资源描述
6.1多元函数的基本概念p.13一.填空题p1322241.ln(1)xyzxy 的的定定义义域域是是. .222( , )(1,)xyyf x yfxyx 2.2.设设, ,则则. .3(1),1,zyfxyzx3.3.设设且且当当时时则则( , )(0,0)( , )(0,0)24sin4.lim,lim,x yx yxyxyxyx14 ( , )(0,0)11lim( sinsin).x yxyyx22201,4yxyx2220 xyxxy ( ),.f xz3(1)x -1-11yx00 0222.5.2yxzyx p13.p13.一一函函数数在在间间断断22yx 二.计算题p131.ln ln(),zxyx求求的的定定义义域域 并并画画出出定定义义域域草草图图. .ln()0,xyx解解 ( , )|0,1( , )|0,01.x yxyxx yxyx1yx0y x xy1 1O定定义义域域为为3313.2.(,),( , ).pf xy xyxyf x y设设求求2,2uvxuxyvxyuvy 解解 令令3322( , )()()(3)224uvuvvf u uuv23223( , )(3).44yx yyf x yxy .14.3.:p二二求求下下列列极极限限( , )(1,0)ln(1)(1)limx yxyy ( , )(1,0)( , )(1,0)ln(1)limlim1.x yx yxyxxxy 解解 原原式式22( , )(0,0)lim.|x yxyxy (2) (2) 222(|) , xyxy解解 222(|)0|,|xyxyxyxyxy( , )(0,0)lim(|)0,x yxy22( , )(0,0)lim0.|x yxyxy 三.证明下列极限不存在p14三三. .证证明明下下列列极极限限不不存存在在: :220()1lim,xxxkxkxk 原原式式( , )(0,0)1.limx yxyxy ; ;2(0),yxkxk 证证明明 取取则则,k对对不不同同的的取取不不同同的的极极限限值值, ,.原原极极限限不不存存在在224( , )(0,0)2.lim,x yxyxy 2(0),xkyk证证明明 取取则则42420lim,(1)1ykykkyk原原式式,k对对不不同同的的取取不不同同的的极极限限值值, ,.原原极极限限不不存存在在222222( , )(0,0)1cos()14.3.lim,()x yxypxyx y 2222( , )(0,0)lim2x yxyx y 证证明明 原原式式22( , )(0,0)111lim(),2x yyx .原原极极限限不不存存在在6.2偏导数p.15一.填空题p151.( , )( , )f x ya b设设在在处处偏偏导导数数存存在在, ,则则arctan,;.xyzzzxyxy2.2.设设则则3.(1) ,yzzxyx 设设则则0(, )(, )lim.xf ax bf ax bx .zy 2( , )xfa b22yxy 22xxy 21(1)yyxy (1) ln(1)1yxyxyxyxy 22224.ln,0,0.xxyyzxyxyzz设设则则当当时时221()(2,4,5)44zxyMy 5.5.曲曲线线在在点点处处的的切切线线6.( , )( , )xyyxfx yfx y若若与与均均连连续续, ,则则恒恒有有( , )( , )xyyxfx yfx y .x与与 轴轴正正向向所所成成的的倾倾角角为为4 二.计算题p15.二二 计计算算题题; ;解解 2sin()( ,),.zzxaxbya bx y 1. 1.设设为为常常数数 求求sin()cos(),zaxbyaxaxbyx 2cos()sin().zbaxbyabxaxbyx y 2.,.xxxyyxyzyzzz 设设求求和和解解2ln ,(ln ) ,xxxxxzyyzyy12,(1),xxyyyzxyzx xy111ln(1ln ).xxxxyzxyyyyxyy2222223.,(0)uxyzxyz设设222,xxuxyz 解解 2232222,()xxyzuxyz 2232222,()yyxzuxyz 2232222,()zzxyuxyz 22222.xxyyzzuuuuxyz + + .xxyyzzuuu求求4.,.xxyyzzxuzarctanuuuy设设求求解解 222222,()xxxyzxyzuuxyxy 222222,()yyyxzxyzuuxyxy arctan,0,zzzxuuy0.xxyyzzuuu三.计算题p162221.,0urxyzr三三 设设233513,xxxxxuurrr 解解 2235351313,yyzzyzuurrrr 0.xxyyzzuuu0.xxyyzzuuu求求证证6.3.