(5)一个正方体的棱长为2

1.(1)D(2)D(3)A(4)C(5) 个正方体的棱长为 2,将八个直径各为 1 的球放进去之后，正中央空间能放下的 最大的球的直径为,3 1.(6)个棱长为 6cm 的密圭寸正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，盒子内小球不能到达的空间的体积为 _.解：在正方体的 8 个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：31 434813(13) 8，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12 个1 1 4的8 331正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为1 1 4(12) 4 48 12。其他4空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：4403(8 ) 48 1256 (cm )。332 .如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB = BC = AA1,且 AB 丄 BC, D 为 AC 中点.(I)求证：AB1/平面 BDC1；(H)求证：A1C 丄平面 BDC1；(川)求二面角 C BC1D 的大小.(I)证明：连结 B1C，交 BC1于点 E，连结 DE.在厶 ABQ 中，TD、E 分别是 AC、B1C 的中点, DE/AB1. AB1平面 BDC1, AB1/平面 BDC1.(n)证明： AB = BC,BD 丄 AC.又三棱柱 ABC A1B1C1是直棱柱，- AA1丄平面 ABC .- AA1丄 BD . BD 丄平面 AA1C1C. BD 丄 A1C.TAB 丄 BC,又有 BB1丄 AB, AB 丄平面 BB1C1C.AA1B1丄平面 BB1C1C. 在正方形BB1C1C 中，BC1丄 B1C，由三垂线定理，得 A1C 丄 BC1.- A1C 丄平面 BDC1.(川)解：设 A1C C1D = F,连结 EF .由题(n)A1C 丄平面 BDC1,又TBC1丄 B1C，由三垂线定理，得 EF 丄 BC1.二面角 C BC1D 的平面角为/ CEF .设 BC = a,则TAB = BC = BB1,. CE a , AC 3a .在矩形 AA1C1C 中，D 为 AC 中点， CF1AC 二 a.33 sin CEF6.二面角 C BC1D 的大小为 arcsin6.CE 33DFt-HE(法二)过点 D 作 DH 丄 BC,垂足为 H，过 H 作 HG 丄 BC 于 G,连结 DG .则/ DGH 为二面角C BCiD 的平面角.设 BC = a,则DH1a2 ，1GH CE2/. tan DGHDHGH二面角厶.4BCiD 的大小为 arctan 2 .3.如图，已知三棱锥 是正三角形，PA 丄 PC.(I)求证：平面 PAC 丄平面 ABC ;(n)求二面角 D AP C 的正弦值；(川)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 M BCD 的体积.解(I)由已知 D 是 AB 的中点，PDB 是正三角形，AB=20, 1则有PD AB2又 AP 丄 PC, 贝UAP 丄平面BCPABC , / ACB=90CB=4 , AB=2010.所以 AP 丄 PB.由 AC 丄 BC,有 BC 丄平面PB PC P.PBC.平面 PBC, AP 丄 BC.APnAC=A,PAC.BC 平面 ABC.平面,D 为 AB 中点，且厶 PDBADPAC 丄平面 ABC.（n）由已知 PA 丄 PC,又由（I）知 PA 丄 PB, 所以/ BPC 是二面角 D AP C 的平面角.又由 则 BC丄 PC. sin BPC些2.PB 5（川） D 为 AB 中点，M 为 PB 中点， DM(I)知 BC 丄平面 PAC,/ - PA,且 DM 5 3 . 2 DM 丄平面 PBC.15 331 的菱形,由（I）知 PA 丄平面 PBC,SBCM_SPBC2 21.所以VMBCDVD BCM24.直四棱柱 AiBiCiDi ABCD 底面是边长为（1）（2） 值；（3）解：求证：平面 AiDCi丄平面 BBiDDi; 若异面直线 BiD 与 AiDi所成角为 60判断/ DBiCi能否为钝角？请说明理由(i)TBBi丄平面 AiBiCiDi, AiCi，求二面角平面AiBiCiDi.BBi丄 AiCi又TAiBiCiDi为菱形， BiDi丄 AiCi, AiCi丄平 面 BBiDDi.TAiCi平面 AiDCi, 平面 AiDCi丄平面BBiDDi. -（ 3 分）（2）过 Ai作 AiH 丄 DBi于 H,连 HCi.TAiC 面 BDDiBi, AiCi丄 DBi, DBi丄面 AiCiH , HCi丄DBi,/AiHCi为二面角 Ai DBi Ci的平面 角.IBiCi/AiDi, /DBiCi （或 其 补 角 ） 为DBi和AiDi所 成 的 角 ./DBiCi=60 或 120 . （5 分）2 2110 7.侧棱长为- 2.Ai DBi Ci的平面角的余弦则/ DGH 为二面角C BCiD 的平面角.B1C11,C1D .3sin B1DC1竺DB.B1C1丄,当 DB1C1120 时，DC2得 B1DC130 ,则 DB11 与 Rt DD1B1中直角边 DD1. 2 矛盾舍当 DB1C160 时则 DB12, D1B1, 2,则底面 ABCD 为正方形.DCiB DC130AH C1H,A1C1、 2, cos A1HC1（9 分）2 22AH2C1H2A1C12AiH C1H则二面角 ADBiCi的平面角的余弦值为（9分）(未考虑 DB1C1120 ,扣2分）若 DB1C1（90,180 ）,则 cos DB1C1DB122 DB1B1C1DC1、 3,B1C11,得 DB1. 