大学物理：矢量(VECTOR)

物理教研室，药大物理教研室，药大 1 标量和矢量 Scalar quantity and vector quantity标量：标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从由大小及单位或量纲表示。运算服从普通的代数运算法则普通的代数运算法则。矢量：矢量：由大小由大小(单位单位)及方向表示，其合及方向表示，其合成服从平行四边形法则。成服从平行四边形法则。A l电压、温度、时间、质量等l所有实数l标量场l电场、磁场、力、速度等物理教研室，药大物理教研室，药大 符号表示：符号表示：矢量几何表示矢量几何表示：可用有方向的线段来表示矢量 AMN ，印刷体 , A 1.1矢量的表示矢量的表示书写时在字母上方加一箭头代表矢量印刷体符号用斜写的黑体字母黑体字母表示矢量线段的长度 表示该矢量的大小箭头的方向 表示该矢量的方向物理教研室，药大物理教研室，药大 1.2.有关矢量的定义有关矢量的定义矢量的模矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量的模，矢量A的模表示为 AMNA ，印刷体，或用斜体非粗体 , A 矢量相等矢量相等(Equality of two vectors): 具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。记为相等。记为 B=C，注意矢量平移不变性零矢量（零矢量（zero vector)：模等于零的矢量称为零矢量，记为 零矢量的方向是任意的。0或者 , 0单位矢量（单位矢量（unit vector)：若一个矢量的长度为1单位，则该矢量称为单位矢量 0AAAA=利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量可将矢量A表示为0,A,eA物理教研室，药大物理教研室，药大 矢量由大小和其方向构成： = , ABAB 方向相反负矢量负矢量：方向相反，大小相等。概念：单位矢量，模概念：单位矢量，模为大小， 为其单位矢量，大小为1。= oAAA =oooAAAA AAAAAA 物理教研室，药大物理教研室，药大 ABC 2.1两个矢量的加法：两个矢量的加法： CABABC 是 ， 的矢量和； ，是的分量定义定义运算方法：平行四边形法则运算方法：平行四边形法则B BA A平移平移B BA AC C简化为三角形法则三角形法则：将B矢量的矢尾与A矢量的矢端相连，从A的矢尾到B的矢端做矢量,则该矢量即为欲求的和矢量C物理教研室，药大物理教研室，药大 2.2两矢量的减法：两矢量的减法：()ABABC A AB BA AB B-B-BC C或者直接三角形减法A AB BC C 两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和物理教研室，药大物理教研室，药大 2.3 多个矢量的加法多个矢量的加法niinFFFFF1212.4矢量加法的性质：矢量加法的性质：交换律交换律(commutative law): 结合律结合律(associative law):逐个矢量相加，可以采用多边形法则OA1A2A3A4An-1AnABBA ()()A BC AB C 物理教研室，药大物理教研室，药大 平行四边形法则平行四边形法则合矢量与分矢量合矢量与分矢量222cosCABAB合矢量大小方向sintancosBAB物理教研室，药大物理教研室，药大 矢量和标量乘矢量和标量乘结果是一个矢量。结果是一个矢量。大小、方向？大小、方向？矢量和矢量乘矢量和矢量乘结果是一个标量。结果是一个标量。大小？大小？结果是一个矢量。结果是一个矢量。大小、方向？大小、方向？物理教研室，药大物理教研室，药大 定义定义: :矢量矢量A A与实数与实数m的乘积仍是一个矢量的乘积仍是一个矢量, ,记为记为mA AmA A的大小的大小: |: |mA A|=|=|m|A A| |mA A的方向的方向: :m0: 0: 与与A A同向同向; ;m0: 0: 与与A A反向反向; ;m=0: =0: 零矢量零矢量m=-1: =-1: mA A = - = -A A, ,其中其中,-,-A A表示一个与表示一个与A A大小相等方向相反的矢量大小相等方向相反的矢量 性质性质: :分配律分配律:(associative law):(associative law)交换律交换律:(commutative law):(commutative law)BABAAAA)()(AAA)()()(物理教研室，药大物理教研室，药大 两个矢量的标积是一个两个矢量的标积是一个标量标量，其大小是第一个矢量的大小乘，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的以第二个矢量在第一个矢量上的投影投影。 是指这两个矢量的是指这两个矢量的夹角。夹角。cosA BAB B cosA B 标积随角度标积随角度 的不同可为正值、负值或零的不同可为正值、负值或零BA0, 0cos,20, 0cos,20, 0cos,2BABABABAcosBABA物理教研室，药大物理教研室，药大 3) 两个矢量的夹角1) 2 2）两个矢量平行，标积最大 反平行时，标积最小。cosA BA B 0ABA B ，注意零矢量情况20cos1cos1A BA BA AAA BA B ， ， ， 4) 性质： 交换律交换律(commutative law):分配律分配律(distributive law):结合律结合律(associative law):ABBACBCACBA)(为实数),()(BABA物理教研室，药大物理教研室，药大 .Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBjBAbababaBbaABA 求求设设例例28376)3()32(.22 bbaababaBA解解.3128Pr,3728Pr,31,3722 BBAAjABABjBBBAAABA物理教研室，药大物理教研室，药大 大小方向按右手螺旋法则右手螺旋法则确定。