全微分p.17一.填空题p17221.( , ),)() ,zf x yxy 若若可可微微 且且则则002.( , )(,)zf x yxy 函函数数在在点点处处连连续续和和存存在在偏偏导导数数是是00(,)xy它它在在处处可可微微的的 条条件件. .0lim.zdz 3.( , )( , ),( , )xyf x yfx yfx y函函数数的的偏偏导导数数连连续续是是函函数数( , ).f x y 可可微微的的条条件件0必必要要充充分分4.,1,1,0.15,0.1xyzexyxy 设设则则当当时时,.dzz 225.yzdzxy 设设, ,则则16.( , , )() ,(1,1,1).zxf x y zdfy设设则则2227.,.xdxydyzdzduuxyz若若则则1.265ee 32222()()xyx dyxydx dxdy 222xyzc4e二.计算题p171.( , ) |( , ),( , )(0,0)f x yxyx yx y设设其其中中在在的的某某, ),(0,0),xx yf 个个邻邻域域内内连连续续, ,问问: (: (满满足足什什么么条条件件(0,0)?yf存存在在0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 解解 0|(,0)lim(0,0),xxxx (0,0)0,(0,0);xf 当当时时存存在在,(0,0)0,(0,0)yf 同同理理当当时时存存在在. .2218.2.( , ),(1,2).ypf x yxyf设设求求2 ,(1,2)4.yyfyf解解 21,(1, )1,(1, )2 ,yxfxyfyy 解解法法2. 2. 令令得得(1,2)4.yf21sin()03.( , ),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy 设设求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 344.ln( 1.030.981).利利用用全全微微分分计计算算的的近近似似值值34( , )ln(1),f x yxy解解 设设232433441134( , ),( , ),11xyxyfx yfx yxyxy 11(1,1),(1,1),34xyff3411ln( 1.030.981)0.030.020.005.34222222221()sin0( , )00 xyxyxyf x yxy 三三. .设设, ,问问( , )(0,0)?f x y(1)(1)在在处处是是否否可可微微 为为什什么么( , ),( , )(0,0)xyfx yfx y(2)(2)在在处处是是否否连连续续? ?为为什什么么? ?解解 (1) (1)可可微微. .22001sin( ,0)(0,0)limlim0,xxxf xfxxx 22001sin(0, )(0,0)limlim0,yyyfyfyyy (0, 0 )(0, 0 )0,xyff 0(0,0)(0,0)limxyzfxfy (2)(,),(,)(0,0).xyfx yfx y 在在处处不不连连续续220,xy当当时时222222121( , )2 sincos,xxfx yxxyxyxy201limsin0, 22021,limcos.22xxyxxx 取取时时不不存存在在( , )(0,0),xfx y在在处处不不连连续续( , )(0,0)yfx y同同理理 在在处处不不连连续续. .6.4复合函数的求导法则p.19一.填空题p19231.,sin ,xyzext yt 设设而而.dzdt 则则( , , ),( , ),( ),uf x y z zx yyx2.2.设设 , ,f 其其中中均均可可微微 则则(2)(1)( ),zf xycc3.3.设设 则则.xxyyxxz zz zdudx 32sin2(cos6)tttte ( )( )xyzxyffxfx024.( , ),( ,2 ),( ,2 ),xf x yf xxx fxxx设设可可微微 且且则则( ,2 ).yfxx ( ,2 )( ,2 )2( ,2 )1.xyfxxfxxfxx 分分析析 5.( , ),( ) ,( ,( , ),(1,1)1,f x yxf x f x f x xf 设设可可微微 且且(1,1),(1,1),(1).xyfa fb 则则212x 23aababb二.计算题p1922221.,.vxyzzzu uevx yxx设设求求2233(),xyx yx yzee 解解 33233,x yzx y ex 3324632(96)x yzex yxyx 333333(32).x yxy ex y2(2)2.