2,与 Rt DD1B1中直角边 DD1一 2 矛盾，DB1C1不能为钝角.12分5.点O是边长为 4 的正方形ABCD的中心，点E,F分别是AD,BC的中点. 对角线AC把正方形ABCD折成直二面角(I)求EOF的大小；(n)求二面角E OF解法一：(I)如图，过点DACB.垂足为 G,过点 F 作 FH 丄 AC,垂足为A的大小.E 作 EG 丄 AC,因为二面角 DACB 为直二面角，EF2GH2EG2FH22EG(2血)2(运)2(7F)20 12.又在EOF中，OE OF 2,OE2OF2EF2cos EOF2OE OFEOF 120o.2222（2,3）22 2M，连 EM .DAC 丄平面(n)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 二面角 DACB 为直二面角，平面/ EG 丄 AC,. EG 丄平面 BAC .vGM 丄 OF，由三垂线定理，得EMG就是二面角E OF A的平面角.BAC，交线为 AC, 又EM 丄 OF._ 1在 Rt EGM 中，EGM 90,EG2,GM OE 1,2tan EMG .2 EMG arcta n.2.GM所以，二面角E OF A的大小为arctan；2.6 .如图在三棱柱 ABC-A BC 中，已知底面 ABC 是底角等于30，底边 AC=4 . 3的等腰三角形，且BC AC, BC 2 2，面B AC与面 ABC 成45，AB与AB交于点 E。(1) 求证：AC BA；(2) 求异面直线 AC 与BA的距离；(3) 求三棱锥B BEC的体积。正解：证：取 AC 中点 D，连 ED，1E 是 AB的中点，ED/BC .2_2又ABC是底角等于30的等腰三角形，BD AC,BN DE DAC 面 BDE , AC BE,即 AC BA解：由知EDB 是二面角 B AC B 的一个平面角，EDB = 45 , ED 、2,BD AD tan302 3323在DBE 中:面 BED,面 ABC 且 ADAC, ADADADBC AC, DE ACVB ABC1SABC3ADVB BEC1 1-(BD AC)3 2払AD1VC ABC 中，AC= BC，AE 和 CDVC BEBABBABC7。如图,ABC，且 AE = AB= 2, F 为 BE 的中点，DF(1) 求 CD 的长；(2) 求证：AF 丄 BD;(3) 求平面 ADF 与平面 ABC 所成的二面角的大小./平面 ABC,8.334、33都垂直于平面(1) 取 AB 中点 G,连 FG、CG,则 FG / AE，又 AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,所以 AE / CD，所以 FG / CD，所以 F、G、C、D 四点共面.又平面FGCD平面 ABC = CG , DF /平面 ABC，所以 DF / CG ,所以四边形 FGCD 是平行四边形，所以1CD FG - AE 1.2(2) 直角三角形 ABE 中，AE= AB, F 是 BE 的中点，所以 AF 丄 BE,又 ABC 中，AC =BC, G是 AB 中点，所以 CG AB，又 AE 垂直于平面 ABC,所以 AE 丄 CG,又AE AB A，所以 CG丄面 ABE .因为 DF / CG ,所以 DF 丄面 ABE，所以 AF 丄 DF , 又因为BE DF F，所以 AF 丄面 BED，所以 AF 丄 BD .(3) 设面ADF面 ABC = L,因为 DF /平面 ABC，所以 DF / L,又 DF 丄面 ABE, 所以 L 丄面ABE，所以 L 丄 AF , L AB，所以/ FAB 即为二面角的平面角.直角三角形 ABE 中，易得/ FAB=45，所以平面 ADF 与平面 ABC 所形成的较小的二面角为 45 &如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，AB=3 , AAi=4,M 为 AA1的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 点的最短路线长为.、29，设这条最短路线与C1C 的交点为 N .求1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2)PC 和 NC 的长；3)平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)1正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为 4 的矩形，其对角线长为.9242.972如图 1，将侧面 BC1旋转120使其与侧面 AC1在 同一平面上，点 P 运动到点 P1的位置，连接 MP1, 则 MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过 CC1到点 M 的最 短路线。设 PC=x，则 P1C =x,在Rt MAP1中，(3+ x)22229, x 2MC P1C 24,NC -MA RA 553连接 PP1(如图 2),则 PP1就是 NMP 与平面 ABC 的交线， 作 NHPP1于 H， 又 CC1平面 ABC ,连 结 CH，由三垂线定理得，CH PP1。NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角的平面角1PCH PCP160 , CH 12NC 4在 Rt PHC 中,在 Rt NCH 中，tan NHCCH 5