C矢量与A、B矢量构成的平面永远垂直！sinABCAB sin ,180CA BA B规定两个矢量的矢积是一个两个矢量的矢积是一个矢量矢量，物理教研室，药大物理教研室，药大 ()()(),()ABA BABCABCACB运算律为实数1) 当当 或或 时时2)3)4)0/, 0A BABAA有 2ABCA B， 最大A BBA sinABA B 5)物理教研室，药大物理教研室，药大 一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。例如：例如： 等等分法，但有意等等分法，但有意义的是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐义的是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。标系。OYXAxAycossinxyAAAAABCDEF 物理教研室，药大物理教研室，药大 22xyAAAA 1tanxyAA因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标分量确定；也可以由其大小和方向确定。标分量确定；也可以由其大小和方向确定。OYXAxAy物理教研室，药大物理教研室，药大 单位矢量：单位矢量：(Unite vectors)ijk0ijkAxyzxAyAzAzxyzxyAAiA jAkAAA 大小大小方向，方向，方向余弦方向余弦(directional cosine)：222zyxAAAA1coscoscos,cos,cos,cos222AAAAAAzyx矢量在直角坐标系中的表示矢量在直角坐标系中的表示物理教研室，药大物理教研室，药大 ()() ()()()xyzxyxxyyzzzAA iA jA kB iB jB kijkBABABAB xyzAA iA jA k xyzBB iB jB k 物理教研室，药大物理教研室，药大 () () xyxxyzxyyzzzA iA jA kB iB jB kA BA BA BA B 因为有如下关系：因为有如下关系：10i ij jk ki jj kk i 物理教研室，药大物理教研室，药大 同样因为有同样因为有如下关系：如下关系：0,iijjkkijk jki kij () () ()()()yzzxyzxyyzxxzxyyxzA BABAB iABAB jABAB kAiA jAkB iB jB k 利用行列式，利用行列式，可表达为：可表达为：xyzxyzijkA BAAABBB 物理教研室，药大物理教研室，药大 例例 4 4 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c0|ccc .5152 kj物理教研室，药大物理教研室，药大 矢量的导数矢量的导数0d()( )limdtAA ttA ttt 一个矢量既有大小又有方向一个矢量既有大小又有方向AAA因此：因此：ddddddAAAAtttA物理教研室，药大物理教研室，药大 显然可以区分为三种情况：显然可以区分为三种情况：l矢量的大小变化，矢量的方向不变矢量的大小变化，矢量的方向不变l矢量的方向变化，大小不变矢量的方向变化，大小不变l矢量的大小和方向都发生变化矢量的大小和方向都发生变化能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生，能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生，都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？唯一的坐标系就是直角坐标系！因为直角坐标系唯一的坐标系就是直角坐标系！因为直角坐标系的基矢量一旦确定，就永远不变！改变的始终是的基矢量一旦确定，就永远不变！改变的始终是矢量投影值的大小！矢量投影值的大小！xyzAAAAijkddddddddyxzAAAttttAijk物理教研室，药大物理教研室，药大 5 矢量的微积分矢量的微积分5. 1矢量的微分矢量的微分(differential)(1)() ( ) ( )(2)( )(3)()(4)()ddAdBABdtdtdtd f t Adf tdAAf tdtdtdtddBdAA BABdtdtdtddBdAABABdtdtdt只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：物理教研室，药大物理教研室，药大 作为作为(1)(2)式的特例，对直角坐标下的矢量：式的特例，对直角坐标下的矢量：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt有有作为作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量：式的例子，在球坐标下的矢量：AAAeAAdedAdAeAdtdtdt有有物理教研室，药大物理教研室，药大 5.2矢量的积分矢量的积分(integral)（1）对时间）对时间 t 的积分：的积分：2211222111()()()()ttxyztttttxyztttAdtA iA jA k dtA dt iA dt jA dt k（2）沿曲线）沿曲线 s 的线积分：的线积分：222111() ()xyzssxyzxyzxyzA dsA iA jA kdxidyjdzkA dxA dyA dz物理教研室，药大物理教研室，药大 小小 结结1 1 矢量是有大小、有方向的量。矢量是有大小、有方向的量。2 矢量的几种运算：加法、点乘、叉乘，以矢量的几种运算：加法、点乘、叉乘，以及运算规则。及运算规则。3 3 矢量在直角坐标系中的分解，以及对几种矢量在直角坐标系中的分解，以及对几种运算的应用。运算的应用。阅读：附录阅读：附录 “矢量矢量”