( , , ),.yzzzf u x yCuxex x y 设设 其其中中求求,yuxzfefx 解解 2()yyyuuuuyxuxyzeffxeffxefx y 2(2)20.3.(,)(),.xyzpzf xygf gCyxx y 设设其其中中求求1221(),zyfyfgxyx 解解 2111122()zxfy fxfx yy 221222211()xffxfyyy 2211yggxxx111222232311.xyfxyfffggyyxx三.证明题(2).( , ),cos ,sin ,uf x yCxryr三三 设设证证明明: :22222222211uuuuuxyrrrr cossin ,uuurxy证证明明 1cossin,uuurrrxry22222cos (cossin )uuurxx y 222sin (cossin ),uuy xy 2222222cossin2sin,uuuxx yy (sin )cosuuurrxy 22222cossin (sin )cos )uuuurrrrxxx y 222sincos (sin )cos )uuurrrryy xy 222111cossinuuurrxry 2222222222sinsin2cosuuurrrxx yy 22cossinuuurrxy 2222222sinsin2cosuuuxx yy 22222222211.uuuuurrrrxy 6.5隐函数求导公式p.21一.填空题p211.( , ),( , ),( , )( , , )0 xx y zyy z x zz x yF x y z设设都都是是由由.xyzyzx具具有有连连续续偏偏导导数数不不为为零零的的函函数数, ,则则2.220,xyzxyz设设则则,.zzxy3.ln,.xzdzzy设设则则1 yzxyzxyzxy 2xzxyzxyzxy 2()zzdxdyxzy xz 21.4.2sin(23 )23 ,pxyzxyz设设则则.zzxy (1)5.( , )( , )(-,-)0F u vCzz x yF cx az cy bz设设, ,是是由由,.zzabxy确确定定 则则1c二.计算题:p212221.1.,.zzzpxyzexx设设求求( , , ),zF x y zxyze解解 令令( , , )1,xFx y z ( , , )1,yFx y z ( , , )1,zzF x y ze 1,1xzzFzxFe 22231().1(1)(1)zzxzzzzezexxeee 23321.2.3a ,.zpzxyzx y 设设求求33( , , )3,F x y zzxyza解解 令令( , , )3,xFx y zyz ( , , )3,yFx y zxz 2( , , )33,zF x y zzxy2,xzFzyzxFzxy 2,yzFzxzyFzxy 252232232().()yzyzzx y zxyzx yzxyzxy 2221.3.ln0,.xtyzpzzedtx y 设设求求2( , , )ln,xtyF x y zzzedt 解解 令令2( , , ),xxFx y ze 2( , , ),yyFx y ze 11( , , )1,zzF x y zzz 2,1xxzFzzexFz 2,1yyzFzzeyFz 22223().1(1)xxyyzzezex yzz 三.证明题:p221.( , ),:(,)0zzF u vF xyyx设设可可微微 求求证证 由由方方程程确确定定( , ).xyzz x yxzyzzxy的的满满足足: :1.( , , )(,),zzG x y zF xyyx证证明明 令令121222(),GzzFFFFxxx 122,GzFFyy 1211,GFFzyx xyGGyxxzyzxyGGzz 1222121212,1111,zzFFFFyxxyFFFFyxyx 211212()().z yFxFxy xFyFzxyxFyF 2.( , ),( , , )0, ,yf x ttF x y tx y设设而而 是是由由方方程程所所确确定定(1),:.xttxtytf Ff Fdyf FCdxf FF 的的函函数数 其其中中, ,求求证证2.证证明明 利利用用全全微微分分形形式式不不变变性性( , ),( , , )0yf x tF x y t ( , )( , ),( , , )( , , )( , , )0 xtxytdyfx t dxf x t dtFx y t dxFx y t dyF x y t dt ( , )( , ),( , , )( , , )( , , )0 xtxytdydtfx tf x tdxdxdydtFx y tFx y tF x y tdxdx .xtxtttyf FF fdydxFf F 解解得得 6.6-6.7方向导数与梯度、多元函数微分学的几何应用p.23-24一.