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2021/5/251几种数值积分方法的误差几种数值积分方法的误差理论总结及讨论理论总结及讨论学生：于欣蕊指导教师：任文秀2021/5/252课程设计的基本思路 本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识，从而使运算速度更快、更准。2021/5/253一、几种数值积分的算法1 1、Newton-CotesNewton-Cotes求积公式求积公式2 2、复化求积公式、复化求积公式)()(2)(bfafabTdxxfba（1）梯形公式）梯形公式（n=1）（2）Simpson（辛普森）公式（辛普森）公式（n=2）)()2(4)(6)(bfbafafabSdxxfba（3）Cotes公式公式（n=4）)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabCdxxfba11)()(2)(2nkknbfxfafhT（1）复化梯形求积公式）复化梯形求积公式（2）复化）复化Simpton求积公式求积公式11121)()(4)(2)(6nknkkknbfxfxfafhS（3）复化）复化Cotes求积公式求积公式2021/5/2543 3、龙贝格求积公式、龙贝格求积公式1011211041)(7)(14)(12)43()(32)(790nknkiknkkkbfxfxxfxfafhCn4、高斯求积公式高斯求积公式 （1）高斯）高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式 110)()(nkkkxfAdxxf （2）高斯）高斯-切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1102)(1)(nkkkxfAdxxxf（3）高斯）高斯-拉盖尔求积公式拉盖尔求积公式00)()(nkkkxxfAdxxfe，（4）高斯）高斯-埃尔米特求积公式埃尔米特求积公式nkkkxxfAdxxfe0)()(2mikimTTTmkmkmmkm, 2 , 1,144, 11, 1,2021/5/255二、数值积分方法的误差比较及算例1、Newton-Cotes求积公式的误差分析求积公式的误差分析),(,)(12)(3baabfRT ),(),(2880)() 4(5bafabRS),(),()4(945)( 2) 6(6bafababRC（1）梯形公式的截断误差）梯形公式的截断误差（2）辛普森公式截断误差）辛普森公式截断误差（3）柯特斯公式截断误差）柯特斯公式截断误差 小结：小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其代数精确度却比梯形公式高代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公，它们都是最为常用的数值积分公式，尤其是式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高公式逻辑结构简单，且精度又比较高. 2021/5/2562 2、复化求积公式的误差分析、复化求积公式的误差分析 （1）复化梯形公式的截断误差）复化梯形公式的截断误差)(12)(2fhabfRTn （2 2）复化辛普森公式的截断误差）复化辛普森公式的截断误差 ),(),()2(180)() 4(4bafhhfRnS（3 3）复化）复化CotesCotes公式的截断误差公式的截断误差 ),(),()4(945)(2)()6(6bafhabfRnC收敛速度一个比一个快，一个比一个准确收敛速度一个比一个快，一个比一个准确. nnnCST、小结小结 ：1、2 2、在使用函数值个数相等的情况下，、在使用函数值个数相等的情况下， 248CST、精度逐渐升高精度逐渐升高. 2021/5/2573、龙贝格求积公式的误差分析龙贝格求积公式的误差分析 龙贝格求积公式是具有龙贝格求积公式是具有8 8阶精度的算法，收敛且稳定阶精度的算法，收敛且稳定, ,比比 收敛的快收敛的快. . 余项为：余项为：nnnCST、bakmkmTdxxffR,)()()()(!2)22(322).2)(1(22mmmkmmmfabB Romberg Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算. .但它但它有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 计算它在计算它在)(xf新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的. .2021/5/258 4、高斯求积公式的误差分析、高斯求积公式的误差分析 高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当8n 时牛顿时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定 的的.高斯求积公式的代数精度高达高斯求积公式的代数精度高达8，是具有最高代数精度的插值型求，是具有最高代数精度的插值型求 积公式积公式.(1)1( )( )( )(1)!nbnafR fxx dxnn2210( )( )()nniif xxxx 0R f 22 n 高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类.由由插值余项插值余项知插值型求积公式的代数精度知插值型求积公式的代数精度，另一方面，若取，另一方面，若取则有则有说明插值型求积公式的代数精度不可能达到说明插值型求积公式的代数精度不可能达到不可能低于不可能低于,高斯型求积公式高斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式.2021/5/259总结总结 通过理论分析和比较可以得出以下结论:一般来说, Newton- Cotes方法的代数精度越高,数值积分的效果越好;当积分区间较大时 候,可以采用复化积分方法可以得到较好的效果;Romberg 积方法可以更好得到的积分序列得到更为精确的数值结果,是一个较好的数值积分方法.2021/5/2510
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