弦长椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A1B1C1D1D椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.3(20xx广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3 C4D9B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.4(20xx全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()AB CDB如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e.5椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_3直线xm过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a8，即a2，此时，|AB|23，SFAB233.(对应学生用书第121页)椭圆的定义与标准方程 (1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()图851A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_. 【导学号：00090290】(3)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.(3)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，则F1(c,0)，F2(c,0)AF2x轴，则A(c，b2)(其中c21b2,0b|F1F2|这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式变式训练1(1)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23，则b_.(3)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_. 【导学号：00090291】(1)1(2)3(3)1(1)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.(2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.(3)依题意，设椭圆C：1(ab0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.椭圆的几何性质(1)(20xx泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D5(2)(20xx江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是 _.图852(1)A(2)(1)椭圆1的长轴在x轴上，解得6m10.焦距为4，c2m210m4，解得m8.(2)将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)规律方法1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析2求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解 变式训练2(1)已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21B21C或21D或21(2)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()【导学号：00090292】A BCD(3)(20xx全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A BCD (1)D(2)B(3)A(1)当94k0，即5k4时，a3，c29(4k)5k，解得k.当94k，即k5时，a，c2k5，解得k21，所以k的值为或21.(2)由题意，可设P.因为在RtPF1F2中，|PF1|，|F1F2|2c，F1PF260，所以.又因为b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因为e(0,1)，所以e.(3)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为A又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A直线与椭圆的位置关系角度1由位置关系研究椭圆的方程与性质已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为.图853(1)求椭圆E的离心率；(2)如图853，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，3分由dc，得a2b2 ，解得离心率.5分(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.10分于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.12分角度2由位置关系研究直线的性质(20xx全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意有，1，解得a28，b24.3分所以C的方程为1.5分(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.9分故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)
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