填空题p2321.3(1,2)zxxyMx函函数数在在点点处处沿沿 轴轴正正向向的的方方向向导导.Mzx 数数2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函数数在在点点处处沿沿从从点点到到点点.的的方方向向的的方方向向导导数数为为3. ( , , )arctan,grad(1,1,1).xf x y zzfy则则8981311( ,)22 4 4.sin ,1cos ,4sin2txtt yt z曲曲线线上上点点(1,1,2 2)2M 处处的的切切线线方方程程是是法法平平面面方方程程是是.;.或或112 22112xyz (1)(1)2(2 2)02xyz 242xyz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲线线上上点点处处的的切切线线方方程程是是23.6.3(1,1,1)pxyzxyzM曲曲面面上上点点处处的的;切切平平面面方方程程是是.法法平平面面方方程程为为.112110 xyz 0 xy3xyz.法法线线方方程程是是xyz7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上点点处处的的切切平平面面方方程程是是;.法法线线方方程程为为212121xyz 220 xyz二.计算题p232222.23.1.1(,)22xyabpzab求求函函数数 在在点点处处沿沿曲曲线线22221xyab 在在该该点点的的内内法法线线方方向向的的方方向向导导数数. .22220,Axyybyaba 解解1. 1. ,bka 内内法法线线的的斜斜率率为为02222(,)(), banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002(). abzz nabn 2222.23.1.( , )1,xypF x yab解解法法2. 2. 令令222222(,)(,),Axynabab 内内02222(,)(), banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002(). abzz nabn (1)2222.( ),0,grad( ).f rCrxyzf r设设求求grad( )( )(). xyzf rfrijkrrr 解解 grad( ).f r注注 是是向向量量意意2222222333.( ,)2223xyzaaaM axyax 求求曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程及及法法平平面面方方程程. .12( ,2 ,3 )2 (1, 2, 3).Mnxyza解解 22(,2 ,0)2 (0, 2,0).Mnxaya(1, 2, 3)(0, 2,0,)2(3,0,1), T 32.013aazyxa 所所求求切切线线方方程程为为 3()()0.3axaz法法平平面面方方程程为为 4.3(2,1,0)zezxyM求求曲曲面面上上点点处处的的切切平平面面方方程程与与法法线线方方程程. .( , ,1)(1,2,0).zMny x e解解 (2)2(1)0,xy切切平平面面方方程程 21.120 xyz法法线线方方程程 240;xy或或 5.zxy 在在曲曲面面上上求求一一点点, ,使使这这点点处处的的法法线线垂垂直直于于390.xyz平平面面 并并写写出出该该法法线线方方程程00000(,),(, 1)/(1,3,1).MM xy znyx解解 设设则则 000001,3,1,3;131yxxyz ( 3, 1,3),M 所所求求点点为为313.131xyz法法线线方方程程 三.证明题p24(0)xyza a三三. .试试证证: :曲曲面面上上任任一一点点处处.a的的切切平平面面在在各各坐坐标标轴轴上上的的截截距距之之和和等等于于000(,),M xy z证证明明 用用表表示示曲曲面面上上的的点点 则则该该点点处处的的000111(,),222nxyz 法法向向量量 000000111:()()()0,xxyyzzxyz切切平平面面000:,xyzaxyz或或000:1,xyzaxayaz截截距距式式为为000().axyza截截距距之之和和为为 6.8多元函数的极值p.2526一.填空题p2522230p25.1.(1,1,1)23540 xyzxMxyz 曲曲线线在在点点处处的的单单位位.切切向向量量为为2222.316( 1, 2,3)xyz旋旋转转椭椭球球面面上上点点处处的的.xoy切切平平面面与与面面的的夹夹角角的的余余弦弦为为 223.