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第九节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条2.已知双曲线x2a2-y2b2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)3.过点0,-12的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则的值为()A.-12B.-14C.-4D.无法确定4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.35.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为.6.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60的直角l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则|AF|BF|的值等于.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,P为椭圆上任一点,且PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为22的直线l交椭圆C于A,B两点,且以AB为直径的圆恒过原点O,求OAB的面积.8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程.B组提升题组9.(20xx四川,20,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.10.设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-12平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=32p=2,所以符合条件的直线有且只有两条.2.C双曲线的一条渐近线方程为y=bax,由题意得ba2,e=ca=1+ba21+4=5.3.B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-12,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得x1+x2=-k,x1x2=-12,=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-12kx2-12=(k2+1)x1x2-12k(x1+x2)+14=-12(k2+1)-12k(-k)+14=-14.故选B.4.A由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1x2.由直线l的倾斜角为60,且过点Fp2,0,得直线l的方程为y-0=3x-p2,即y=3x-32p,联立y=3x-32p,y2=2px,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1=32p,x2=16p,则|AF|BF|=32p+12p16p+12p=3.7.解析(1)e=ca=22,设P(x0,y0),PF1F2的面积S=|y0|c,又|y0|b,所以最大面积为bc=1,则b=c=1,a=2,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设直线l的方程为y=22x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=22x+m,x2+2y2=2,消去y并整理得2x2+22mx+2m2-2=0,则x1+x2=-2m,x1路x2=m2-1.由题意知=x1x2+y1y2=0,又y1y2=22x1+m22x2+m=12x1x2+22m(x1+x2)+m2,所以=32x1x2+22m(x1+x2)+m2=32m2-32=0,解得m=1.则|AB|=1+222(x1+x2)2-4x1x2=3,因为原点到直线l的距离为|m|1+222=63,所以SAOB=12363=22.8.解析(1)依题意可得1a=22,a2=b2+1,解得a=2,b=1,所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立x22+y2=1,y=k(x-1),消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2(k2-1)1+2k2.所以y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+1=-k21+2k2.因为OMON,所以=0,所以x1x2+y1y2=k2-21+2k2=0,所以k=2,所以直线l的方程为y=2(x-1).B组提升题组9.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点P3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=12x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-2m2.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点的坐标为-m,m2,直线OM的方程为y=-12x,由方程组x24+y2=1,y=-12x,得C-2,22,D2,-22.所以|MC|MD|=52(-m+2)52(2+m)=54(2-m2).又|MA|MB|=14|AB|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2=516(x1+x2)2-4x1x2=5164m2-4(2m2-2)=54(2-m2),所以|MA|MB|=|MC|MD|.10.解析(1)设抛物线的顶点为Q(x,y),则焦点为F(2x-1,y).根据抛物线的定义得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以轨迹C的方程为x2+y24=1.(2)设弦MN的中点为P-12,y0,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点M,N为椭圆C上的点,可知4xM2+yM2=4,4xN2+yN2=4,两式相减,得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,(*)将xM+xN=2-12=-1,yM+yN=2y0,yM-yNxM-xN=-1k代入(*)式得k=-y02.又点P-12,y0在弦MN的垂直平分线上,所以y0=-12k+m,所以m=y0+12k=34y0.又点P-12,y0在线段BB上,B,B为直线x=-12与椭圆的交点,如图所示所以yBy0yB,所以-3y03.所以-334m334,且m0.
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