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开放性数学实验报告（2016 / 2017学年 第2学期）题目：基于MATLAB的圆冋专业通信工程学生姓名杨坤冯著豪周李鑫班级学号B B B指导教师赵礼峰指导单位南京邮电大学理学院日 期2017/5/20MATLAB圆周率的近似计算B杨坤B冯著豪B周李鑫 摘要：圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母n表示，是一个在数学及 物理学中普遍存在的数学常数。n也等于圆形之面积与半径平方之比。是柿确计算圆周长、 圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，n可以严格地定义为满足sin x = 0 的最小正实数X。计算圆周率一直是很多人的追求。在电子计算机还没有发明的时候就有很多先贤用各种 方法计算了圆周率的近似值最著名的应该是祖冲之，他计算出了圆周率的位数达到了小数点 后七位。该记录在世界范用内保持了八百年。之后圆周率的计算进入了分析法时期,这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求 川，摆脱町割圆术的繁复计算。无穷乘枳式、无穷连分数、无穷级数等各种几值衷达式纷纷 出现，使得几值计算精度迅速增加。在分析法的基础上，电子计算机的出现使得圆周率的计算精度犬幅提高。计算圆周率己 经成为评判超级计算机的性能指标的项目之一。如今个人计算机的性能也达到了一个极高的程度。学习使用计算机计算圆周率可以帮助 我们更好地学习matlab同时对数学也会有更深的理解。关钱词：圆周率计算；投点法；定枳分计分法；慕级数：韦达公式一、问题分析计算圆周率有很参方法，不同方法之间自然也冇好坏之分。在强人的计算机性能的支持 卜，我们能使用不同的方法计算岡周率并且感受不同方法孰优孰劣。首先我们需要了解不同 的计算方法是怎么计算圆周率的，然后使用mat lab编写代码帮助我们实现算法，计算出圆 周率。二、实验方法1. 投点法:投点法，顾名思义就是通过投点计算圆周率。在一个边长为1的正方形里以1为半径画 -个四分之一圆，再向正方形里投点，在概率的学习中我们知道，大量地向这个正方形中拦 点时，在投的点足够多的前提下，落在四分之一扇形里的点与投的所冇点的个数之比应该为 扇形与整个正方形的面积之比。扇形的面积为四分之一圆，即l/4*pi,正方形的面枳为1. 设投n个点，落在扇形里的点的个数为count即可推出pi=4* (count/n)。代码如下：count=0;ezplot x*2+y*2=r , 0, 1, 0, 1), hold on , grid onn=10000;for i=l：l：nx=rand(l, 1);y=rand(l, 1)；plot (x. y9 *f) 9 hold onpauseif x*2+yM2 20)设宣不同的区间数，获得不同的近似值，对应关系如卜:区何敌50100200300400500600近似值3.3.3.3.相比于投点法，该方法以较高的效率使用了计算机资源达到了更高的蒂度，当n=100, 000. 000时，精度达到了小数点后十二位。3.墓级数幕级数的方法有很多，我们学习了使用arctan (x)的Maclaurin展开式计算兀的近(以彳葭， n - 4arctaiil - 4(1 _ + _+ ，曲 _ + 代码如下n二10;5展开次数s=0;digits(50) 玄计算精度for k=l：ns=s+4*(-l)*(k+1)/(2*kl);endvpa(s, 20)改变n的值.计算不同情况卜得出的圆周率近似值n10100100010000100000近似值3.该计算方法能比较准确地得出较高精度的圆周率的近似值4.韦达公式根据韦达在1593年给出的公式4= 返尹* .代码如F： a=sqrt (2); s=l;n二 100for i=l：n s=(s*a)/2; al=sqrt(2+a); a=al;endvpa (2/s, 20)便用该算法汁算圆周率的近似值时，n与所得的近似值如卜:n101001000Pi第实上，当n为100时所算出的圆周率精度己经超过了小数点后100位，口J见其计算精度之 高，效率之快。一卞列出n=100时所得结果精确到100位的输出值：46 79 71 10 44 61 09 25 8三、实验感想圖周率的近似计算一直是一种挑战，经过这次研兗，我们更加深刻地体会到了数学的魅 力.同时也对mat lab更加熟悉。在不断的学习中，我们成长了很多。参考文献：1 杨振华，郦志新数学实验北京：科学技术出版社,2 赵洪牛高等数学北京：高等教育出版社3 百度百科：圆周率
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