( , )22(1, 1)f x yxaxxyy若若函函数数在在点点,.a 处处取取得得极极小小值值 则则常常数数1(16,9, 1)3383225 (2)4.( , ),22,21,xyf x yCfxyfyx已已知知2,1,2,(1,0)( , )xxxyyyffff x y 则则点点是是.的的点点225.( , )4()f x yxyxy使使函函数数取取得得极极大大值值的的点点是是 , ,其其极极大大值值是是 . .(2, 2) 8极极小小值值二.计算题p2522.25.1.( , )(2 ).xpf x yexyy二二求求函函数数的的极极值值2221(1224 )0,2(22)01xxxyfexyyxfeyy 解解 令令得得221(4448 ),( , 1)2 ,2xxxxxfexyyAfe21(44),( , 1)0,2xxyxyfeyBf212,( , 1)2 ,2xyyyyfeCfe2210,40,( , 1)22eAACBef 为为极极小小值值. .22.25.2.( , )23pf x yxxyyD二二求求函函数数在在区区域域 上上( 1,1),(2,1),DAB 的的最最大大值值与与最最小小值值, ,其其中中 是是以以点点( 1,2).C 为为顶顶点点的的闭闭三三角角形形区区域域22 ,26 ,xyfxy fxy解解,0,0,xyDff在在区区域域 内内0,( , )xff x yAC的的最最小小值值在在上上取取到到, ,Oxy( 1,1)A (2,1)B( 1,2)C 0 xy 30 xy D( , ),f x yBC的的最最大大值值在在上上取取到到.25.2.p二二续续0,( , )yff x yAB的的最最小小值值在在上上取取到到, ,( , ),f x yBC的的最最大大值值在在上上取取到到( , )( 1,1)2,f x yAf在在 点点取取到到最最小小值值21(252),( 12),3BCfxx 在在上上 221( , )(252)11,3xf x yBCx 在在上上的的最最大大值值为为51:,( 12),33BCyxx ,( 1,1)2,(2,1)11ff综综上上讨讨论论为为最最小小值值为为最最大大值值. .26.3.pa二二求求内内接接于于半半径径为为 的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. .2 ,2 ,2 ,xyz解解 设设长长方方体体的的长长, ,宽宽, ,高高分分别别为为则则22228,Vxyzxyza且且 2222(),Fxyzxyza 作作 2020,320 xyzFyzxaFxzyxyzFxyz 令令得得3max8 3,.93aVa当当长长宽宽高高时时.26.4.1.pzxyxy二二求求函函数数在在附附加加条条件件下下的的极极大大值值(1),Fxyxy 解解 令令 01,02xyFyxyFx 再再由由得得1 11 11( , ),( , ).2 22 24z唯唯一一驻驻点点为为为为极极大大值值22222.25.5.62zxypzzxy 二二求求曲曲线线上上的的点点 坐坐标标的的,.最最大大 最最小小值值222222222222262622,4zxyxyzxyzxyxyzx 解解 202,24,xzminmax2,4.zz.25.5.p二二续续2222222222,6262zxyxyzxyzxy解解2. 2. 222262(2),Fxyxy 作作 1112,0,2,yx 得得 2221,0,2,xy 22420,2,220 xyFxxxyFyy 令令 与与联联立立minmax2,4.zz三.证明题p26.26.p三三(1)( , ),:(,)0F u vCF pxmz pynz设设证证明明 曲曲面面(, , )sm n p 上上任任意意点点处处的的切切平平面面与与方方向向向向量量为为.的的直直线线平平行行( , , )(,),G x y zF pxmz pynz证证明明 令令 1212(,)(,)xyznG G GpF pFmFnF1212()0, n smpFnpFpmFnFs曲曲面面上上任任意意点点处处的的切切平平面面与与方方向向向向量量为为 的的直直线线平平行行. .习题课p.27一.填空题p2722222220p.27.1.( , ),(0,0)0 x yxyf x yxyAxy 一一设设在在点点处处连连续续, ,.A 则则2. ( , )|,(0,0),(0,0).xyf x yxyff000(1)3.()(1) ln ,yzxfxyx fCx设设22.xxyyx zy z则则(1)y x (1)p.27.4.(),xazybzC设设则则.zzabxy1abab 5.( ),( )( ),( ),xyzf uuup t dtu 设设可可微微其其中中连连续续( )1, ( ),( )( ).zzup tp yp xxy 且且连连续续 则则 0( )5.( )( ),1( )uup xup xxxu 解解 ( )( )( ),1( )uup yup yyyu ( )( ) ( )( )( )( ),1( )zup y fu p xp yp y fuxxu ( )( ) ( )( )( )( ),1( )zup x fu p yp xp x fuyyu ( )( )0.zzp yp xxy222p.27.6.231(3,2,3)xyz 原原点点到到椭椭球球面面上上点点.d 处处的的切切平平面面的的距距离离2227.0,rxyz设设.ngradr 则则 12222()() nn xyzxiy jzk 或或3172nnrr 二.计算题p27.27.p二二 计计算算题题222422201.( ),(1) ( , )(0,0)00 x yxyf xf x yxyxy 设设问问在在(2)(0,0),(0,0)?xyff处处是是否否连连续续, ,为为什什么么? ? 是是否否存存在在(3) ( , )(0,0)?f x y 在在处处是是否否可可微微 为为什什么么? ?22422242000(1)limlim,(1)1xxyykxx ykxkxykxk 取取解解,( , )(0,0).f x y极极限限不不存存在在在在处处不不连连续续.27.(2)p从从定定义义出出发发求求偏偏导导数数(0,0)(0,0)0;xyff(3)( , )(0,0), f x y 在在处处不不连连续续( , )(0,0)f x y在在处处不不可可微微. .222.28.2.( , , )()()()pf x y zxyyzzx二二函函数数(2, 1,2)?M 在在点点处处增增加加最最快快的的方方向向是是哪哪个个方方向向f函函数数 在在该该点点沿沿上上述述方方向向的的方方向向导导数数是是什什么么? ?( , )2(2),xfx yxyz解解 2(2),( , )2(2 ),yzfxyzfx yxyz (2, 1,2),grad(10,4,10),Mfl在在处处( , , )(2, 1,2)(10,4,10)f x y zM 函函数数在在点点处处沿沿方方向向增增加加最最快快, ,方方向向导导数数为为222|grad(2, 1,2)|104106 6.ffl 222.28.3.14zpxy二二在在椭椭球球面面的的第第一一卦卦限限上上求求一一点点, ,使使椭椭球球面面在在该该点点处处的的切切平平面面在在坐坐标标轴轴上上的的截截距距的的平平方方和和最最小小. .0000(,),Mxy z解解 设设为为椭椭球球面面第第一一卦卦限限上上的的点点00002(,),4znxyM 处处的的切切平平面面方方程程为为000000()()()04zxxxyyyzz0001,4z zx xy y化化简简为为2221116( , , ),f x y zxyz截截距距的的平平方方和和为为2222221116( , , )(1),4zF x y zxyxyz 作作333222220220,:16,320214xyzFxxFyyzFzzxy 令令解解得得1 1( , 2),2 2M所所求求的的点点为为16.F最最小小值值三.证明题p28.28.1.( ),:()ypf uzxfx 三三设设可可微微 求求证证 曲曲面面上上任任意意点点( , , ). M x y zOM处处的的法法线线恒恒垂垂直直于于向向径径()(),(),zyyyzyfffxxxxyx证证明明 (, 1),ynfffx0, n OMxfyfyfz. nOM22.28.2.( , )222,pf x yAxBxyCyDxEyF三三设设2000,0,:(,)ABACxy且且证证明明 存存在在唯唯一一点点使使00(,)( , ).f xyf x y为为的的极极小小值值2220,2220 xyfAxByDfBxCyE 证证明明 令令得得唯唯一一驻驻点点000022(,),DCBEAEBDxyxyBACBAC其其中中20,2 ,2 ,xxxyyyfAfB fC又又22(2 )(2 )(2 )4()0,BACBAC且且00(,)( , ).xyf x y唯唯一一驻驻点点为为的的极极小小值值点点习题课(课外作业p.29)一.填空p292p.29.1.(),0,zxyf xyyzx一一已已知知且且当当时时则则( ),f x 22001cos2.lim.xyxyxy 2xx 00000003.( , )(,)(,)(,)xyf x yxyfxyfxy函函数数在在点点处处可可微微是是与与.存存在在的的条条件件充充分分22222()2xyyxyxyy.z (1)p.29.4.sin( ),sinsin ,zxF uuyx FC设设其其中中secsec.zzxyxy则则1235.20,.zzxzyx y 设设则则222226.( ),.x ayx ayzzzf t dt faxy 设设可可导导 则则 22364(32 )zxzx 022221.29.7.,0,puxrxyzr一一设设则则grad.u 31( , , )(2 ,0,0)x y zxr2228.232248,xyzxyxzyz在在曲曲面面上上 切切平平面面.xOy平平行行于于面面的的点点是是(0,2 2, 2 2),(0, 2 2,2 2)二.计算题p.29.29.p二二. .计计算算题题. .22222222|sin()01.( , ),00 xyxyxyf x yxyxy 设设问问(1) ( , )(0,0)f x y 在在处处是是否否连连续续? ? (3) ( , )(0,0)?f x y 在在处处是是否否可可微微 为为什什么么? ?222200sin()(1)lim |0(0,0),xyxyxyfxy 解解( , )(0,0).f x y在在处处连连续续(2)(0,0),(0,0)?xyff是是否否存存在在.27.(2)p从从定定义义出出发发求求偏偏导导数数(0,0)(0,0)0;xyff(3)(0,0)(0,0)xyffxfy 2222|sin()() ()()x yxyxy ,xy 取取则则22001sin2()1limlim0,2()22xxx ( , )(0,0)f x y在在处处不不可可微微. .222222.30.2.42pxyzaxyay二二求求球球面面与与柱柱面面(0)( , , 2 )aM a aa 的的交交线线在在点点处处的的切切线线方方程程与与法法平平面面方方程程. .1( , , 2 )(2 ,2 ,2 )2 (1,1, 2), a aanxyza解解 2( , , 2 )(2 ,22 ,0)2 (1,0,0), a aanxyaa(1,1, 2)(1,0,0)(0, 2, 1),s2012xayaza 切切线线方方程程为为 , ,2()(2 )0.yaza法法平平面面方方程程为为 20.yz或或 1.30.3.(2,1, ),3pM二二经经过过点点的的所所有有平平面面中中 哪哪个个平平面面与与三三个个坐坐标标平平面面所所围围成成的的立立体体体体积积最最小小. .1xyzabc解解 设设平平面面方方程程为为 01211(2,1, ),1,33Mabc 平平面面过过1,6Vabc 目目标标函函数数 1211( , , )(1),63F a b cabcabc 令令 .30.3.p二二解解续续22212( , , )06611( , , )036,111( , , )063921113abcF a b cbcaaF a b cacbbcF a b cabcabc 由由 得得min16 3 13.6V 1.631xyz所所求求平平面面为为三.证明题p3022223333.30.1.:pxyza三三证证明明 曲曲面面上上任任意意点点处处的的切切平平面面在在坐坐标标轴轴上上的的截截距距平平方方之之和和为为常常数数. .000(,),M xy z证证明明 设设曲曲面面上上的的点点为为则则1113330002(,),3Mnxyz 111333000000()()()0,xxxyyyzzz切切平平面面为为2121213333330001,xyza xa ya z化化简简得得截截距距式式 422223333000().axyza截截距距平平方方之之和和为为常常数数2.30.2.( , )(52).xypf x yexy 三三证证明明: :函函数数无无极极值值2220(251)0,(1, 2)(24)0 xyxxyyfexxyxMfexy 证证明明 令令得得2322(421065)xyxxfexx yxxy 3330(1, 2),xxxyyyMAfeBfe Cfe 在在处处2620,ACBe ( , ).f x y无无极极值值22( 241)xyxyfexxyx 2( 23)xyyyfexy 自测题p.31一.填空p.31p.31.1.( , )0,xfa ba 一一设设则则0lim.(, )(, )xxf ax bf ax b 2233(arccos)2yy dyydx12a233.,xt ytzt在在曲曲线线的的所所有有切切线线中中 与与平平面面21.xyz 平平行行的的切切线线有有条条2(1, ).dfy 232.( , )(1)arccos,2yf x yxyxx设设则则221(1,2 ,3) (1,2,1)14301,.3tttttt 22p.31.4.2420zxyxyz一一曲曲面面平平行行于于平平面面.的的切切平平面面为为42304(1)2(1)(3)0 xyzxyz2325.( , , )(1,2, 1)f x y zaxybzycx zz函函数数在在点点处处沿沿 轴轴,.abc64,正正方方向向的的变变化化率率最最大大为为则则6248 ,(1,2, 1)(0,0,64),gradf由由题题设设即即222(1,2, 1)(1,2, 1)3(1,2, 1)(1,2, 1)(3)430(1,2, 1)(2)40(1,2, 1)(2)2264xyzfaycx zacfaxybzabfbycx zbc 6,24,8.abc 二.选择题p.3122p.31.1.()() ,(,)(0,0)xyfxyf 二二设设223()( ),().xyo 则则D( , )(0,0)( )lim( , );( )(0,0),(0,0);( )(0,0)2,(0,0)3;() ( , )(0,0).x yxyxyAf x yB ffC ffD f x y不不存存在在皆皆不不存存在在在在处处可可微微p.31.2.( , )(0,0),(0,0)3,xzf x yf二二设设在在附附近近有有定定义义 且且(0,0)1,().yf 则则(0,0)( )3;()( )( , )(0,0,(0,0)(3,1,1);( , )( )(0,0,(0,0)(1,0,3).0A dzdxdyBzf x yfzf x yCfy 偏偏导导数数存存在在不不一一定定可可微微曲曲面面在在点点的的法法向向量量为为曲曲线线在在点点的的切切向向量量为为C三.计算题p.31.31.p三三. .计计算算题题. .2(2)(2)1.(2)( ,),.zzfxyg x xyfDgCx y 设设求求2122(2)( ,)zfxyxgx xyx y 222( ,)( ,).gx xyxygx xy12(2)( ,)( ,)zfxyg x xyygx xyx 解解 (1).32.2.( , , ),( )( )puf x y zCyy xzz x三三设设函函数数和和分分别别由由下下列列两两式式确确定定: :0sin2,x zxyxtexyedtt 和和 .dudx求求2,xydyyexydxx 解解 由由 得得 0sin(),1,sin()xx zxtdzxz eedttdxxz 由由 得得 .32.2.p三三解解续续( , , )( , , )( , , )xyzdudydzfx y zfx y zfx y zdxdxdx()( , , )( , , )( , , )(1).sin()xxyzyxz efx y zfx y zfx y zxxz (2).32.3.,(sin )xpfCzf ey三三设设满满足足方方程程22222xzzezxy( ).f u求求sin ,xuey 解解 设设则则2222sin ,sinsinxxxzzfeyfeyf eyxx2222cos ,sincos,xxxzzfeyfeyfeyyy (1),ff 代代入入得得 (1).32.3.p三三解解续续0,ff 即即 21,210,1,rr 解解特特征征方方程程 得得 1212( ),(,)uuf uc ec ec c 为为任任意意常常数数2.31.4.(4)6,pzx yxyxyx二二求求函函数数在在直直线线轴轴.yD和和 轴轴所所围围成成的的区区域域 上上的的最最( (大大, ,小小) )值值22832(832 )0zxyx yxyxyxyx 2(42 )0,zxxyy (2,1),D得得 内内部部的的唯唯一一驻驻点点(2,1)4,(0,0)0,zzOxy6xyABD解解 如如图图, ,令令66.31.4.p二二解解续续Oxy6xyEFD66minmax(4,2)64,(2,1)4.zzzz 66(06)xyyxx在在边边界界即即上上22(6),6 (4)0,zxxzx x 令令得得(0,6),(4,2),(0,6)0, (4,2)64,zz (0, )( ,0)0,zyz x22.31.5.5421.pxxyy三三试试求求椭椭圆圆的的长长轴轴和和短短轴轴之之长长解解 椭椭圆圆方方程程关关于于原原点点对对称称, ,椭椭圆圆的的长长半半轴轴与与短短半半轴轴之之长长分分别别等等于于椭椭圆圆上上的的点点到到原原点点的的距距离离的的最最,大大值值与与最最小小值值222dxy求求的的最最大大值值与与最最小小值值, ,2254210,xxyy约约束束条条件件为为: :2222(5421),Fxyxxyy 令令 2(104 )0,xFxxy 2(44 )0,yFyxy .31.5.p三三解解续续,5222xyxyyy 222320,(2 )(2)0,xxyyxyxy即即22254210,xyxxyy代代入入得得2221411,303066yxdd222140,1,1,55xydd62,.3长长轴轴为为 短短轴轴为为22254210,yxxxyy 代代入入得得三.第六章习题完成
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